精品解析：山东省邹城市郭里中学等校2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

九年级数学线上教学质量评估 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ） 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A. B. C. D. 3. 对于一元二次方程，则该方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 两根之和是3 C. 两根之积是 D. 有两个不相等的实数根 4. 长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 16 5. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 6. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 7. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，且点在上，连接，则的度数是（ ） A B. C. D. 8. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（　　） A. 8米 B. 4米 C. 6米 D. 3米 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ） A. 10 B. 24 C. 48 D. 50 10. 如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），直线y2＝mx＋n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论： ①2a＋b＝0； ②abc＞0； ③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根； ④当1＜x＜4时，有y2＜y1； ⑤抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ①③⑤ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 有六张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④双曲线；⑤圆；⑥抛物线．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是______． 13. 一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ . 14. 如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A、C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 15. 定义：形如的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定（），a称为复数的实部，b称为复数的虚部、复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数。例如，因此，的实部是-8，虚部是6.已知复数的虚部是12，则实部是______________； 三、解答题（本题有7个小题，共55分） 16. 如图，在由边长为1个单位长度小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为，）．画出线段； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段．画出线段； （3）以A、、、为顶点的四边形的面积是______个平方单位． （4）连接、，则的值______． 17. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为． （1）求的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）写出kx+b﹣＜0的解集． 19. 某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该水果每次降价的百分率； （2）从第二次降价第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示： 时间（天） x 销量（斤） 120﹣x 储藏和损耗费用（元） 3x2﹣64x+400 已知该水果进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？ 20. 如图，已知在中， （1）已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若与AB切于点D，与CB的另一个交点为E，连接AO、DE，求证：DE//OA． （3）若，，求的半径． 21. 阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）． 探究活动： 如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，其外接圆半径为R，那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形． 初步应用： 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b． 综合应用： 如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝） 22. 如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PD，求△PAD的面积的最大值； （3）Q点在x轴上且位于点B的左侧，若以Q，B，C为顶点的三角形与△ABD相似，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学线上教学质量评估 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称的概念判断，如果能找到一个点，使图形绕某点旋转后能够与原图形互相重合，那么该图形就是中心对称图形． 【详解】解：A、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形是中心对称图形，符合题意； D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 2. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ） 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：xy＝100， 故y关于x的函数表达式为：． 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 3. 对于一元二次方程，则该方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 两根之和是3 C. 两根之积是 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程根的判别式进行求解． 详解】解：由一元二次方程可知：， ∴， ∴原方程无实数根， 所以也就不存在根与系数的关系； 故选A． 4. 长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽，进而得出左视图面积=宽×高． 【详解】解:根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽， 从而得出：左视图面积=宽×高． 故选A． 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的形状，利用主视图确定物体的长与高；俯视图确定物体的长与宽是解题关键． 5. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 6. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 7. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，且点在上，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，求得的度数，在中，根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵旋转， ∴，，， ∴，， ∴． 8. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（　　） A. 8米 B. 4米 C. 6米 D. 3米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案． 【详解】过点A作AD⊥CB延长线于点D， ∵∠ABD=45°， ∴AD=BD， ∵AB=4， ∴AD=BD=ABsin45°=4×=4， ∵坡度i=1：， ∴== 则DC=4， ∴AC==8（m）． 故选A. 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用等知识，坡比是垂直距离与水平距离的比值；正确得出DC，AD的长及坡比的定义、熟记特殊角三角函数值是解题关键. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ） A. 10 B. 24 C. 48 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵菱形OABC的边OA在x轴上，点， ∴， ∵． ∴， ∴ ∴点C坐标 ∵若反比例函数经过点C， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标． 10. 如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），直线y2＝mx＋n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论： ①2a＋b＝0； ②abc＞0； ③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根； ④当1＜x＜4时，有y2＜y1； ⑤抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1， ∴2a＋b＝0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴x＝1时，二次函数有最大值， ∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，所以③正确； ∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）， ∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以④正确． ∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识，考查知识点较多，解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】分别根据绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值和负指数幂计算即可． 【详解】 ． 12. 有六张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④双曲线；⑤圆；⑥抛物线．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵六张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④双曲线；⑤圆；⑥抛物线中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是①④⑤， ∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是． 13. 一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ . 【答案】2 【解析】 【详解】【分析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得. 【详解】由题意得：+2=0，=2， ∴=-2，=4， ∴=-2+4=2， 故答案为2. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 14. 如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A、C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质可得，，从而得出，，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴，， ∴，， ∴ ． 15. 定义：形如的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定（），a称为复数的实部，b称为复数的虚部、复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数。例如，因此，的实部是-8，虚部是6.已知复数的虚部是12，则实部是______________； 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用已知定义得出实部、虚部,进而得出答案. 【详解】解:∵ 的实部为，虚部为 又复数的虚部是12, 的实部为 故答案为5． 【点睛】本题考查了实数的运算，在解题过程中理解新给出的定义公式是关键． 三、解答题（本题有7个小题，共55分） 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为，）．画出线段； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段．画出线段； （3）以A、、、为顶点的四边形的面积是______个平方单位． （4）连接、，则的值______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）20 （4） 【解析】 【分析】（1）线段和分别延长一倍即可得到和，再画出线段； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，即可画出线段； （3）连接，即可得到四边形为正方形，进而得出其面积； （4）先由勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问3详解】 解：由图可得，四边形为正方形， ∴四边形的面积是． 故答案为：20． 【小问4详解】 解：由图可得，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 17. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为． （1）求的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可； （2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1； （2）根据题意画出树状图如下： 所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率． 【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）写出kx+b﹣＜0的解集． 【答案】（1）y＝﹣，y＝x+9；（2）9；（3）x＜﹣4或﹣2＜x＜0． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC长度，从而得知A点坐标，用待定系数法可求反比例函数解析式．把B点纵坐标代入反比例函数即可知道B点横坐标．同样用待定系数法把A、B的坐标代入一次函数解析式可得方程组，求出方程组的解即可求出一次函数解析式； （2）求出一次函数与x轴交点R的坐标．，根据三角形的面积公式求出和即可； （3）要使kx+b﹣＜0，即函数的图像在的下方，在根据A、B的坐标即可求出答案． 【详解】（1）在Rt△AOC中，， 故点A的坐标为(-4，3)， 将A(-4，3)代入，解得m＝﹣12， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣； ∵当y＝6时，代入y＝﹣，解得x＝﹣2， ∴B(-2，6)， 将A(-4，3)，B(-2，6)代入y＝kx+b得 ，解得， ∴一次函数解析式为y＝x+9； （2）设一次函数交x轴于点R， 把y＝0代入y＝x+9，解得：x＝﹣6， 即R的坐标是(-6，0)，OR＝6， S△AOB＝S△BOR﹣S△AOR＝； （3）由图象知kx+b﹣＜0的解集为：x＜﹣4或﹣2＜x＜0． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点的问题，反复用待定系数法先后求出反比例函数和一次函数的解析式，用大三角形面积减去小三角形面积也是本题的关键，最后根据函数图像和两个函数的交点，判断kx+b﹣＜0时，即函数的图像在的下方，x的取值范围． 19. 某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该水果每次降价的百分率； （2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示： 时间（天） x 销量（斤） 120﹣x 储藏和损耗费用（元） 3x2﹣64x+400 已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）10%；（2）y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率； （2）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设该水果每次降价的百分率为x， 10（1﹣x）2＝8.1， 解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）， 答：该水果每次降价的百分率是10%； （2）由题意可得， y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380， ∵1≤x＜10， ∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377， 由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答． 20. 如图，已知在中， （1）已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若与AB切于点D，与CB的另一个交点为E，连接AO、DE，求证：DE//OA． （3）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作∠CAB平分线与BC的交点即为圆心O，然后以点O为圆心，以OC的长为半径作圆O即可； （2）连接OD，CD，只要证得Rt△AOC≌Rt△AOD（HL），利用等腰三角形的三线合一的性质证得OA⊥CD，然后利用CE是圆O的直径，证得CD⊥DE，即可证得DE∥OA； （3）圆O的半径为R，则OC=OD=R，利用，表示出，然后证得△BOD∽△BAC，利用相似三角形的性质得到，解得，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 连接OD，CD， ∵AB是圆O的切线， ∴OD⊥AB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADO=90°， 又∵OC=OD，AC=AC， ∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL） ∴AC=AD，∠CAO=∠DAO， ∴OA⊥CD， ∵CE是圆O的直径， ∴∠CDE=90°， 即CD⊥DE， ∴DE∥OA； 小问3详解】 设圆O的半径为R，则OC=OD=R ∵DE∥OA， ∴∠DEO=∠AOC， ∵， ∴， ∴， ∵∠ACB=∠ADO=90°，∠B=∠B， ∴△BOD∽△BAC， ∴， 即， 解得， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ， 即， 解得或（不合题意，舍去） ∴的半径为3． 【点睛】本题是一道圆知识的综合题，考查了切线的判定和性质、直径所对的圆周角是90°、平行线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正切等，根据题意作出图形和辅助线是解题的关键． 21. 阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）． 探究活动： 如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形． 初步应用： 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b． 综合应用： 如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝） 【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m． 【解析】 【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案； 初步应用：根据，得出，即可得出b的值； 综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案． 【详解】解：探究活动：， 理由如下： 如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD， ∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°， ∴sinA＝sinD，sinD＝， ∴， 同理可证：， ∴； 故答案为：＝，＝，＝． 初步应用： ∵， ∴， ∴． 综合应用： 由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100， ∴∠ACB＝30°． 设古塔高DC＝x，则BC＝， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴古塔高度约为36.6m． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键． 22. 如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PD，求△PAD的面积的最大值； （3）Q点在x轴上且位于点B的左侧，若以Q，B，C为顶点的三角形与△ABD相似，求点Q的坐标． 【答案】（1）y＝−x2＋2x＋3；（2）；（3）（，0）或（−，0）． 【解析】 【分析】（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A，C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析式； （2）过点P作PE⊥x轴，交x轴于点G，交AD于点F，作DE⊥PF于E，利用函数解析式联立方程组，求解后得出点D坐标，设P（m，−m2＋2m＋3），F（m，-m-1），则可表示出PF，根据三角形面积公式及二次函数的最值即可得出结论； （3）过点D作DE⊥x轴于点E，求出∠BAD＝45°，所以可能存在△QBC∽△BAD和△QBC∽△DAB两种情况，设Q（t，0），分别利用相似三角形的性质可求出t的值，即可写出点Q的坐标． 【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A， ∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，x＝﹣1， ∴A（−1，0）， 将A（−1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝−x2＋2x＋3； （2）如图，过点P作PE⊥x轴，交x轴于点G，交AD于点F，作DE⊥PF于E， 由题意，得 ， 解得，， 当时，， ∴D（4，－5）， 设P（m，−m2＋2m＋3），F（m，－m－1）， ∴PF=－m2＋2m＋3－（－m－1）=－m2＋3m＋4， ∴S△PAD= S△PAF+ S△PDF=•PF•AG+PF•DE=PF（AG+DE）， ∵AG+DE=， ∴S△PAD=PF， ∴当PF取最大值时，S△PAD的值最大， PF=－m2＋3m＋4=－（m－）2+， ∴PF的最大值为， 则△PAD的面积的最大值为． （3）如图，过D作DE⊥x轴于点E， ∵A（−1，0），D（4，−5）， ∴AE＝DE＝5， ∴AD＝，∠BAD＝45°， 又OB＝OC＝3， ∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝， 设Q（t，0），则BQ＝3−t， ∵∠BAD＝∠ABC＝45°， ∴只可能存在△QBC∽△BAD和△QBC∽△DAB两种情况， 当△QBC∽△BAD时，， ∴， ∴t＝， ∴Q1（，0）； 当△QBC∽△DAB时，， ∴， ∴t＝−， ∴Q2（−，0）， 综上所述，点Q的坐标为（，0）或（−，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是求相似三角形的存在性时能够先确定相等的角，然后再分类讨论求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $