1.3勾股定理的应用（培优课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖立体图形最短路径、折叠、航海方位角、梯子高度四大题型。通过回顾勾股定理及逆定理，结合装修工人检测垂直等情境导入，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是以实际问题为载体，如测量旗杆高度、《九章算术》葭生池中问题，培养学生用数学眼光抽象现实为直角三角形模型，用数学思维推理列方程求解。分层练习与易错总结结合，教师易操作，学生能提升应用能力与模型意识。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 1.3勾股定理的应用 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 同步精讲+习题（北师大版八年级上册） 一、核心解题思想 勾股定理应用的核心思路：把实际问题转化为直角三角形模型。生活中的距离、高度、最短路径、折叠、航行问题，大多无直接直角三角形，需要通过作辅助线、展开立体图形、利用折叠性质，构造出直角三角形，再借助 $$a^2+b^2=c^2$$ 求解边长。 二、四大必考经典题型 题型1：立体图形最短路径问题（展开法） 圆柱、长方体表面最短路径，解题关键：立体转平面，将立体图形侧面展开为长方形，两点之间线段最短，构造直角三角形求解。 核心：展开后直角边分别为立体图形的高、底面周长的一半或底面边长。 题型2：折叠问题（边长不变法） 矩形、三角形折叠问题，核心性质：折叠前后对应边长相等、对应角相等。通常设未知边长为$$x$$，用含$$x$$的式子表示直角三角形三边，列勾股方程求解。 题型3：航海与方位角问题 利用“南北、东西方向互相垂直”，直接构造直角三角形，结合方位角确定两条直角边长度，求两点直线距离。 题型4：梯子、竹竿高度问题 经典靠墙模型，墙与地面垂直，天然形成直角三角形，梯子、竹竿为斜边，移动前后斜边长度不变，通过勾股定理求高度、底部移动距离。 三、基础填空题 1. 解决立体图形最短路径问题的核心方法是将立体图形________，转化为平面图形求解。 2. 折叠问题的核心性质是折叠前后________相等，据此设未知数列方程解题。 3. 一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子底部距墙面6m，则梯子顶端距地面________m。 四、选择题 1. 长方体表面最短路径问题，最终依据的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 三角形三边关系 D. 勾股逆定理 2. 一艘船先向正东航行8km，再向正北航行6km，此时船距离出发点直线距离为（ ） A. 10km B. 12km C. 14km D. 16km 五、解答应用题（考试高频题型） 1. 一架长25m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙7m。若梯子顶端下滑4m，求梯子底部水平滑动的距离。 2. 有一个圆柱，高为12cm，底面周长为18cm，一只蚂蚁从圆柱底面一点爬到顶面正对一点，求最短爬行距离。 六、参考答案与解析 填空题 1. 侧面展开；2. 对应边长；3. 8，解析：$$\sqrt{10^2-6^2}=8$$。 选择题 1. B 解析：立体展开为平面，依据两点之间线段最短求最短路径。 2. A 解析：正东正北垂直，$$8^2+6^2=10^2$$，直线距离10km。 解答题 1. 解：初始状态，墙高$$\sqrt{25^2-7^2}=24\mathrm{m}$$。顶端下滑4m后，新高度为$$24-4=20\mathrm{m}$$。此时梯子底部距墙$$\sqrt{25^2-20^2}=15\mathrm{m}$$。滑动距离：$$15-7=8\mathrm{m}$$。答：梯子底部滑动8米。 2. 解：将圆柱侧面展开为长方形，长方形高12cm，底面半周长9cm。最短距离为斜边：$$\sqrt{12^2+9^2}=15\mathrm{cm}$$。答：最短爬行距离为15cm。 七、本节易错总结 1. 立体图形展开错误，找错直角边长度，混淆底面周长和半周长； 2. 梯子滑动问题只算最终距离，忘记减去初始距离，漏求滑动差值； 3. 折叠问题不会设未知数，无法利用边长不变构造方程； 4. 忽略方位角垂直关系，无法构造直角三角形解题。 运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题. 能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题. 灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力. 回顾前面学过的内容，回答问题： 1.勾股定理的内容是什么？ 直角三角形 → a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 → 直角三角形 2.勾股定理的逆定理是什么？ A C B a b c 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ A B C D 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥AB. （2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm. 边 AD 垂直于边 AB 吗? A B C D 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 ∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500， DB2＝502＝2500， ∴∠A＝90°，即AD⊥AB. 所以边 AD 垂直于边 AB A B C D 能检验. 在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F. 因为 12² + 16²= 20²， 用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥AB； 若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB. (3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗? E F 【活动1】：动手折一折 用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由. 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？ A C B E D 分析：(1) 本题已知什么？ 求的是什么？ 5 10 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 A C B E D （3）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边吗？ （2）本题将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，可得到什么？依据是什么？ AD = BD；依据：折叠的性质. 5 CD 在Rt△ACD 中； x 10-x 10-x 可设 CD = x， 则 AD = 10 - x. 10 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 A C B E D 5 x 10-x 10-x 10 解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm， 由题意，根据折叠的性质， 可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5. 在Rt△ACD 中， 由勾股定理得，AD² = AC² + CD²， 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm， BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？ (10 - x)² = 5² + x²， 解得 x = . 则 CD = . 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8 - x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3. ∴DF 的长为 3 cm. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 解：∵点 E 是边 AD 的中点，∴ DE = AD = 4 cm. 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？ 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 【活动2】：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度. 以下是小丽设计的测量方案： 项目背景 项目方案 测量实物图： 如图，小丽制订了如下测量方案，并进行实地测量. 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N. 将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度． 0.5m 7m 1.5m 项目方案 测量示意图： 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离. 各项数据 测量项目 绳子垂到地面多出部分的长度 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 数据 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 请根据表格所给信息，完成下列问题． 问题：（1）直接写出线段 MN 与 AM 之间的数量关系. M N E M N C A B 图2 图3 AM = MN + 0.5 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 (2) 根据小丽的测量方案和数据，求出学校旗杆 MN 的高. 解：过 A 作 AC⊥MN 于 C， 则 AB = CN，AC = BN， 根据题意得，AB = CN = 1.5 m. AC = BN = 7 m，AM = MN + 0.5， ∴ CM = MN - CN = MN - 1.5， ∵ AM 2 = AC 2 + CM 2， ∴ (MN + 0.5)2 = 72 + (MN - 1.5)2， 解得 MN = 12.75， 答：学校旗杆 MN 的高 12.75 米. M N C A B 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边 长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面1尺. 如果把这根芦苇垂直拉向岸边， 那么它的顶端恰好到达岸边的水面. 这个水池的深度和这根芦苇的 长度各是多少? B O C A 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺. 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺. 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2. 解得 x = 12. 12 + 1 = 13. 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺. B O C A 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 例2 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400 m 到达点 B，然后再沿北偏西 37° 方向走了 300 m 到达目的地 C. 求 A，C 两点之间的距离. 解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解. 北 C B E A D 东 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 解：如图，过点 B 作 BE∥AD. ∴∠DAB = ∠ABE = 53°. ∵ 37° + ∠CBA + ∠ABE = 180°， ∴∠CBA = 90°. ∴AC² = BC² + AB² = 300² + 400² = 500². ∴AC = 500 m， 即 A、C 两点间的距离为 500 m. 方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题. 北 C B E A D 东 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 【教材P14 习题1.3 第1题】 1. 如图（单位：cm），阴影部分是一个长方形， 它的面积是多少？ 8cm 15cm 3cm 解：设直角三角形斜边长（长方形的长）为 x cm，由勾股定理得 x2 = 152＋82 = 289 = 172，x = 17，即长方形的长为 17 cm，则长方形的面积为 17×3 = 51（cm2）， 即阴影长方形的面积是 51 cm2 。 随堂练习 【教材P15 习题1.3 第2题】 2. 如图，一座城墙高 11.7 m，墙外有一条护城河，在护城河 外距离城墙根 9 m处架一架长为 15 m 的云梯，该云梯能 否到达墙的顶端？为什么？ 解：11.72 + 92 < 152，因而长 15 m的云梯可以到达墙的顶端。 随堂练习 3. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为 4 m，宽为 2.6 m。一辆卡车装满货物后，高为 3.6 m，宽为 2.4 m，它能通过该隧道吗？ 【教材P15 习题1.3 第3题】 2.6 4 A B C D O 解：如图，设 O 为半圆的圆心，DB ⊥ AB，易知 OD = 2 m。 当 OC = AB = 1.3 m 时，由勾股定理， 得 CD2 = OD2－OC2 = 22－1.32 = 2.31。 因为 2.31 > 12，所以 CD > 1 m， 所以 CD + BC > 3.6 m，所以它能通过该隧道。 随堂练习 4. 借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺，请你设计一个方案，测算出旗杆的高度。 【教材P15 习题1.3 第4题】 随堂练习 知识点1 勾股定理的应用 （第1题） 1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条 长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为 ( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 25 （第2题） 2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为 ，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中， 设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( ) B A.9 B.11 C.12 D.14 返回 考试考法 26 3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计 算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ， 于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列 方程为____________________。 返回 考试考法 27 4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为，，，则的长为___ 。 9 返回 考试考法 28 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短路程问题 勾股定理的实际应用问题 课堂小结 $