专题04 二元一次方程组（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题04 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程组的概念 题型02 二元一次方程组的解法 题型03 三元一次方程组的解法 题型04 一次方程组解法中的数学思想方法 题型05 一次方程组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程组概念 理解掌握定义及解的概念，能准确辨析； 多以选择填空考查概念、解的判断与含参计算。 二元一次方程组解法 熟练运用代入、加减消元法灵活解题； 必考解答题，侧重基础计算与含参问题。 三元一次方程组解法 会消元转化为二元一次方程组再求解； 基础解答题，考查转化与消元能力。 一次方程组解法中的数学思想方法 理解消元、转化、整体代入等数学思想； 渗透各类题型，常结合含参、巧算考查 整体代入简化。 一次方程组的应用 会列方程组解行程、工程、利润等应用题； 必考解答大题，分值高。 知识点01 二元一次方程组概念 1. 二元一次方程的概念 像“x+y=35、2x+4y=94”含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程． 2. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 3. 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解； 一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 知识点02 二元一次方程组解法 1. 代入消元 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解. 2. 加减消元 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 知识点03 三元一次方程组解法 1. 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 例如： 2. 解三元一次方程组的基本方法是： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 知识点04 一次方程组解法中的思想方法 1. 一次方程组的解法看似简单，核心思想是消元，主要方法是代入法和加减法。事实上，学生在实际解题过程中，常常思路不清、过程繁 2. 思想方法应用的常见题型 （1）整体代入法在一次方程组中的应用 （2）整体加减法在一次方程组中的应用 （3）整体换元法在一次方程组中的应用 （4）整体思想在含参数的方程组中的应用 知识点05 一次方程组的应用 1. 解题关键： 从实际问题中找出两个独立的等量关系,并正确设未知数，列出二元一次方程组. 2. 常见题型： （1）和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； （2）数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. （3）图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 题型一 二元一次方程组概念 解｜题｜技｜巧 紧扣“二元、一次、整式”三条件，解需满足两方程； 易｜错｜点｜拨 混淆方程/组解；忽略分母含未知数非整式。 【典例1】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组需满足：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解的概念，可通过加减消元法求解二元一次方程组，消去y后求x，再代入求y． 【详解】解：∵方程组为， 将两方程相加，得， 解得 将代入，得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 题型二 二元一次方程组的解法 答｜题｜模｜板 系数为±1用代入；系数同/反用加减 消元漏乘、移项不变号； 易｜错｜点｜拨 未化最简即计算 。 【典例1】（24-25七年级下·贵州·期中）解方程组： 【分析】 由①可知， x=2y，将方程②中的x用2y代替，得到关于y的一元一次方程. 解:由①得，x=2y, 把 x=2y代入② , 得 5×2y+2y=24. 解得 y=2. 把 y=2 代入①,得 x=4. 所以方程组的解为： 【点睛】用代入法解二元一次方程组的“核心”是选择一个“简单”的方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数来表示，就可以用“代入”的方法实现消元。 【典例1】（24-25七年级下·南通·期中）用加减法解方程组 【分析】将①式乘以4，②式乘以3，两个方程中x的系数就相同，就可以用加减法进行消元. 【解析】解： ，得：， 解得： ； 把，代入，得：， 解得： ； ∴方程组的解为：． 【点睛】用加减法解二元一次方程组的“核心”是考虑对两个方程都进行适当变形，使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，即可用加减法消元. 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）解方程组 (1) (2) 【变式2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）解方程组 (1) (2) 题型三 三元一次方程组解法 答｜题｜模｜板 先消同一元化二元，再按二元法求解； 易｜错｜点｜拨 消元混乱；漏求第三个未知数；未检验 。 【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）解方程组： 【分析】将①分别代入②、③可以消去z得到一个关于x、y的二元一次方程组. 解： 将①分别代入②和③,整理得 解这个方程组，得 所以，原方程组的解是 【点睛】解三元一次方程组的思路是化“三元”为“二元”（一次方程组），所以在消元之后要不新组建的“二元一次方程组”列出来，这样解题思路才清晰明了. 【典例2】（24-25七年级下·扬州·期中）解方程组： ； 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，用③-①加减消元法解三元一次方程组即可； 【详解】解：， 由③-①得x-2y=-8 ④ 由②④组成方程组 解之得x=10,y=9 把x=10,y=9入①得，z=7 方程组的解为 ； 【点睛】本题②式“缺项”不含z，所以用①和③相减就能消去z，与②式组件一个二元一次方程组. 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组； 所以方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）解方程组： 题型四 一次方程组解法中的思想方法 答｜题｜模｜板 消元降次化未知为已知 不会整体换元； 易｜错｜点｜拨 转化思路不清致步骤错。 【典例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程组 解法一：由①得：5y=21-3x 化简，得：y= ③ 把③代入②得：4x+15=53 化简整理，得：63--5x=53 解之，得：x=2 把x=-2,代入③式，得y=3 所以，方程组的解为 【点睛】这是严格按代入消元法的一般程序解答的，过程繁琐、容易出错； 解法二：由①得：5y=21-3x ③ 把③代入②，得：4x+3(21-3x)=53 解之，得：x=2 把x=-2,代入③式，得y=3 所以，方程组的解为 【点睛】这里把3y看成一个整体，实施整体代入消元，避免了含有分数的计算，过程简洁，清晰明了。 【典例2】（23-24七年级下·全国·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【点睛】因为未知数的系数较大，如果直接找两个未知数系数的最小公倍数，计算量较大。本题运用整体加减消元，计算简洁明了。 【典例3】解方程组 【分析】这题可以先把方程组化简后，组成新的方程组，再用适当的方法进行求解。这是学生通常用的方法。 如果把 (x+y) 换成 m， (x-y) 换成 n，重新组成新的方程组来求解的方法就是换元法，换元法的实质就是整体代换。 解：设x+y=m，x-y=n 原方程组可华为 解之，得：，即 解之，得： 【变式1】（24-25七年级下·山东·期中）解方程组： 【变式2】下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【变式3】若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 题型五 一次方程组的应用 答｜题｜模｜板 找准两个等量关系，合理设元，规范作答 等量找错； 易｜错｜点｜拨 设元不当；解未检验舍负值。 【典例1】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 【点睛】本题只要抓住关键词“和（共）、差、倍、分”等关键词就容易找到数量关系式，设未知数列出方程（组）. 【典例2】甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 【分析】可以设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意， 画出示意图: 根据线段示意图，我们可以找到两个等量关系式： 【详解】解： 设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意，可得方程组 由①,得y=100-x ③ 把③代入②,得7x+2(100-x)=400. 解得x=40. 把x=40代入③,解得y=60. 所以，这个方程组的解是 答：甲车的速度为40km/h,乙车的速度为60km/h. 【点睛】此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. 【典例3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【点睛】生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 【变式1】某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【变式2】小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【变式4】商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和定价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·山东·期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃·期末）已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解下列方程组： (1) (2) 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 6．（2024·陕西西安·三模）历史社团组织学生外出参观博物馆，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领若每位教师带名学生，则剩余名学生；若每位教师带名学生，则最后一位教师只需带人求此次带队的教师人数． 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）星期天，七（6），七（8）两班部分同学相约去某公园玩碰碰车或划船，已知玩碰碰车的同学每人租用一辆车，划船的同学每4人合租一条船，两班各花了115元，活动人数如下表： 班级 玩碰碰车的同学 划船的同学 七（6） 11人 16人 七（8） 8人 20人 试求：每辆碰碰车的租金是多少元？每条游船的租金是多少元？ 8．（24-25七年级下·吉林·期中）【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 方程组的解为． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 6．（2023七年级下·全国·专题练习）解方程组 (1) (2) 7．（22-23七年级下·湖南张家界·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 8．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为 ； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为 ； (3)已知关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为，请求出的值． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）（1）解方程组； （2）解不等式组． 11．（24-25七年级下·山东威海·期中）解方程组： (1) (2) (3) 12．阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 13. 邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 14. 为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售： 打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元． (1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？ (2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？ 15. 骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 16. 2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程组的概念 题型02 二元一次方程组的解法 题型03 三元一次方程组的解法 题型04 一次方程组解法中的数学思想方法 题型05 一次方程组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程组概念 理解掌握定义及解的概念，能准确辨析； 多以选择填空考查概念、解的判断与含参计算。 二元一次方程组解法 熟练运用代入、加减消元法灵活解题； 必考解答题，侧重基础计算与含参问题。 三元一次方程组解法 会消元转化为二元一次方程组再求解； 基础解答题，考查转化与消元能力。 一次方程组解法中的数学思想方法 理解消元、转化、整体代入等数学思想； 渗透各类题型，常结合含参、巧算考查 整体代入简化。 一次方程组的应用 会列方程组解行程、工程、利润等应用题； 必考解答大题，分值高。 知识点01 二元一次方程组概念 1. 二元一次方程的概念 像“x+y=35、2x+4y=94”含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程． 2. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 3. 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解； 一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 知识点02 二元一次方程组解法 1. 消元法 在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作消元法. 2. 代入消元 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解. 3. 加减消元 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 知识点03 三元一次方程组解法 1. 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 例如： 2. 解三元一次方程组的基本方法是： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 知识点04 一次方程组解法中的思想方法 1. 一次方程组的解法看似简单，核心思想是消元，主要方法是代入法和加减法。事实上，学生在实际解题过程中，常常思路不清、过程繁 2. 思想方法应用的常见题型 （1）整体代入法在一次方程组中的应用 （2）整体加减法在一次方程组中的应用 （3）整体换元法在一次方程组中的应用 （4）整体思想在含参数的方程组中的应用 知识点05 一次方程组的应用 1. 解题关键： 从实际问题中找出两个独立的等量关系,并正确设未知数，列出二元一次方程组. 2. 常见题型： （1）和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； （2）数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. （3）图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 题型一 二元一次方程组概念 解｜题｜技｜巧 紧扣“二元、一次、整式”三条件，解需满足两方程； 易｜错｜点｜拨 混淆方程/组解；忽略分母含未知数非整式。 【典例1】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组需满足：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解的概念，可通过加减消元法求解二元一次方程组，消去y后求x，再代入求y． 【详解】解：∵方程组为， 将两方程相加，得， 解得 将代入，得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组中，方程不是整式方程，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意； C、方程组是二元一次方程组，符合题意； D、方程组中含有3个未知数，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出一个二元一次方程组，其中第二个方程为多项式，要求找出可能的，由于题目未明确给出解的具体值，需结合选项及方程进行推断．本题考查了二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方程组为，其解需同时满足两个方程， ∴假设解为，（满足），代入各选项验证： A、，不成立，故该选项不符合题意； B、，不成立，故该选项不符合题意； C、，成立，故该选项符合题意； D、，不成立，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的解的定义，从表格中找到答案即可． 【详解】解：由表格可知，，是二元一次方程的解，，是二元一次方程的解， 关于，的二元一次方程组的解为． 故选：C． 题型二 二元一次方程组的解法 答｜题｜模｜板 系数为±1用代入；系数同/反用加减 消元漏乘、移项不变号； 易｜错｜点｜拨 未化最简即计算 。 【典例1】（24-25七年级下·贵州·期中）解方程组： 【分析】 由①可知， x=2y，将方程②中的x用2y代替，得到关于y的一元一次方程. 解:由①得，x=2y, 把 x=2y代入② , 得 5×2y+2y=24. 解得 y=2. 把 y=2 代入①,得 x=4. 所以方程组的解为： 【点睛】用代入法解二元一次方程组的“核心”是选择一个“简单”的方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数来表示，就可以用“代入”的方法实现消元。 【典例1】（24-25七年级下·南通·期中）用加减法解方程组 【分析】将①式乘以4，②式乘以3，两个方程中x的系数就相同，就可以用加减法进行消元. 【解析】解： ，得：， 解得： ； 把，代入，得：， 解得： ； ∴方程组的解为：． 【点睛】用加减法解二元一次方程组的“核心”是考虑对两个方程都进行适当变形，使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，即可用加减法消元. 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的系数特点灵活选用恰当的方法求解是解题的关键． （1）直接利用加减消元法进行求解即可； （2）整理后，利用代入消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 由得， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组整理得，， 由①得， 将代入②得，， 解得， 将代入得，， ∴原方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法解题即可； （2）去括号，先将两个方程化简，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由①得，， 将③代入②，得， 解得， 将代入③，得， 所以，原方程组的解是； （2）解：， 方程整理得，， ，得， 解得， 将代入③，得， 解得， 所以，原方程组的解是． 题型三 三元一次方程组解法 答｜题｜模｜板 先消同一元化二元，再按二元法求解； 易｜错｜点｜拨 消元混乱；漏求第三个未知数；未检验 。 【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）解方程组： 【分析】将①分别代入②、③可以消去z得到一个关于x、y的二元一次方程组. 解： 将①分别代入②和③,整理得 解这个方程组，得 所以，原方程组的解是 【点睛】解三元一次方程组的思路是化“三元”为“二元”（一次方程组），所以在消元之后要不新组建的“二元一次方程组”列出来，这样解题思路才清晰明了. 【典例2】（24-25七年级下·扬州·期中）解方程组： ； 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，用③-①加减消元法解三元一次方程组即可； 【详解】解：， 由③-①得x-2y=-8 ④ 由②④组成方程组 解之得x=10,y=9 把x=10,y=9入①得，z=7 方程组的解为 ； 【点睛】本题②式“缺项”不含z，所以用①和③相减就能消去z，与②式组件一个二元一次方程组. 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组； 【答案】；（2）． 【分析】根据解三元一次方程组的步骤，对所给方程组进行求解即可． 【详解】解：， 得，④， 由①、④联立成二元一次方程组 解之得：， 将，代入③得，， 所以方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）解方程组： 【答案】 【分析】将得，与③组成方程组，再运用加减消元法求出，最后把的值代入①，求出，故可得方程组的解． 【详解】解：， 得：， 与③组成方程组， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 题型四 一次方程组解法中的思想方法 答｜题｜模｜板 消元降次化未知为已知 不会整体换元； 易｜错｜点｜拨 转化思路不清致步骤错。 【典例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程组 解法一：由①得：5y=21-3x 化简，得：y= ③ 把③代入②得：4x+15=53 化简整理，得：63--5x=53 解之，得：x=2 把x=-2,代入③式，得y=3 所以，方程组的解为 【点睛】这是严格按代入消元法的一般程序解答的，过程繁琐、容易出错； 解法二：由①得：5y=21-3x ③ 把③代入②，得：4x+3(21-3x)=53 解之，得：x=2 把x=-2,代入③式，得y=3 所以，方程组的解为 【点睛】这里把3y看成一个整体，实施整体代入消元，避免了含有分数的计算，过程简洁，清晰明了。 【典例2】（23-24七年级下·全国·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【点睛】因为未知数的系数较大，如果直接找两个未知数系数的最小公倍数，计算量较大。本题运用整体加减消元，计算简洁明了。 【典例3】解方程组 【分析】这题可以先把方程组化简后，组成新的方程组，再用适当的方法进行求解。这是学生通常用的方法。 如果把 (x+y) 换成 m， (x-y) 换成 n，重新组成新的方程组来求解的方法就是换元法，换元法的实质就是整体代换。 解：设x+y=m，x-y=n 原方程组可华为 解之，得：，即 解之，得： 【变式1】（24-25七年级下·山东·期中）解方程组： 【分析】本题考查了解三元一次方程组．通过将三个方程相加，得到的值，然后分别用各个方程减去该式，逐一求解未知数． 【详解】解： 得， 即 ④ ①④得 即 得 即 ③④得 解得： ∴ 【变式2】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【变式3】若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题运用整体换元的思想，根据二元一次方程组解的定义，将所求方程组中的整体部分对应原方程组的未知数，再根据原方程组的已知解列方程求解即可． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， ∵原方程组 的解为 ， ∴对于方程组，其解为， ∴， 解第一个方程得：，即， 解第二个方程得：， ∴所求方程组的解为 题型五 一次方程组的应用 答｜题｜模｜板 找准两个等量关系，合理设元，规范作答 等量找错； 易｜错｜点｜拨 设元不当；解未检验舍负值。 【典例1】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 【点睛】本题只要抓住关键词“和（共）、差、倍、分”等关键词就容易找到数量关系式，设未知数列出方程（组）. 【典例2】甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 【分析】可以设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意， 画出示意图: 根据线段示意图，我们可以找到两个等量关系式： 甲车4h的路程+乙车4h的路程=400km， 甲车5h的路程+（甲车2h的路程+乙车2h的路程）=400km， 【详解】解： 设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意，可得方程组 由①,得y=100-x ③ 把③代入②,得7x+2(100-x)=400. 解得x=40. 把x=40代入③,解得y=60. 所以，这个方程组的解是 答：甲车的速度为40km/h,乙车的速度为60km/h. 【点睛】此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. 【典例3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 【点睛】生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 【变式1】某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【答案】(1)每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元 (2)40个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每个普通车位的建设成本为万元，根据这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元，列出方程进行求解即可； （2）设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，根据该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则每个充电桩车位的建设成本为万元， 根据题意，列方程为：， 解得， ， 答：每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元． （2）解：设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，则配备了个普通车位， 根据题意，列方程为：， 解得． 答：西边的新建停车场配备了40个充电桩车位． 【变式2】小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【答案】小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组是解题的关键． 设小敏步行所用的时间分别为小时，乘坐观光车所用的时间为小时，根据小敏步行时的平均速度是每小时 4 千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时 12 千米，列出方程组，即可得到结论． 【详解】解：设小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时， 根据题意得， 解得， 答：小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时． 【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【变式4】商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和定价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 【答案】(1)该商品的进价为元，定价为元 (2)选择方案一比较合算，比方案二节省元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是要根据定价、进价和利润的关系，找出等量关系正确解答． （1）根据“每件获利元”可得出：每件定价每件进价元；根据“定价的九折销售该商品件所获利润与将定价降低元销售该商品件所获利润相等”可得出等量关系：每件定价的九折每件进价（每件定价元）每件进价； （2）分别计算两种方案的费用，比较即可． 【详解】（1）解：设该商品的进价为元，定价为元， 根据题意得：， 解得： 答：该商品的进价为元，定价为元； （2）解：方案一：∵， ∴此时该商品的单价为：， ∴总费用为：（元）； 方案二：件中包含完整的“买四送一”组数：， 需支付的件数为：， ∴总费用为：（元）； ∵， ∴方案一更合算，节省金额为：（元）， 答：选择方案一比较合算，比方案二节省元． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·山东·期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故选项错误，不符合题意； 符合二元一次方程组的定义，故本项符合题意； 第二个方程的未知数的最高次数是2，不符合二元一次方程组的定义，故选项错误，不符合题意； 第二个方程含未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程组的定义，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组满足的三个条件有：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．能熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键． 2．（24-25七年级下·甘肃·期末）已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出第二个方程组的解为，再代入方程组得出，再求出方程组的解即可． 【详解】解：解方程组 得：， ∵方程组与方程组的解相同， ∴把代入方程组 得：， 解得：， 故选：C 【点睛】本题考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，理解方程组的解的意义并正确解二元一次方程组是解题关键． 3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法及代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得到答案； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：， 将①代入②得，解得； 将代入①得； 二元一次方程组的解为； （2）解：， 由①②得，解得； 将代入①得； 二元一次方程组的解为． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【分析】将③代入①消去z，可得，再结合②根据加减消元法求出，然后将x的值代入方程求出另外两个未知数的值即可． 【详解】解：， 把③代入①，得， 整理得：， ，得，解得：， 把代入③，得， 把代入④，得， ∴原方程组的解为． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【分析】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解． 【详解】解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入④，得10-y=11，解得：， 把代入③，得，解得：， ∴原方程组的解为． 6．（2024·陕西西安·三模）历史社团组织学生外出参观博物馆，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领若每位教师带名学生，则剩余名学生；若每位教师带名学生，则最后一位教师只需带人求此次带队的教师人数． 【答案】此次带队的教师人数为人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设此次带队的教师人数为人，学生由人，根据若每位教师带名学生，则剩余名学生；若每位教师带名学生，则最后一位教师只需带人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设此次带队的教师人数为人，学生由人， 由题意得：， 解得：， 答：此次带队的教师人数为人． 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）星期天，七（6），七（8）两班部分同学相约去某公园玩碰碰车或划船，已知玩碰碰车的同学每人租用一辆车，划船的同学每4人合租一条船，两班各花了115元，活动人数如下表： 班级 玩碰碰车的同学 划船的同学 七（6） 11人 16人 七（8） 8人 20人 试求：每辆碰碰车的租金是多少元？每条游船的租金是多少元？ 【答案】每辆碰碰车的租金是5元，每辆游船的租金是15元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：人玩碰碰车的费用人划船的费用元，人玩碰碰车的费用人划船的费用元，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设每辆碰碰车的租金为x元，每条游船的租金为y元，由题意得 ， 解得：， 答：每辆碰碰车的租金是5元，每辆游船的租金是15元． 8．（24-25七年级下·吉林·期中）【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组整体换元法，熟练掌握该方法是解题的关键． （1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组中应只含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1．根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．含二次项，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； B．含三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； C．中不是整式方程，故该选项不符合题意； D．是二元一次方程组，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组，根据二元一次方程组的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程组的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、方程组含有三个未知数（、、），故不符合题意； B、方程组含有两个未知数（、），且每个方程均为一次方程，符合题意； C、第一个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； D、第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，解题的关键是将各选项中的值代入方程，看等式是否成立． 依次把每个选项中的值代入方程，判断等式左右两边是否相等． 【详解】A、把代入方程的左边，可得，右边，左边=右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； B、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； C、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； D、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项不是方程的解，符合题意． 故选：D． 4．（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查构造二元一次方程组，根据二元一次方程组的解，进行构造即可． 【详解】解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2023七年级下·全国·专题练习）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得： 解得， 将代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 由得： 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为． 7．（22-23七年级下·湖南张家界·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 8．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 【答案】（1）①代入 ②三；去括号时没有变号  （2）   （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是关键． （1）①根据把③代入②可知运用了代入消元法； ②根据去括号法则可知小林在第三步出现错误； （2）更正错误的步骤并继续完成小林的解题步骤即可得出答案； （3）本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据去括号法则可给出建议． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法， 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为． 故答案为：三，去括号时没有变号； （2）解：，由①，得．   把③代入②，得．   整理得．   解得，即．   把代入③，得． 则方程组的解为 故答案为： （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为 ； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为 ； (3)已知关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，二元一次方程的解，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，得到，把代入，求出的值即可； （3）根据新定义，得到，进而求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）由题意可知：，把代入，得： ，解得：， ∴； （3）∵， ∴， ∵“相伴系数对”为， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）（1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据解三元一次方程组的步骤，对所给方程组进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给一元一次不等式组进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组及解三元一次方程组，熟知解一元一次不等式组及解三元一次方程组的步骤是解题的关键． 【详解】解：（1）， 得，④， 得，， 将代入①得，， 将，代入③得，， 所以方程组的解为． （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 11．（24-25七年级下·山东威海·期中）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二（三）元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得：，解得：， 把代入①，得：； ∴； （2）原方程组可化为：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴； （3）， ，得：，解得：； ，得：，解得：； 把，代入①，得：，解得：； ∴． 12．阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 13. 邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 14. 为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售： 打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元． (1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？ (2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？ 【答案】(1)打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元； (2)篮球和足球打8折出售． 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元”列方程组求解． （2）设篮球和足球打m折，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元． 根据题意，得． 解得． 答：打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元． （2）解：设篮球和足球打m折出售． 由题意，得． 解得． 答：篮球和足球打8折出售． 15. 骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【答案】(1)购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 (2)①坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒；②妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式，即可求解． （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元．分，，三种情况分类讨论，分别根据优惠政策，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒的费用为：（元） 超过700元，不超过1200元 ∴（元） 答：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意得： ， 解得， 答：坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒， ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元， 由于总费用超过1200元，小李一个人购买可享8折优惠，节省204元， 说明合并后享受8折优惠（9折最多节省元，不足204元）， ， 当时，，解得：， 而，不符合题意； 当时，， 即， 解得：元， 妈妈支付元， 当时，无解； 答：妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 16. 2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买型机器人5台，型机器人5台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元，根据买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业要购买型机器人台，型机器人台，根据该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台， 由题意得， 解得， 答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台． 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $