精品解析：新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

喀什二中2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 考试范围：必修二第六章第七章第八章前五节 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． Ⅰ选择题部分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为3. 故选：C 2. 设是非零向量，则是成立的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案. 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示，作出原图： 因为正方形的边长为， 所以， 由斜二测画法的规则可知，，， 因为正方形是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以原图形的高是. 4. 已知在中，，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可求出，进而求出，再利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由于在中，， 故，即， 故，结合，得， 故的外接圆半径为. 5. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量的运算化简，再平方应用数量积公式计算求出模长即可. 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 6. 为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（ ）. A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 7. 设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，求出，求出，则在上的投影数量为，代入数值求解即可. 【详解】单位向量的夹角为，， ， ， ， ， 则在上的投影数量为，故选项D正确. 8. 在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，设，得到，转化为点到直线的距离为，进而求得的长. 【详解】在中，由，所以，则， 设，所以， 所以的最小值为点到直线的距离， 因为的最小值为1，所以. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ）． A. 若．则有两组解 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若满足，则与的夹角为 D. 在中，若 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理，求得，得到或，可判定A正确；根据与的夹角为锐角，得到且向量与不共线，求得的范围，可判定B错误；根据向量加法的几何意义，可得，结合向量的夹角公式，可判定C正确；根据，利用正弦定理得，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为， 由正弦定理，可得，解得， 因为，所以或，此时三角形有两解，所以A正确； 对于B中，由向量，且与的夹角为锐角， 则且向量与方向不相同， 由，解得， 设，即，可得，解得， 所以向量与的夹角为锐角时，实数的取值范围是，所以B错误； 对于C中，由，有，则， 则且， 设与的夹角为，可得， 因为，所以，即与的夹角为，所以C正确； 对于D中，由，可得，由正弦定理得，所以D正确. 故选：ACD. 10. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积等于球的表面积的一半 C. 圆锥的体积与球的体积之比为 D. 若半径为，则圆锥侧面积为 【答案】AC 【解析】 【详解】设球的半径为，则如图所示：， 由，得：，得， 所以，所以A正确； 圆锥的表面积为，球的表面积为， 所以，所以B错误； 圆锥的体积，球的体积，，C正确； 圆锥的母线长为，底面周长为，所以圆锥侧面积，D错误. 11. 已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 点在斜边的中线上 C. 点的轨迹长度是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量共线定理可判断BC选项，再利用转化法可求导向量数量积，进而可得取值范围. 【详解】 如图所示，设中点为，则， 由已知， 则， 又为直角三角形， 则，即， 所以，A选项正确； 由， 又，且，， 所以点在线段上，即点在斜边的中线上，B选项正确； 所以点的轨迹的长度为，C选项错误； D选项：，设，， 则，， 所以， D选项正确； 故选：ABD. Ⅱ非选择题部分 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由向量，得，， 又因为，所以，解得； 所以，则，因此. 13. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可. 【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为， 所以圆台的体积为. 14. 在锐角三角形中，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合三角形关系和式子可推出，进而得到，又，可得，即可得解． 【详解】解：由已知条件，，， 两边同除以， ， 又，可得， 则. 故答案为:8． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若为实数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解. 【小问1详解】 由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得． 【小问2详解】 由复数为实数，可得， 解得或． 【小问3详解】 由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足， 解得，即的取值范围为． 16. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 17. 在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点． （1）设，，试用，表示； （2）若，求； （3）若，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）应用向量的运算结合条件即得； （2）应用数量积公式及夹角公式计算求解； （3）应用平面向量基本定理得出，再应用基本不等式计算求解最小值. 【小问1详解】 延长，与交于点，则为的中点， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以，． ， ， ． 【小问3详解】 因为，，三点共线，所以设， 由（1）可知， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 18. 已知在正四棱柱中，，，点是的中点． （1）求证：直线平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）如图，连接，设， 则为的中点，又为的中点， 所以，又因平面，平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，通过即可证； （2）由等体积法进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面，又是的中点， 所以三棱锥的体积为 ． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点. （1）求A； （2）若，求的值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一：根据二倍角公式计算结合正弦定理计算求解；法二：根据二倍角公式计算结合两角和差正弦公式计算求解； （2）应用面积相等列式计算结合平面向量数量积公式计算求解； （3）应用费马点的定义结合平面向量基本定理有，应用余弦定理结合基本不等式计算得出最值. 【小问1详解】 法一：因为， 所以， 即， 整理得：， 所以由正弦定理可得，所以； 法二：因为，且， 所以， 所以，整理得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，所以三个内角都小于， 则由费马点的定义可知：， 设，由， 得，整理得：， 所以； 【小问3详解】 由费马点的定义可知：， 设，则， 又，所以由平面向量基本定理有. 由余弦定理可得：， ，， 因为，所以， 所以有，化简可得：， 将代入上式，化简得. 因为，当且仅当结合解得时等号成立， 设，所以，解得或， 因为，所以，所以，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什二中2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 考试范围：必修二第六章第七章第八章前五节 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． Ⅰ选择题部分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 2. 设是非零向量，则是成立的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的高是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. D. 3 5. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. 7 C. D. 6. 为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（ ）. A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ）． A. 若．则有两组解 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若满足，则与的夹角为 D. 在中，若 10. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积等于球的表面积的一半 C. 圆锥的体积与球的体积之比为 D. 若半径为，则圆锥侧面积为 11. 已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 点在斜边的中线上 C. 点的轨迹长度是 D. 的取值范围是 Ⅱ非选择题部分 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则__________． 13. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 14. 在锐角三角形中，若，则__________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若为实数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 17. 在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点． （1）设，，试用，表示； （2）若，求； （3）若，，求的最小值． 18. 已知在正四棱柱中，，，点是的中点． （1）求证：直线平面． （2）求三棱锥的体积． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点. （1）求A； （2）若，求的值； （3）若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $