辽宁营口市部分校2025-2026学年高一下学期期末联考数学试卷

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第三册，必修第四册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为 A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则的值为 A． B． C． D． 3．如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为 A． B． C． D． 4．如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则 A． B． C． D． 5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．已知函数满足，且当时，，则 A． B． C． D． 8．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，，则 A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 10．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题错误的是 A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，是异面直线，且，，，，则 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则下列结论正确的是 A． B．若，则满足条件的有且只有一个 C．若，且是整数，则 D．若是的最小内角，则面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则_______． 13．底面边长为8的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为4，高为5的正三棱锥，所得棱台的体积为_______． 14．在矩形中，，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知，复数，且为纯虚数． （1）求的值； （2）若，求． 16．（本小题满分15分） 如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17．（本小题满分15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）若，求证：为等边三角形； （2）若，，点是边上的一点，且，求线段的长． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）证明：； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在区间上存在2个零点和1个对称轴，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案、提示及评分细则 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 9．AD 10．BC 11．ACD 12． 13． 14． 15．解：（1）因为复数为纯虚数，所以　　　　　　3分 解得所以．　　　　　　6分 （2）由（1），得，，　　　　　　7分 所以，　　　　　　10分 所以．　　　　　　13分 16．证明：（1）连接， 正四棱锥中，为正方形的中心，则为的中点，　　　　　　2分 又为的中点，则，　　　　　　4分 因为平面，平面，所以平面．　　　　　　6分 （2）因为，分别为，的中点，则，　　　　　　7分 因为平面，平面，所以平面，　　　　　　9分 因为，分别为，的中点，则， 又，所以，　　　　　　11分 平面，平面，则有平面，　　　　　　13分 ，平面，，所以平面平面．　　　　　　15分 17．解：因为，所以，所以，　　　　　　3分 又，所以．　　　　　　5分 （1）证明：若，由正弦定理得，所以，所以，所以，　　　　　　8分 又，所以为等边三角形．　　　　　　10分 （2）解：因为，即， 所以，　　　　　　13分 解得．　　　　　　15分 18．（1）证明： 　　　　　　3分 当时，即时，，　　　　　　4分 故．　　　　　　5分 （2）解：令，　　　　　　7分 解得，　　　　　　9分 故的单调递增区间为．　　　　　　10分 （3）解：，设函数的最小正周期为， 由题意可知，，即，解得，　　　　　　11分 由正弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴． 由，得，由得， 又，所以，　　　　　　13分 则或　　　　　　15分 解得，或， 故实数的取值范围为．　　　　　　17分 19．（1）证明：在中，，，，所以，所以，　　　　　　1分 在中，，，，所以，所以，　　2分 又，平面，，所以平面．　　　　　3分 （2）解：如图， 连接，取的中点，连接，，． 因为平面，平面平面，平面，所以， 因为，，所以，　　　　　4分 因为，，是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角．　　　　　5分 在等边中，，，所以，　　　　　6分 在中，因为，，所以，　　　　　7分 在平行四边形中，， 所以，，　　　　　8分 在中，， 所以， 故二面角的正弦值为．　　　　　9分 （3）解：如图，过点作，交的延长线于点． 因为，，，，平面，所以平面． 因为平面，所以．　　　　　　10分 又，，，平面， 所以平面，， 所以．　　　　　　12分 因为，平面，平面，所以平面． 又因为点在棱上，所以点到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，　　　　　　15分 当时，最短，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 当点与重合时，最长，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．　　　　　　17分 学科网（北京）股份有限公司 $