精品解析：新疆伊犁哈萨克自治州2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试卷

2025-2026学年第二学期期中质量检测 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则复数z的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由复数，可得复数的虚部即． 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，为平面内不共线的向量，所以向量，是平面内的一组基底， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解. 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 则选项B不能作为一组基底. 4. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可得：，即， 由于，故，又，则或. 5. 在三角形中，点是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， ∴， 又因为，，所以． 6. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 7. 如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 8. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. z在复平面上对应点在第二象限 C. 为纯虚数 D. z是方程的一个根 【答案】AC 【解析】 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，在复平面上对应点在第四象限，故B错误； 对于C，，为纯虚数，故C正确； 对于D，将代入方程得，， 所以不是方程的一个根，故D错误． 10. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量运算公式，求得，可判定A不正确；利用向量的夹角公式，可判定B正确；由，可判定C正确；根据投影向量的计算公式，可得判定D正确. 【详解】由单位向量，满足， 对于A中，由， 所以，所以A不正确； 对于B中，由，因为，所以，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C正确； 对于D中，由， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：BCD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D为BC上的点，则（ ） A. B. 若，AD为的平分线，则 C. 的周长的取值范围是 D. 若D为BC的中点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由， 根据正弦定理得，， 则，即， 在中，，则，即， 又，则，故A正确； 对于B，由余弦定理，，解得， ， ， ，故B正确． 对于C，， 解得，当且仅当时等号成立， 又，则的周长的最大值为3，故C错误； 对于D，由余弦定理得，， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于为的中点，则， 所以 ， 则的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件代入计算得到结果； 【详解】设，则， 所以，则，， 即，，所以． 13. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可. 【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为， 所以圆台的体积为. 14. 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作交于点，利用几何知识可证得，再由余弦定理求得，再结合，从而可求解. 【详解】作交于点， 因为点为中点，所以点为中点，即， 又因为为中点，即， 又因为，所以，即， 在，由余弦定理可得， 在中，， 则 ， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题：本题5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）求； （2）若，求m的值； （3）若，求m的值． 【答案】（1）； （2）； （3）1 【解析】 【小问1详解】 由，，得 所以． 【小问2详解】 由，则 因为，所以，解得 【小问3详解】 由题可得 因为，所以． 解得 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C的大小； （2）若的面积，周长为20，求c． 【答案】（1）； （2）7 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理求解角的大小. （2）利用三角形的面积公式求得值，再通过余弦定理求得的值. 【小问1详解】 由余弦定理，又， ， ，， 【小问2详解】 ，且，. 又周长为， ，即. 根据余弦定理，即， ，解得. 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． （1）计算该模型的体积； （2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）计算出圆柱和圆锥的体积，然后将圆柱的体积减去圆锥的体积可得出几何体的体积； （2）计算出每个几何体的表面积，结合题意可得出涂个这样的模型所花的费用. 【小问1详解】 设圆锥的高为，由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，则， 设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，， 所以圆柱的体积， 圆锥的体积， 故该几何体的体积为. 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. 一个模型的表面积， 所以总费用为（元）. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）已知D为边AB上的一点，且． （ⅰ）若，，求的长； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理化简条件等式，进而求出，结合内角性质求B； （2）（ⅰ）利用余弦定理求出，结合正弦定理求出，进而求出； （ⅱ）利用正弦定理得到单变量三角函数，利用三角变换结合角的范围求值域． 【小问1详解】 由题意知， ， ， ， ， ， 又，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，， 根据余弦定理得， 所以， 因为， 所以， 在中，由正弦定理知，，即， 所以， 进而， 所以，故． （ⅱ）因为，， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又在中，， 所以 ， 因为，所以，， 所以， 所以的取值范围是． 19. 如图1所示，在中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O． （1）若，求实数t的值； （2）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，； （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）设的面积为，四边形BEFC的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】小问（1）将用基底表示，再找寻与的关系，将用表示出来，最后用三点共线的性质求解；小问（2）的（i）运用小问（1）的答案，将用表示出来，运用三点共线的性质，写出的等式，最后运用基本不等式求出最大值；（ii）计算出的表达式，再运用的等式列出一个函数式，再根据这个函数计算出其范围. 【小问1详解】 因为，所以 所以 所以． 因为，即，所以． 因为G，，三点共线，所以 【小问2详解】 （ⅰ）根据题意．同理可得： 由（1）可知，，所以 因为，，三点共线，所以 化简得，又因为，，所以． 当且仅当，即，时等号成立，故的最大值为． （ⅱ）根据题意，， ． 所以 由（ⅰ）可知，则，所以， 所以，一个开口向下的二次函数， 易知，当时，有最大值，当时，， 当时，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中质量检测 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则复数z的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 在三角形中，点是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 7. 如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. z在复平面上对应点在第二象限 C. 为纯虚数 D. z是方程的一个根 10. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D为BC上的点，则（ ） A. B. 若，AD为的平分线，则 C. 的周长的取值范围是 D. 若D为BC的中点，则的最大值为 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，则________． 13. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 14. 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 四、解答题：本题5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）求； （2）若，求m的值； （3）若，求m的值． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C的大小； （2）若的面积，周长为20，求c． 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． （1）计算该模型的体积； （2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）已知D为边AB上的一点，且． （ⅰ）若，，求的长； （ⅱ）求的取值范围． 19. 如图1所示，在中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O． （1）若，求实数t的值； （2）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，； （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）设的面积为，四边形BEFC的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $