10.2消元——解二元一次方程组(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

10.2消元——解二元一次方程组 板块一：知识精讲 1．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 2．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 板块二：典题精练 一、单选题 1．，满足方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．用代入消元法解方程组比较合理的变形是（    ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 3．解关于的方程组可以用①②，消去未知数，也可以用①+②消去未知数，则的值分别为（  ） A． B． C． D． 4．已知，则的值是（    ） A．3 B．1 C．-6 D．8 5．满足方程组的、的和等于2，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．用代入法解方程组时，代入正确的是（    ） A．x-2-x=4 B．x-2-2x=4 C．x-2+2x=4 D．x-2+x=4 7．解方程组时，较为简单的方法是（　　） A．代入法 B．加减法 C．试值法 D．无法确定 8．已知，都是关于，的方程的一个解，则下列对于：，的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若x，y满足方程组，则3x+4y的值为 ． 10．若满足方程组则的值为 ． 11．关于、的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是 ． 12．若关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ． 三、解答题 13．解方程组 （1） （2） 14．解方程组． 15．解方程组： 16． 17．已知关于，的二元一次方程的解有和． (1)求、的值； (2)当时，求的值； (3)当为何值时，？ 18．解方程组： 19．用代入法解二元一次方程组： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】直接把两个方程相加即可求出的值． 【详解】解：， ①+②，得 6x+6y=-12， ∴x+y=-2， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 2．D 3．A 【分析】根据已知得出关于m、n的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：∵解关于x，y方程组可以用①×2+②，消去未知数x；也可以用①+②×5消去未知数y， ∴ 解得：， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键． 4．D 【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∴ 故选：D 【点睛】此题主要考查了非负数的性质和解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思想是消元． 5．B 【分析】把x=2-y分别代入①，②，得，用加减消元法解出k． 【详解】， ∵x、y的和等于2， ∴x=2-y， 把x=2-y分别代入①，②， 得， ①+②，得y=0，k=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组，整体思想的应用是解题关键． 6．C 【分析】将①代入②整理即可得出答案． 【详解】解：， 把①代入②得，x-2（1-x）=4， 去括号得，x-2+2x=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了用代入法解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握． 7．B 【分析】利用解二元一次方程组的方法判断即可． 【详解】解：解方程组时，较为简单的方法是加减法． 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 8．A 【分析】将两组解代入方程，得到，两式相减可得a-b的值． 【详解】解：由题意，将与代入得： ， ①-②得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，加减消元法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 9．16 【分析】方程组两方程相加即可求出所求． 【详解】解：， ①+②得：3x+4y=16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用好加减消元和整体的思想是解答本题的关键． 10．17 【分析】先解方程组求出x,y的解，再代入从而可得答案，或直接将两方程相加也可得出答案． 【详解】解： 将①2，得 再将③-②，得 解得 将代入①，得 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 11． 【分析】利用加减消元法进行计算即可． 【详解】解：， ①②得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 12． 【分析】根据方程组的解为，则把代入方程组，求出x、y即为所求. 【详解】解:方程组的解为 而所求方程, ∴ 解得： 即方程组的解为： 【点睛】本题考查了运用代入法解二元一次方程组的方法,解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算. 13．（1）；（2） 【分析】（1）先用①+②算出x,再带入求y即可； （2）先用②×2-①算出x,再带入求y即可. 【详解】（1） ①+②，得x=3， 把x=3代入②得：y-3=2， 解得：y=5， 所以原方程组的解为：； （2）整理得： ②×2-①得：9x=-6， 解得：x=， 把x=代入①得：-+2y=2， 解得：y= 所以方程组的解为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键. 14．. 【分析】用代入消元的方法,把②代入①中即可进行解题. 【详解】， 由①得x+x+y=2③，把②代入③，得x=2. 把x=2代入②得y=–2， 则方程组的解是． 【点睛】本题考查了用代入消元的方法求解二元一次方程组,属于简单题,熟悉代入消元的一般步骤是解题关键. 15． 【分析】观察上式和下式中哪个未知数通过两式简单加减可消去，消元后解二元一次方程化为一元一次方程，解这个方程，把解出的值代入原任意方程中解出另一个未知数解. 【详解】解：， 由①2式得， 由②－③式可得，解得， 把代①可得， 得. 【点睛】解二元一次方程组关键就是把二元化成一元，解得一元后再代入原方程可得另一元. 16． 【分析】把①代入②消去y，求出x的值，再把x的值代入①求出y的值即可. 【详解】 把①代入②得，5x+2(1-x)=8， 解得，x=， 把x=2代入①得，y=1-2， 解得，y=-1 所以，方程组的解为： 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解二元一次方程组的方法主要有：代入消元法和加减消元法. 17．(1)， (2) (3) 【分析】（1）将已知两组解，代入二元一次方程中得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值； （2）由k与b的值确定出二元一次方程，将x=2代入即可求出对应y的值． （3）把代入二元一次方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：将和代入y＝kx+b得：， 解得：． 故答案为：，． （2）∵二元一次方程为， ∴将x＝2代入得：， 即x＝2时． （3）把代入二元一次方程得：， 解得：， 即时． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：代入消元法和加减消元法，是解题的关键． 18． 【详解】试题分析：本题考查了二元一次方程组的解法，可把①×3得到③，②×2得到④，从而使y的系数变为相反数，然后把③和④相加把y消去，求出x的值，再把x 的值代入①求出y的值. 解: ①×3得9x+12y=30，③ ②×2得10x-12y=84. ④ ③+④得19x=114，解得x=6.   把x=6代入①，得18+4y=10，解得y=-2．   ∴ 19．． 【分析】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x的系数为1，所以把方程②中的x用y来表示，再代入①中即可． 【详解】由②得③ 将③代入①得 解得 把代入③得 所以原方程组的解为． 【点睛】本题考查了利用代入消元法解二元一次方程组，熟记方程组的解法是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$