专题2.6 有理数的乘方（6题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统讲解乘方的意义、幂、底数、指数的概念，梳理正数、负数、0的乘方运算符号规律，以及科学记数法的应用，在有理数加减乘除基础上构建运算体系，为混合运算学习提供支架。 资料通过“即学即练”即时巩固，设置概念理解、运算、实际应用（如拉面捏合、水葫芦繁殖）等分层题型，结合辨析“-2⁴”与“(-2)⁴”培养抽象能力和运算能力，课中助力教师高效教学，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.6有理数的乘方 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01有理数的乘方 知识点02有理数的乘方运算 2知识清单 知识点03科学记数法 题型01有理数幂的概念理解 有理数的乘方 题型02有理数的乘方运算 题型03乘方运算的符号规律 3题型精讲 题型04乘方的应用 题型05与有理数乘方有关的新定义型问题 题型06用科学记数法表示绝对值大于1的数 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解有理数乘方的意义，掌握幂、底数、指数的概念，能正确读、写乘方算式。 教学目标 2.能准确进行有理数的乘方运算，理解并区分负数的奇次幂与偶次幂的符号规律。 3.通过乘方运算的学习，进一步体会特殊到一般的数学思想，提升运算能力。 重点 1.有理数乘方的意义及相关概念，能进行乘方运算。 2.掌握幂的符号法则：正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正。 教学重难点 教学难点 1.正确区分“-24”与“(-2)4”的底数、读法及运算结果的差异，理解“a”与“-a” 的区别。 2.在乘方与之前学过的加减乘除混合运算中，正确把握运算顺序（先乘方，后乘除， 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 再加减)。 知识清单 知识点01有理数的乘方 a×a×a…×g 一般地，n个相同的因数a相乘，即 n个 ,记作a”,读作a的”次方求n个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在a”中，a叫做底数，n叫做指数.a”读作a的n次方，也可以读作a的n次幂 【即学即练】 1.2可表示() A.五个2相加B.两个5相加 C.五个2相乘 D.两个5相乘 2.32的底数是一，指数是— _3) 、4 的底数是 一，指数是—：一5的底数是一，指 数是 知识点02有理数的乘方运算 (1)正数的任何次幂都是正数； (2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数： (3)0的任何正整数次幂都是0： (4)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即学即练】 1.计算： 1(-5°： e: 6)\2) 知识点03科学记数法 把一个大于10的数记成a×10的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科 学记数法.科学记数法形式：a×10,其中1≤a<10,n为正整数. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练】 1.据商务部消息，2025年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效.截至3月11日，今年全国电动自行 车售旧、换新各166.4万辆，超过2024年总和.数据166.4万用科学记数法表示为() A.166.4×104B.0.1664×10 C.1.664×10 D.1.664×10 2.央广网报道“中国旅游研究院数据显示2023-2024冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过3.85亿人次， 预计新一轮，也就是2024-2025冰雪季有望突破5亿人次”，数据3.85亿用科学记数法表示为一· 题型精讲 题型01有理数幂的概念理解 【典例1】代数式n可以表示成() A.3个n相乘B.n个3相乘 C.3个n相加 D.n个3相加 【变式1】-3的意义是() A.4个-3相乘 B.4个-3相加 C.-3乘以4 D.的相反数 【变式2】(1)在(5)中，底数是 一，指数是 (2)在-52中，底数是 指数是」 意义是 题型02有理数的乘方运算 【典例2】计算： 1)(-43: 21(-2)4； ( 【变式1】计算： (1)63: 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(-7): 3)(-0.2)° (5)103: 6(-10)。 【变式2】计算 (1)72: 2(-6): a): 4-32: 23 515； ( 题型03乘方运算的符号规律 【典例3】当a<0时，下列各式不成立的是() A.a2>0 B.a2=-a c.a2=(-a) D.lal=-a 【变式1】有下列各数：①-1；②(-1)'；③-1：④(-)，其中结果等于-1的是() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【变式2】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（) A.-32与（-3)月 B.53与 C.-7与(-7) .〔与 【变式3】已知n为正整数，计算(-)”-（)的结果是（) A.1 B.-1 C.0 D.2 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04乘方的应用 【典例4】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食.拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长， 再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条.回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【变式1】古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的 感谢，国王答应满足大臣一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放1粒米，第二格 放2粒米，第三格放4粒米，然后是8粒米，16粒米，…直到第64格.”“你真傻就要这么一点米？”国 王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第64格中能放多少米吗？请你帮忙计算 出来 【变式2】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力.据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的 净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株.（不 考虑死亡、被打捞等其他因素) (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 25 5n 总株 4 … 数 (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益.若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述 生长速度， 多少天时有1280株水葫芦？ 天数 10 15 25 5n 总株 2 4 8 32 … 2” 数 题型05 与有理数乘方有关的新定义型问题 【典例5】定义新运算：Q⑧b=a2-b,如3®(-2)=32-(-2)=9+2=11，计算下列各式. (1)(-2)83 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)(-3)8(0⑧(-1) 【变式1】用“△”定义新运算：对于任意有理数a,b,当a≤b时，都有a△b=a2×b;当a>b时，都有 a△b=axb2 (1)求2△6的值： (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求(-1)△(-3)和(-3)△(-)的值： ②这个计算结果说明了这个运算满足律. 【变式2】对于整数a、b,定义一种新的运算“田”：当a与b同号时，规定a田b=a°-1(b≠1且b>0 ):当a与b异号时，规定a田b=b-1(a≠1且a>0). (1)当a=3,b=-4时，则a⊕b=_: (2当a=5,且a0b=24,则b=: (3)已知a©b=63,求式子a+b的值. 题型06用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例6】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其 能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度.第一宇宙速度的具体数值是7900米/秒，用科学记数 法表示7900应为 【变式1】一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省约3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃 一年“3240万”这个数据用科学记数法表示为一 【变式2】央广网报道“中国旅游研究院数据显示2023-2024冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过3.85亿 人次，预计新一轮，也就是2024-2025冰雪季有望突破5亿人次”，数据3.85亿用科学记数法表示为一 强化训练 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础自测 一、单选题 1.(25-26六年级上·上海·阶段检测)关于(-2)的说法正确的是（) A.指数是-2 B.结果是-8 C.表示4个-2相加 D.表示4个-2相乘 2.(2026江苏南京·二模)下列四个数中，是负数的是() A.|-5 B.(-5) c.-(-5) D.-52 3.(25-26七年级下广东深圳期末)在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃 烧130000000千克的煤所产生的能量.下面用科学记数法表示这个数正确的是() A.1.3×108 B.13×10 C.0.13×10° D.1.3×10 4.(25-26七年级上陕西西安期中)已知=3，y2=49,x<y,那么x-y的值为（) A.10或4 B.10或-4 C.-10或4 D.-10或-4 二、填空题 5.(2026山东济南·一模)计算-2的结果是 6.(25-26七年级上全国课后作业)(1)在-3°中，底数是一，指数是一· (2)在(-5)中，底数是一，指数是一 7.(2026黑龙江绥化模拟预测)据统计，截止到2025年春季学期，我国在校初中生人数约为5243.69万 人，这个数用科学记数法表示为 人 8.(24-25七年级上四川成都阶段检测)《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭.”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完.那么第5次截取后剩下的木棒长度为 尺 三、解答题 9.(26-27七年级全国小升初衔接)计算： 0: (2(-5)°： 3)-(-3)2: 7/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④[-(-2)] 10.(25-26七年级上安徽宿州期中)若有理数a,b,m,n满足下列条件：a-3+(亿+7)=0，，n互 为倒数，求(2a+b)-mn的值. 11.(25-26七年级上北京期中)已知四个数：a=-22,b=-（-3),c=(-1)25,d=--2.5. (I)化简a,b,c,d得a= b= C= d= (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“<”把a,b,C,d连接起来是 12.(25-26七年级上河南周口期末)阅读下列各式：(a-b=a2b,(a.b°=d3.b,(ab)°=ab,, 请据此解答下列问题： 100 (1)验证： 22 =；2w× 2 (2)通过上述验证，归纳得出：(ab)”=,(abc)”= (3)请应用上述性质计算：（-0.125)226×22025×42024 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级上·贵州遵义·期中)对于算式-2，正确的说法是() A.2是底数，3是指数 B.-2是底数，3是幂 C.2是底数，3是幂 D.-2是底数，3是指数 2.(24-25六年级上·上海阶段检测)下列算式中，正确的是() A.-(-2=4B.-22=4 C.(-2)}2=-4 D.(-2)°=-8 3.25-26七年级上辽宁大连阶段检测)若(b+3+a-4=0,则(a+b)m的值是() A.1 B.-1 C.0 D.2025 4(25.26七年级下湖南衡阳期中)在有理数-，（引-十2(-2八中负数有（)个 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.3 C.2 D.1 5.(25-26七年级上广东东莞期中)观察下列算式：（2)}=-2，(-2=4，(（-2)°=-8，（-2)=16， (（-2)°=-32，（-2)°=64，(-2)了=-128通过观察，用你发现的规律写出(-2)的末位数字是（) A.2 B.6 C.4 D.8 二、填空题 6.(2025七年级上·全国专题练习) 中底数是 一，指数是 7.(26-27七年级全国·暑假作业)根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、 直辖市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为 8.(25-26七年级上广东深圳期末)若y-6+(x+7)}=0,则(x+y)= 9.(2026河南周口·二模)我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法.一位母亲在从右到左依次排 列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数.若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3 位为1，则孩子出生后的天数为一天、 10.(24-25七年级上重庆南岸·期末)善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反 思.小聪根据典型例题：3=3，一3=3：2=4，（-2=4.得到“互为相反数的两个数的绝对值相 等”，“互为相反数的两个数的2次方相等”，请根据小聪的发现完成：若己知x=9,则=一； 若x2=9,川=4，且x<y,则x-y的值为 三、解答题 11.(25-26七年级上·全国课后作业)计算： ag. a ( 12.(25-26七年级上广西南宁·期中)画出数轴，并在数轴上表示下列各数，再用“>”把各数连接起来， -(+4),-2,3.51,0,(-1)月 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26七年级上广东广州期中)把下列各数填入相应的大括号里： 10%’+6,8’-2.6'-(+5)314, 4 72’0 (1)整数集合： 一…}： (2)负分数集合： …}: (3)正有理数集合： { …}; 14.(25-26七年级上：四川眉山期中)己知：a与b互为相反数(a≠0)，c与d互为倒数，m是最大的负整 b）2027 数，n的绝对值和倒数均是它本身，求多项式(cd)5+ +m(2a+2b)25-n的值. a 15.(25-26七年级上湖南邵阳期中)观察下列各式，回答问题： 1113112×4,1135 22-22 1- -42441 (1)按照上述规律填空： 1 1- 1002 1 1-2025 X (2)计算： s 16.(25-26七年级上北京期中)【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3)(-3)(-3)÷(-3)等」 类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2，读作“2的下3次方”，（-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)4， 读作“-3的下4次方”.一般地，把÷a产aa≠0)记作0，读作“a的下n次方”. ()直接写出计算结果：(（-2)，=-， 3 (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如 何转化为乘方运算呢？例如： 242*2+2*22×2×*()}月 形式 类比上面的算式，将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：am=.(直接写出结果) (3)【结论应用】 10/11 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：325×32=325+2=32” 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算6-5×6 1 的值。 2026 11/11 专题2.6 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的意义，掌握幂、底数、指数的概念，能正确读、写乘方算式。 2. 能准确进行有理数的乘方运算，理解并区分负数的奇次幂与偶次幂的符号规律。 3. 通过乘方运算的学习，进一步体会特殊到一般的数学思想，提升运算能力。 教学重难点 重点 1. 有理数乘方的意义及相关概念，能进行乘方运算。 2. 掌握幂的符号法则：正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正。 教学难点 1. 正确区分“-2⁴”与“(-2)⁴”的底数、读法及运算结果的差异，理解“an”与“-an”的区别。 2. 在乘方与之前学过的加减乘除混合运算中，正确把握运算顺序（先乘方，后乘除，再加减）。 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即学即练】 1．可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 2．的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 2 4 5 3 【分析】本题考查了乘方的定义． 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数． 【详解】解：的底数是3，指数是2；的底数是，指数是4；的底数是5，指数是3． 故答案为：3，2；，4；5，3． 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即学即练】 1．据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 2．央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将化为，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴可以表示成3个相乘， 故选：A． 【变式1】的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、4个相乘对应，不符合题意； B、4个相加对应，不符合题意； C、乘以4对应，不符合题意； D、的相反数对应，符合题意； 故选：D． 【变式2】（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 题型02 有理数的乘方运算 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （2）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （3）根据乘方的定义将展开算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)216 (2) (3) (4) (5)1000 (6)1000000 【分析】本题考查了乘方的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （3）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （4）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （5）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （6）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 题型03 乘方运算的符号规律 【典例3】当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律、绝对值非负性 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 【变式1】有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【变式2】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【变式3】已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 题型04 乘方的应用 【典例4】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【答案】(1)64根 (2)8次 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用． （1）计算即可得出答案． （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：（根） 则第6次捏合后，可得64根面条． （2）解：因为， 所以经过8次捏合后可得到256根面条． 【变式1】古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了乘方的应用，由已知可得第格放的米粒数为，据此即可求解，根据题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一格放粒米，即粒， 第二格放粒米，即粒， 第三格放粒米，即粒， 第四格放粒米，即粒， 第五格放粒米，即粒， ， ∴第格放的米粒数为粒， ∴第格放的米粒数是粒． 【变式2】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 题型05 与有理数乘方有关的新定义型问题 【典例5】定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 【变式1】用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 【变式2】对于整数，定义一种新的运算“”： 当与同号时，规定（且）；当与异号时，规定（且 ）． (1)当， 时，则 ； (2)当， 且， 则 ； (3)已知，求式子的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或或或或． 【分析】（）根据题中定义即可求解； （）根据题中定义即可求解； （）根据题中定义分当与同号时和当与异号时两种情况即可求解； 本题考查了有理数的乘方，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 时， ∴与异号， ∴， 故答案为：； （2）解：由，，为整数，则与不可能为异号， ∴当与同号时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当与同号时， ∴， ∴，或，或，， 则的值为或或； 当与异号时，， ∴， ∴，或，， 则的值为或； 综上可知：的值为或或或或． 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例6】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省约3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年.“3240万”这个数据用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3240万， 故答案为：． 【变式2】央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 2．（2026·江苏南京·二模）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先根据绝对值、乘方、相反数的运算法则化简每个选项，再根据负数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：选项A：，A不是负数； 选项B：，B不是负数； 选项C：，C不是负数； 选项D：，D是负数．故选D． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000千克的煤所产生的能量．下面用科学记数法表示这个数正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，乘方，有理数的大小比较，求代数式的值，解题的关键是掌握以上知识点；根据绝对值，乘方的定义，有理数的大小比较求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，的值为， 当时，的值为， 的值为或． 故选：． 二、填空题 5．（2026·山东济南·一模）计算的结果是_______ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在中，底数是____，指数是____． （2）在中，底数是____，指数是____． 【答案】 3 5 7 【分析】本题主要考查了乘方的定义，根据乘方的定义，在中，是底数，是指数． （1）对于，负号是运算符号，底数是 3； （2）对于，括号内整体是底数． 【详解】解：（1）在中，乘方部分是，因此底数是3，指数是5； 故答案为：3；5 （2）在 中，括号表示底数是，指数是7， 故答案为：；7 7．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）据统计，截止到2025年春季学期，我国在校初中生人数约为5243.69万人，这个数用科学记数法表示为___________人． 【答案】 【详解】解：5243.69万． 8．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．根据每日截取木棒的一半，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，进而求出第5次截取后剩下的长度． 【详解】解：（尺）， 即第5次截取后剩下的木棒长度为尺， 三、解答题 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若有理数a，b，m，n满足下列条件：，m，n互为倒数，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值与平方数的非负性，倒数的性质及代数式求值．先根据绝对值与平方数的非负性求出a、b的值，再结合倒数的性质求出的值，最后代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵m与n互为倒数， ∴， 当，，时， 原式 ． 11．（25-26七年级上·北京·期中）已知四个数：，，，． (1)化简得__________，__________，__________，__________． (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“”把连接起来是__________． 【答案】(1)，3，1， (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． （1）根据有理数的乘方的运算方法，相反数的求法，以及绝对值的含义和求法，化简a，b，c，d即可． （2）根据化简的结果，把这四个数在数轴上分别表示出来即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，用“”把a，b，c，d连接起来即可． 【详解】（1）解：化简a，b，c，d得，，，． 故答案为：，3，1，； （2） 解：． （3）解：用“”把a，b，c，d连接起来是：． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·河南周口·期末）阅读下列各式：，，，…，请据此解答下列问题： (1)验证：______；______． (2)通过上述验证，归纳得出：______，______． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题考查有理数乘方的应用，正确掌握乘方的运算是解题的关键． （1）根据乘方的定义运算即可求解； （2）根据验证，归纳即可； （3）根据归纳的结论，应用计算即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，1； （2）通过（1）的验证可得，； ， 故答案为：，； （3）解： ． 一、单选题 1．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）对于算式，正确的说法是（   ） A．2是底数，3是指数 B．是底数，3是幂 C．2是底数，3是幂 D．是底数，3是指数 【答案】A 【分析】本题考查乘方表达式中底数、指数和幂的概念。在算式 中，负号不是底数的一部分，指数运算优先于负号，因此底数是2，指数是3． 【详解】解：∵， ∴ 底数是2，指数是3， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）在有理数中负数有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方、相反数、绝对值的基础化简知识．先分别化简题目给出的四个有理数，再根据负数的定义统计负数的个数． 【详解】解：依次化简各数： ∵ ，1>0，是正数， ，，是正数， ，，是负数， ，，是负数， ∴ 负数一共有2个． 5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 二、填空题 6．（2025七年级上·全国·专题练习）中底数是________，指数是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，明确底数和指数的概念是解题的关键． 根据有理数乘方的定义，在乘方形式 中， 叫做底数， 叫做指数即可得出． 【详解】解： 中底数是 ，指数是 4． 故答案为 ，． 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为________________． 【答案】 【详解】解：27亿． 8．（25-26七年级上·广东深圳·期末）若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及有理数的乘方．由非负数的性质，可求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以， 解得． 则， 所以． 故答案为． 9．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 10．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．小聪根据典型例题：，；，．得到“互为相反数的两个数的绝对值相等”，“互为相反数的两个数的2次方相等”．请根据小聪的发现完成：若已知，则________；若，，且，则的值为________． 【答案】 或 【分析】本题考查的是绝对值的应用，乘方运算的逆运算的含义，求解代数式的值，根据绝对值的含义与乘方运算的逆运算先求解的值，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴时，， ∴或； 故答案为：；或； 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解： 12．（25-26七年级上·广西南宁·期中）画出数轴，并在数轴上表示下列各数，再用“>”把各数连接起来， ，，，， 【答案】数轴见解析； 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，计算乘方，再在数轴上表示各数，进而根据数轴比较大小． 【详解】解：，，， 如图， ∴ 13．（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，3.14，，，0． (1)整数集合：｛________……｝； (2)负分数集合：｛________……｝； (3)正有理数集合：｛________……｝； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查有理数的分类以及有理数的乘方运算，化简绝对值和多重符号； （1）先计算有理数的乘方运算，化简绝对值和多重符号；根据整数包括正整数，负整数和0，作答即可； （2）根据小于0的分数为负分数，作答即可； （3）根据正有理数包括正整数和正分数，进行作答即可． 【详解】（1）解：，； 整数集合：｛，，，0｝； （2）解：负分数集合：｛，｝； （3）解：正有理数集合：｛，，3.14，｝． 14．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是最大的负整数，n的绝对值和倒数均是它本身，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，相反数，倒数，绝对值，熟练掌握相关知识点是关键． 根据题意，易得，，，，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列各式，回答问题： (1)按照上述规律填空： ______________________； ______________________； (2)计算： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据已知三个等式归纳类推出一般规律是（，且为整数），再代入计算即可得； （2）利用（1）的规律，将乘法中的每个式子拆成两项的乘积，再利用乘法的结合律计算即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， 归纳类推得：（，且为整数）， 则， ， 故答案为：；． （2）解： ． 16．（25-26七年级上·北京·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果： ， ． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是： ．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）根据题干所给计算方法计算即可得解； （2）根据题干所给计算方法计算即可得解； （3）根据将进行变形，再计算即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）解：； （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $