1.3 勾股定理的应用 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖逆定理判定垂直、实际问题抽象直角三角形及折叠问题等核心内容。课堂导入通过李叔叔检验边是否垂直、折叠正方形纸片等情境，从实际问题中提炼数学模型，衔接勾股定理知识，搭建学习支架。 其亮点在于以情境探究为主线，融合“数学眼光”“数学思维”“数学语言”，如古题“葭生池中”转化为直角三角形模型，折叠问题运用方程思想求解，方法总结表格梳理模型与思想。助力学生提升抽象能力与应用意识，教师可借助丰富实例高效开展教学。

1.3节勾股定理的应用 第一章 勾股定理 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题. 2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题. 学习目标 情境导入 壹 (2)李叔叔量得边AD的长是30 cm，边AB的长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm，则边AD垂直于AB吗？ (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 新知初探 探究一：折叠问题 贰 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm.点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落在点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F，你能求出DF的长吗？ 解：∵正方形ABCD的边长为8， ∴AD＝AD＝8， ∵点E是边AD的中点， ∴DE=4，FC=8-x 由折叠知，EF＝FC＝8-x ， 在Rt△DEF中，根据勾股定理得， DE2+DF2＝EF2， ∴42+x2＝（8﹣x）2 ∴x=3， 故DF的长度为3m。 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ A B C D ∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，DB2＝502＝2500 ∴∠A＝90°，即AD⊥AB. 所以边 AD 垂直于边 AB (2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？ A B C D A C B E D 5 x 10-x 10-x 10 解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm， 由题意，根据折叠的性质， 可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5. 在Rt△ACD 中， 由勾股定理得，AD² = AC² + CD²， 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm， BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？ (10 - x)² = 5² + x²， 解得 x = . 则 CD = . 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8 - x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3. ∴DF 的长为 3 cm. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 解：∵点 E 是边 AD 的中点，∴ DE = AD = 4 cm. 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 新知初探 贰 2.如图,数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1 m，再将绳子拉直(如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5 m，则旗杆的高度为 m。 12 新知初探 贰 3.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C。求A，C两点之间的距离。 解：如图，过点B作BE∥AD。 ∴∠DAB＝∠ABE＝53°。 ∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°， ∴∠CBA＝90°。 ∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002， ∴AC＝500m， 即A，C两点间的距离为500 m。 教师示范 方法总结与反思 对比项 模型 结论 直角三角形 勾股定理 方程思想 全等三角形 +平行线 辅助线 等腰三角形 角平分线+平行线 转化思想 巩固拓展 古题新作测水深 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：如图,有一个水池,水面是一个边长为 1 丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面 1 尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 问题6：阅读文本，能得到哪些线段的长度？ AB=1尺，AC=5尺，OC=OB 0.5m 7m 1.5m 项目方案 测量示意图： 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离. 各项数据 测量项目 绳子垂到地面多出部分的长度 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 数据 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 请根据表格所给信息，完成下列问题． 问题：（1）直接写出线段 MN 与 AM 之间的数量关系. M N E M N C A B 图2 图3 AM = MN + 0.5 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 例2：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问:水深、葭长各几何?(选自《九章算术》)题目大意:有一个水池， 水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面1尺(如图)。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的 顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度 各是多少? 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺. 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺. 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2. 解得 x = 12. 12 + 1 = 13. 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺. 4. 为了推广城市绿色出行，某市交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点.该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB=3km，CA=2km,DB=1.6km，试问该单车停放点E应建在距点A多远处，才能使它到两广场的距离相等. 解：设AE为x m，因为CE=DE， 所以由勾股定理可得CA2+AE2=BD2+EB2. 即22+x2=1.62+(3-x) 2，解得x=1.26. 所以该单车停放点E应建在距离A点1.26 km 处，才能使它到两广场的距离相等. 当堂检测 17 知识点1 勾股定理的应用 （第1题） 1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条 长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为 ( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 18 （第2题） 2.如图是一个装饮品的圆柱形玻璃杯，现测得其内径为 ，高为，有一支长为 的吸管任意斜放于杯 中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露在杯口外的长度最少 为( ) B A. B. C. D.不能确定 返回 中考考法 19 1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒 下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的 高度是(　D　) A. 12m B. 13m C. 17m D. 18m D 第1题图 当堂反馈 2. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒 斜放入一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻 璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径 是(　D　) A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm 第2题图 D 当堂反馈 $