精品解析：上海市高桥中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

高桥中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 已知集合，．若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，，且， 所以，所以. 2. 与的角终边相同的最小正角为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 3. 函数，为常数，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 则， 可得，而， 得到，解得. 4. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 5. 已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，说明一元二次不等式的解集就是，即和是对应方程的两个实根， 根据韦达定理得，因此， 验证： 因式分解得，解集确实为，符合. 6. 已知为锐角，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以，而为锐角，可得， 则，结合诱导公式可得. 7. 利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】令，由题意得， 由，得函数的定义域为， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增， 且由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 可得不等式即， 由单调性可得，故所求的解集是. 8. 已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设角的终边经过点，根据三角函数的定义，将问题转化为求角的三角函数值. 【详解】设角的终边经过点， 因为， 所以，， 将绕坐标原点顺时针旋转至，则有， 且角的终边经过点，结合， 有，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 9. 如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【详解】设，圆心角为， 则，解得， 故阴影部分的面积为. 10. 当时，，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】画出与的两个函数图像分析即可. 【详解】根据与的两个函数图像，如下图. 要求在上，成立 所以， 所以，解得 故答案为：. 11. 某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据为增函数求得，再根据题意可得恒成立，再根据函数的单调性求解不等式即可. 【详解】依题意单调递增，则，解得， 又依题意可得对恒成立， 故，在恒成立， 所以，解得， 由对勾函数性质可知在区间上单调递增， 所以， 综上，的取值范围为. 12. 已知实数，关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为，，，且，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过，，和求解集合，再通过集合相等，列出等式即可求解. 【详解】由，得， 对于， 因为，所以 当​时，， 不等式化为​， 故得：， 当​，， 不等式化为， 故得：， 当时，， 不等式化为， 故得：， 因为，，且， 即的左右端点与一致： 因为 左端点是，仅需​，得， 右端点需要等于​， 若​，即，此时， 此时， 成立. 若，此时，且，即无解， 则，令，解得，不满足，故无解. 综上可知， 即实数的取值范围为. 二、单选题（每题3分，共12分） 13. 角的终边经过点且，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. 14. 若，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值4 C. 最小值 D. 最小值4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 15. 已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，结合零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由已知得，所以， 又， ， ， ， 所以零点所在区间为， 故选：B. 16. 函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数值域的性质结合分离参数法得到，再得到时，，最后利用二次函数的性质分类讨论对称轴的位置，建立不等式，求解取值范围即可. 【详解】因为的值域为， 所以当时，恒成立， 而，则，即， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 当时，，可得， 因为，所以， 而，可得，且的值域为， 则当时，， 由二次函数性质得的对称轴为，， 当时，解得，此时，解得， 可得实数的取值范围是， 当时，解得，此时， 可得实数的取值范围是， 综上可得，实数的取值范围是，故B正确. 三、解答题（共5题，满分52分） 17. 已知角满足． （1）求； （2）若是第四象限角，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知等式两边平方，结合同角的正余弦的平方和为1，可求解. （2）结合（1）求得的值，结合是第四象限角，进而可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 因为是第四象限角，所以，所以， 又， 所以. 18. 若，，且，． （1）求和； （2）求及． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求解； （2）根据两角和的余弦公式进行计算，根据的值和的范围确定的值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，，所以， 所以； 【小问2详解】 ， 又，所以. 19. 设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，利用函数的单调性求出集合，再利用交集的定义可求得集合即可. （2）分析可知是的真子集，利用函数的单调性求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，求解即可. 【小问1详解】 对于函数，则有， 得， 故， 当时，由反比例函数性质得在上递减， 则函数在上递减，可得，即， 得到，则，即. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，由反比例函数性质得函数在上单调递减， 所以，且，得到，解得. 因此实数的取值范围是. 20. 设常数，，． （1）已知的图象过点，求实数的值； （2）若成立，求实数的取值范围； （3）当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当 时， 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数，建立方程，进而求解参数即可. （2）结合题意构造不等式，再结合对数函数的单调性，分类讨论求出参数范围即可. （3）结合题意并以换元法化为二次函数，再讨论端点值求出最大值即可. 【小问1详解】 因为的图象过点， 所以，所以，解得. 【小问2详解】 因为， 所以， 则，化简得，整理得， 当时，恒成立， 当时，可得，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 令，因为，所以， 则， 设，而，， 而开口向上，则讨论端点值即可， 当时，即，函数有最大值为6， 当时，即，函数有最大值为， 综上可得，当时，最大值为6， 当时，最大值为. 21. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”． （1）设，求的“负倒域区间”； （2）已知定义域为的函数． ①求函数在内的“负倒域区间”； ②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”． 【答案】（1） （2）①；②和 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性及“负倒域区间”的定义求解即可； （2）判断出函数为奇函数，再根据函数的单调性及“负倒域区间”的定义求解①，对的所在位置和符号情况进行分类讨论，再结合“负倒域区间”的定义与奇函数性质求解②即可. 【小问1详解】 由题意得，且在上单调递增， 设的“负倒域区间”为，则， 可得，则是方程的两根， 化简得，解得或， 则的“负倒域区间”为. 【小问2详解】 对于①，因为， 且， 所以， 可得是奇函数，且当时，， 当时，，则， 则由二次函数性质得在上单调递增， 设的“负倒域区间”为， 则，可得，得到是方程的两根， 化简可得方程为，解得或（其它根舍去）， 则在内的“负倒域区间”为. 对于②，当异号时，设， 此时，，不符合题意，则一定同号， 而是奇函数，则讨论在的情况即可， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，设的“负倒域区间”为， 则，可得，得到是方程的两根， 化简可得方程为，解得或（其它根舍去）， 则在内的“负倒域区间”为， 当时，设的“负倒域区间”为， 则，此时在上单调递减， 由二次函数性质得的对称轴为， 则最小值为，可得， 解得，发现矛盾，故排除，当在上时， 由对称性可得的“负倒域区间”为， 综上可知，函数在定义域内的所有“负倒域区间”为和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高桥中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 已知集合，．若，则______． 2. 与的角终边相同的最小正角为______． 3. 函数，为常数，若，则的值为______． 4. 已知，则______． 5. 已知集合，，若，则实数______． 6. 已知为锐角，且，则______． 7. 利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 8. 已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则的坐标为_______. 9. 如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是______． 10. 当时，，则的取值范围是_________. 11. 某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 12. 已知实数，关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为，，，且，则实数的取值范围为______． 二、单选题（每题3分，共12分） 13. 角的终边经过点且，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3 14. 若，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值4 C. 最小值 D. 最小值4 15. 已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 16. 函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共5题，满分52分） 17. 已知角满足． （1）求； （2）若是第四象限角，求． 18. 若，，且，． （1）求和； （2）求及． 19. 设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20. 设常数，，． （1）已知的图象过点，求实数的值； （2）若成立，求实数的取值范围； （3）当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 21. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”． （1）设，求的“负倒域区间”； （2）已知定义域为的函数． ①求函数在内的“负倒域区间”； ②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $