10.1二元一次方程组的概念(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

10.1二元一次方程组 板块一：知识精讲 1．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 板块二：典题精练 一、单选题 1．下列方程中，一元二次方程有（ ） ①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 3．已知的值： ①，②，③，④，其中是二元一次方程的解的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4．已知是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 5．已知，是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解，则k，b的值是（ ） A．k=1，b=0 B．k=﹣1，b=2 C．k=2，b=﹣1 D．k=﹣2，b=1 6．把方程改写成用含的代数式表示的形式为（    ） A． B． C． D． 7．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为120cm的导线，将其全部截成和两种长度的导线（每种长度的导线至少一根）用于实验操作，则截取方案共有（    ） A．8 种 B．7种 C．6种 D．5种 8．下列方程中，二元一次方程的是（   ） A．xy=1 B．y=3x-1 C． D． 9．下面是二元一次方程2x﹣y＝1的解的是(    ) A． B． C． D． 二、填空题 10．已知二元一次方程：请写出它的正整数解 ． 11．已知是方程的解，则= ． 12．把方程变形，将y用含x的代数式表示： ． 13．由，得到用表示的式子为 ． 14．已知是二元一次方程的一个解，则a＝ ． 15．若是方程组的解，则m＝ ，n＝ ． 三、解答题 16．已知方程组的解，x与y之和为1,求a的值. 17．马虎与粗心两位同学解方程组时，马虎看错了m解方程组得；粗心看错了n解方程组得； 试求：（1）常数m、n的值； （2）原方程组的解． 18．已知，用含y的式子表示x，并求当、-2、0时，x的值． 19．（1）判断是方程组的解吗？ （2）已知，是方程组的解，求的值． 20．（1）求方程13x＋30y＝4的整数解； （2）求方程5x＋3y＝22的所有正整数解． 21．已知是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值． 22．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【详解】试题分析：本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：①符合一元二次方程定义，正确； ②方程含有两个未知数，错误； ③不是整式方程，错误； ④符合一元二次方程定义，正确； ⑤符合一元二次方程定义，正确． 故选B． 考点：一元二次方程的定义． 2．D 【分析】根据题意得，则①-②得，，进行计算即可得． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， 则①-②得，， ， ， 代数式的值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是掌握这些知识点． 3．B 【详解】A选项中，当时，，所以不能选A； B选项中，当时， ，所以可以选B； C选项中，当时，，所以不能选C； D选项中，当 时，，所以不能选D. 故选B. 4．D 【分析】根据题意得，由①-②，得：，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 由①-②，得： ，即 ， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义和解方程组中整体思想是解题的关键． 5．C 【详解】试题分析：首先把，代入二元一次方程y=kx+b，然后应用加减消元法，求出k，b的值是多少即可． 解：∵，是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解， ∴， （2）﹣（1），可得k=2， 把k=2代入（1），可得b=﹣1， ∴k=2，b=﹣1． 故选C． 点评：此题主要考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解，要熟练掌握，采用加减消元法即可． 6．C 【分析】将y看做已知数，求出x即可． 【详解】解：x+3y=1， 解得：x=-3y+1． 故选：C． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做未知数，y看做已知数． 7．B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解． 【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得， ， 即， ∵为正整数， ∴，3，5，7，9，11，13， 则，6，5，4，3，2，1， 故有7种方案， 故选：B． 8．B 【分析】根据二元一次方程的定义逐一判断即可. 【详解】xy=1的项数是2次，故A选项不符合题意， y=3x-1是二元一次方程,故B选项符合题意， x+=2是分式方程，故C选项不符合题意， x2+x-3=0最高次数为2且只含一个未知数，是一元二次方程，故D选项不符合题意， 故选B. 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，方程两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数都是一次的方程叫做二元一次方程，熟记二元一次方程的定义是解题关键. 9．A 【分析】把x与y的值分别代入方程左右两边检验即可． 【详解】解：把A代入方程得：左边=8-7=1，右边=1，左边=右边，是解； 把B代入方程得：左边=0+0.5=0.5，右边=1，左边≠右边，不是解； 把C代入方程得：左边=2+1=3，右边=1，左边≠右边，不是解； 把D代入方程得：左边=-10+3=-7，右边=1，左边≠右边，不是解， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，熟练掌握是解题的关键. 10．，， 【分析】用表示出，令为正整数求出的值，即可确定出方程的正整数解． 【详解】方程变形得：， 当时，；时，；时，， 则方程的正整数解为：，，． 故答案为，，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，将看做已知数求出是解答本题的关键． 11． 【分析】将代入中即可求解． 【详解】根据题意，将代入中， 可得， 解得， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了二元一次方程的根的含义，理解二元一次方程的根的含义并将代入中，是解答本题的关键． 12． 【分析】将y看做已知数求出x即可． 【详解】解：由， 得到 故答案为： 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数． 13． 【分析】把x看作是常数，把y看作是未知数，求解y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键． 14．2 【分析】直接将解代入方程即可求得结果． 【详解】解：由题意可知，将代入得：， 解得：a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 15． 3 【分析】根据二元一次方程组的解满足方程组，把二元一次方程组的解代入，可得答案． 【详解】解：把若代入方程组 ， 解得： ， 故答案为3， 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入是解题关键． 16．3 【分析】根据题意，列出三元一次方程组，然后通过解方程组求得a的值即可． 【详解】根据题意，得 由①-③，得 x=2，④ 将④代入③解得，y=-1，⑤ 将④⑤代入②，解得a=3． 所以，a的值是3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是根据题意列出三元一次方程组． 17．（1）n=4；m=5；（2）． 【分析】（1）将马虎解得的方程组的解代入方程组中的第二个方程求出n的值，将粗心得到的解代入第一个方程里面求出m的值； （2）将m和n的值代入方程组确定方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：（1）将x=2，y=代入3x﹣ny=12中得：6+n=12， 解得：n=4； 将x=1，y=代入mx+2y=6得：m+1=6， 解得：m=5． （2）将m=5，n=4代入方程组得：， ①×2+②得：13x=24， 解得：x=， 将x=代入①得：y=， 则方程组的解为． 所以原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 18．，当时，；当时，；当时， 【分析】利用移项的方法将原式变成用y表示x的形式，然后代入y的值求x的值． 【详解】解：， ， ， 当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是先变形再代入求值． 19．（1）是；（2）2． 【分析】（1）根据方程解的定义分别代入每个方程的左边与右边验证是否相等，再确定方程组的解； （2）根据方程组的解将方程组的解代入方程组，求解即可． 【详解】解：（1）当时代入第一个方程左边=，右边=，左边=右边， ∴是的解， 当时代入第二个方程左边=，右边=，左边=右边， ∴是的解， ∴是方程组的解； （2）∵是方程组的解， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，与利用方程组的解求参数，掌握方程组的解是方程组的各方程的公共解，会解方程组是关键． 20．（1）（k为整数）；（2）x＝2，y＝4 【分析】（1）将y看做已知数求出x，设，用含k的代数式表示x，y，即可确定出整数解； （2）将x看做已知数求出y，即可确定出正整数解． 【详解】解：（1）方程13x+30y＝4， 解得：x＝＝， 设，则y＝﹣13k+1， ∴x＝30k﹣2， ∴（k为整数）是方程组的解； （2）方程5x+3y＝22， 解得：y＝ ＝7﹣x+， ∴方程5x+3y＝22的正整数解为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的特殊解，学会用一个未知数表示另外一个未知数，是解题的关键． 21．m=﹣2 【详解】试题分析：把方程的解代入方程可得到关于m的方程，可求得m的值． 解： ∵是方程2x﹣6my+8=0的一组解， ∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0， 解得m=﹣2． 【点评】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键． 22．本题答案不唯一，如方程组 . 【详解】分析： 先检验是否是方程的一个解，若是，则再构造一个有一个解为的方程，并与已知方程组成一个方程组即可. 详解： 把代入方程得：左边=右边， ∴ 是方程的一个解， ∵ 也是方程的一个解， ∴方程组 的解是， ∴本题答案不唯一，方程组是其中一个符合要求的方程组. 点睛：本题答案不唯一，理解“二元一次方程的解的定义”和“二元一次方程组的解的定义”是正确解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$