专题2.4 有理数的加法和减法【导图+知识卡片+知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦有理数的加法和减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、加法运算律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法）及加减混合运算步骤，构建从概念理解到运算技能再到实际应用的学习支架，衔接有理数概念与后续乘除运算。 资料含思维导图助力知识结构化，10个题型讲练覆盖符号问题、生活应用（如行程记录、温度变化）等，中考真题与分层训练结合。通过实际问题情境培养模型意识，运算律探究提升推理能力，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生分层巩固查漏补缺。

专题2.4 有理数的加法和减法『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的加法法则 2 知识点二 有理数的加法运算律 3 知识点三 有理数的减法法则 3 知识点四 有理数的加减混合运算 3 题型讲练 4 题型一 有理数加法运算 4 题型二 有理数加法中的符号问题 4 题型三 有理数加法在生活中的应用 5 题型四 有理数加法运算律 6 题型五 有理数的减法运算 8 题型六 有理数减法的实际应用 9 题型七 有理数的加减混合运算 11 题型八 有理数加减中的简便运算 12 题型九 有理数加减混合运算的应用 13 题型十 省略加法和括号的形式 15 中考真题演练 16 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 18 知识点一 有理数的加法法则 1.加法法则 加数类型 加法法则 典型范例 同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一数与0相加 一个数同0相加，仍得这个数 2.有理数加法运算的步骤： 第一步：先看两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则； 第二步：根据加法法则确定和的符号(是“+”还是“－”)． 第三步：求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减：同则加，异则减)． 知识点二 有理数的加法运算律 1.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 技巧点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点三 有理数的减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 技巧点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减号变加号；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点四 有理数的加减混合运算 做有理数的加减混合运算题目时的步骤： 1. 观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； 2. 将加减法统一成加法运算； 3. 利用加法运算法则解决问题。 题型一 有理数加法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【变式训练1】（25-26七年级下·重庆·自主招生）公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 【变式训练2】（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 题型二 有理数加法中的符号问题 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若有理数m，n满足，则m，n的关系是（    ） A．m，n异号，且负数的绝对值大 B．m，n异号，且正数的绝对值大 C．m，n的绝对值相等 D．m，n同号或至少有一个为0 【变式训练1】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【变式训练2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型三 有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【变式训练1】（25-26七年级下·北京·期中）今年3月，某校开展一年一度的“节”数学文化活动，设置了丰富多彩的数学游戏．其中有一个“T字之谜”的游戏，由5位同学组队参加，每位同学每人只能选择五个不同难度级别中的一个级别参加游戏，每个级别的单次游玩时长如下表： 级别 A级 B级 C级 D级 E级 时长（分钟） 1 3 4 5 5 活动当天，该游戏共有3个摊位同时开放．且满足以下规则： ①每个摊位同一时间只能有1位同学游玩，前一位同学游戏结束后，后一位同学才能上场，换场时间忽略不计； ②一组的5位同学全部完成游戏，视为这一组的游戏结束． 引导员将一组的5位同学分配至3个摊位进行游戏（即每个摊位依次安排同学游玩）． 回答下列问题： （1）若某一次分配方案为：选A级和C级的同学到1号摊位，选B级和E级的同学到2号摊位，选D级的同学到3号摊位，进行游戏．则这一方案的总游戏时长为_________分钟． （2）在所有可行的分配方案中，一组游戏总时长最短为_________分钟． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置； (2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 题型四 有理数加法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【变式训练1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【变式训练2】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1) ； (2)． 题型五 有理数的减法运算 【典例精讲】（25-26七年级下·山东日照·开学考试）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则在，，中，最大的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 题型六 有理数减法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）为了响应学校“阳光体育”的号召，小华决定一周（5天）都步行上下学他以每天步行1.2千米为标准，将一周的实际步行距离记录如下：超过1.2千米的部分记为“”，不足的部分记为“”，刚好1.2千米记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 路程（千米） 0 (1)小华这一周里，步行距离最长的一天比最短的一天多走了多少千米？ (2)小华这五天一共走了多少千米？ (3)已知每步行1千米可以消耗80大卡的热量，学校规定每周消耗满500大卡就能获得“运动小达人”电子奖状，那么小华这周的步行量能拿到奖状吗？ 【变式训练1】．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）汾阳博物馆的文物库房需要保持恒定的温度和湿度以确保文物安全．某天，智能温控系统记录下了从凌晨点到中午点的温度变化情况．在基准温度的基础上，温度的变化（单位：）如下：，，，，，，，，，，，，． 问题： (1)请计算在中午点时，文物库房的实际温度是多少摄氏度? (2)在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差多少摄氏度? 【变式训练2】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）2025年国庆、中秋假期期间，各地景区游人如织．某景点10月1日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 与前一天相比的人数变化情况/万人 (1)该景点10月2日的游客人数为______万人． (2)该景点在10月2日至8日期间，游客人数最多的一天有多少万人？最少的一天有多少万人? (3)该景点在这八天假期内一共接待了游客多少万人？ 题型七 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）计算： (1) (2) (2) (4) 【变式训练1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在数轴上从左到右有点A，B，C，D，其中点为原点，A，D所对应的数分别为，如图所示． (1)请在图中标出点C的位置； (2)点B为AD的中点，请直接写出点所对应的数；若在数轴上另取点，且，两点间的距离是7，求A，B，C，D，E所对应数的和． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：．李华的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 李华发现自己的答案和同学们的不一样 (1)请指出他从第_______步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 题型八 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】计算 (1) (2) (2) (4) 【变式训练1】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 题型九 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克， _______， _______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 题型十 省略加法和括号的形式 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·海南海口·期中）把写成省略加号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【真题演练1】（2025·江苏镇江·中考真题）计算的结果是（   ） A．5 B． C．1 D． 【真题演练2】（2025·安徽·中考真题）计算：________． 【真题演练3】（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【真题演练4】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【真题演练5】（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【基础夯实】 1．（21-22七年级上·河南郑州·期末）已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移3个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A． B．8 C．或 D．或8 3．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 4．若点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若B、C两点之间的距离为2，则A、C两点之间的距离为______． 5．_______ 6．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 7．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 8．一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 9．小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 10．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【培优拔高】 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 6．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 7．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 9．（24-25七年级上·新疆·期中）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 10．（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题2.4 有理数的加法和减法『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的加法法则 2 知识点二 有理数的加法运算律 3 知识点三 有理数的减法法则 3 知识点四 有理数的加减混合运算 3 题型讲练 4 题型一 有理数加法运算 4 题型二 有理数加法中的符号问题 5 题型三 有理数加法在生活中的应用 7 题型四 有理数加法运算律 9 题型五 有理数的减法运算 12 题型六 有理数减法的实际应用 15 题型七 有理数的加减混合运算 18 题型八 有理数加减中的简便运算 21 题型九 有理数加减混合运算的应用 23 题型十 省略加法和括号的形式 26 中考真题演练 27 难度分层训练 29 【基础夯实】 29 【培优拔高】 33 知识点一 有理数的加法法则 1.加法法则 加数类型 加法法则 典型范例 同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一数与0相加 一个数同0相加，仍得这个数 2.有理数加法运算的步骤： 第一步：先看两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则； 第二步：根据加法法则确定和的符号(是“+”还是“－”)． 第三步：求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减：同则加，异则减)． 知识点二 有理数的加法运算律 1.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 技巧点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点三 有理数的减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 技巧点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减号变加号；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点四 有理数的加减混合运算 做有理数的加减混合运算题目时的步骤： 1. 观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； 2. 将加减法统一成加法运算； 3. 利用加法运算法则解决问题。 题型一 有理数加法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【答案】 5 或 【思路引导】分点B在点A的左边和右边两种情况，列出算式，即可求解． 【规范解答】解：点B在点A的左边时，点B表示的数为：， 点B在点A的右边时，点B表示的数为： 【变式训练1】（25-26七年级下·重庆·自主招生）公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 【答案】8 【思路引导】根据循环小数的定义进行求解即可． 【规范解答】解：由题意得，第二个循环点必然是小数最后一位数字， ∵要使得到的循环小数最小，应使循环节的起始数字尽可能小， ∴将第一个循环点放在数字上，得到的循环小数最小，即， ∴二者之和为． 【变式训练2】（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【思路引导】根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【规范解答】解：根据题意可知， ，满足题意． 题型二 有理数加法中的符号问题 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若有理数m，n满足，则m，n的关系是（    ） A．m，n异号，且负数的绝对值大 B．m，n异号，且正数的绝对值大 C．m，n的绝对值相等 D．m，n同号或至少有一个为0 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值的化简与计算，熟练掌握绝对值的化简法则并分类讨论是解题的关键． 分三种类型分别分析即可：m、n同号；m、n异号；m、n中至少一个为零． 【规范解答】解：当m、n同号时，有两种情况： ①，，此时，，故成立； ②，，此时，，故成立； ∴当m、n同号时，成立； 当m、n异号时，则：，故不成立； 当m、n中至少一个为零时，成立． 综上，如果|则m、n同号或m、n中至少一个为零． 故选：D． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①30；② (3)2 【思路引导】本题考查了定义新运算、有理数的加减运算，观察等式，归纳运算法则是解题的关键． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【规范解答】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； （2）解：①； 故答案为：30； ②； 故答案为：； （3）解：∵， ∴与同号，即， ∴， ∵， ∴与异号，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式训练2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【规范解答】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 题型三 有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地的南边，它们相距5千米 (2)这天汽车共耗油升 【思路引导】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【规范解答】（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 【变式训练1】（25-26七年级下·北京·期中）今年3月，某校开展一年一度的“节”数学文化活动，设置了丰富多彩的数学游戏．其中有一个“T字之谜”的游戏，由5位同学组队参加，每位同学每人只能选择五个不同难度级别中的一个级别参加游戏，每个级别的单次游玩时长如下表： 级别 A级 B级 C级 D级 E级 时长（分钟） 1 3 4 5 5 活动当天，该游戏共有3个摊位同时开放．且满足以下规则： ①每个摊位同一时间只能有1位同学游玩，前一位同学游戏结束后，后一位同学才能上场，换场时间忽略不计； ②一组的5位同学全部完成游戏，视为这一组的游戏结束． 引导员将一组的5位同学分配至3个摊位进行游戏（即每个摊位依次安排同学游玩）． 回答下列问题： （1）若某一次分配方案为：选A级和C级的同学到1号摊位，选B级和E级的同学到2号摊位，选D级的同学到3号摊位，进行游戏．则这一方案的总游戏时长为_________分钟． （2）在所有可行的分配方案中，一组游戏总时长最短为_________分钟． 【答案】 8 7 【思路引导】根据游戏规则，总游戏时长为三个摊位游玩总时长的最大值． 第一问直接计算给定分配方案各摊位的总时长，取最大值即可． 第二问需要将五个不同时长分组，得到所有分组中最大值的最小值即可． 【规范解答】解：(1) 分别计算三个摊位的游玩总时长∶ 号摊位∶ （分钟）， 号摊位∶ （分钟）， 号摊位∶ （分钟）． 根据规则，五位同学全部完成游戏游戏结束，因此总游戏时长为三个总时长的最大值，即该方案总游戏时长为分钟． (2) 五个时长的总和为 ． 若要总游戏时长最短，需使三个摊位总时长的最大值最小． 若最大值为，则三个摊位总时长之和最大为，恰好等于总时长，要求每个摊位总时长均为． 两个时长为的组都需要搭配才能使和为，但仅有个，无法完成分配，因此最大值不可能为． 当分配为 时，三个摊位的总时长分别为，最大值为，符合分配要求，因此总时长最短为分钟． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置； (2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 【答案】(1)卡片B在出发点O点西侧1米处 (2)36米 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数加减混合运算的实际应用． （1）计算的和，根据结果的符号计算即可； （2）先求出从E点返回O点的路程，再将求得的返回路程与各次移动记录数据的绝对值相加即可． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴卡片B在出发点O点西侧1米处； （2）解：机器人最终位置的坐标为：（米）处，从该点返回 点的路程为 （米）， 机器人完成一次全程比赛共移动的路程为： （米）． 题型四 有理数加法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【思路引导】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【规范解答】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 【变式训练1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式训练2】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 有理数的减法运算 【典例精讲】（25-26七年级下·山东日照·开学考试）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则在，，中，最大的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【思路引导】先根据数轴确定、的符号及取值范围，再推导和的符号与大致范围，最后通过比较大小确定最大值． 【规范解答】解：∵由数轴可知，，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴与有理数，根据，，且，得到点和点在与0之间，且点在点的左侧，且，进而得到，得到点的位置在中间，即可得出结果． 【规范解答】解：∵，，且， ∴点和点在与0之间，且点在点的左侧，， ∴， ∴点的位置在中间， 故满足题意的只有选项A； 故选A 【变式训练2】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【规范解答】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 题型六 有理数减法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）为了响应学校“阳光体育”的号召，小华决定一周（5天）都步行上下学他以每天步行1.2千米为标准，将一周的实际步行距离记录如下：超过1.2千米的部分记为“”，不足的部分记为“”，刚好1.2千米记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 路程（千米） 0 (1)小华这一周里，步行距离最长的一天比最短的一天多走了多少千米？ (2)小华这五天一共走了多少千米？ (3)已知每步行1千米可以消耗80大卡的热量，学校规定每周消耗满500大卡就能获得“运动小达人”电子奖状，那么小华这周的步行量能拿到奖状吗？ 【答案】(1)步行距离最长的一天比最短的一天多走了； (2)小华这五天一共走了 (3)小华这周的步行量能拿到奖状 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算、正负数的实际意义及实际问题中的数量关系分析，关键是理解表格中“”“”代表的超出或不足标准量的含义，结合每天千米的标准来计算实际距离． （1）只需找出偏差值的最大与最小值，计算两者的差值即可得到最长与最短步行距离的差； （2）将5天的标准总距离与每天的偏差值相加得到总偏差，两者相加即为实际总路程； （3）用总路程乘以每千米消耗的热量得到总消耗，再与大卡的标准比较，就能判断是否能拿到奖状． 【规范解答】（1）解：最长一天的超出量为，最短一天的超出量为， 两者的差值为， 即步行距离最长的一天比最短的一天多走了； （2）解：， ． 答：小华这五天一共走了； （3）解：总消耗热量为， ∵， ∴小华这周的步行量能拿到奖状． 【变式训练1】．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）汾阳博物馆的文物库房需要保持恒定的温度和湿度以确保文物安全．某天，智能温控系统记录下了从凌晨点到中午点的温度变化情况．在基准温度的基础上，温度的变化（单位：）如下：，，，，，，，，，，，，． 问题： (1)请计算在中午点时，文物库房的实际温度是多少摄氏度? (2)在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差多少摄氏度? 【答案】(1)摄氏度 (2)摄氏度 【思路引导】（）求出温度的变化的和，再与基准温度相加即可求解； （）求出每个时间的温度，再用最高温度减去最低温度即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， ， 答：在中午点时，文物库房的实际温度是摄氏度； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差摄氏度． 【变式训练2】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）2025年国庆、中秋假期期间，各地景区游人如织．某景点10月1日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 与前一天相比的人数变化情况/万人 (1)该景点10月2日的游客人数为______万人． (2)该景点在10月2日至8日期间，游客人数最多的一天有多少万人？最少的一天有多少万人? (3)该景点在这八天假期内一共接待了游客多少万人？ 【答案】(1) (2)人数最多为万人；人数最少为万人 (3)一共接待了游客万人 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义求得每天游客的实际人数后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得（万人）， 即10月2日的游客人数为万人， 故答案为：． （2）解：10月2日的游客人数：（万人）； 10月3日的游客人数：（万人）； 10月4日的游客人数：（万人）； 10月5日的游客人数：（万人）； 10月6日的游客人数：（万人）； 10月7日的游客人数：（万人）； 10月8日的游客人数：（万人）； ∴10月2日至8日，游客人数最多的是10月5日，达到万人； 游客人数最少的是10月8日，达到万人． （3）解：由题意得（万人）， 故一共接待了游客万人． 题型七 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可； （2）根据有理数加减运算法则求解即可； （3）首先将带分数化为假分数，再运用加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，再根据有理数减法法则求解即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在数轴上从左到右有点A，B，C，D，其中点为原点，A，D所对应的数分别为，如图所示． (1)请在图中标出点C的位置； (2)点B为AD的中点，请直接写出点所对应的数；若在数轴上另取点，且，两点间的距离是7，求A，B，C，D，E所对应数的和． 【答案】(1)见详解 (2)点表示的数为；或 【思路引导】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，有理数加法计算，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意在数轴上表示即可； （2）先求出点B表示的数，然后分两种情况，先求出点E表示的数，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：∵A，D所对应的数分别为， ∴， ， 故每格为2个单位长度， 故点C在数轴表示如下所示： （2）解：∵点为的中点， ∴点表示的数为， 当点在点右侧时，∵两点间的距离是 7 ， ∴点表示的数为， ， ∴对应的数的和为； 当点在点左侧时，∵两点间的距离是 7 ， ∴点表示的数为， ， ∴对应的数的和为， 综上，对应的数的和为或． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：．李华的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 李华发现自己的答案和同学们的不一样 (1)请指出他从第_______步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 【答案】(1)四 (2)解题过程见解析 【思路引导】（1）根据计算过程逐步判断即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减的运算法则及运算顺序是解此题的关键． 【规范解答】（1）解：根据计算，判断第四步出现了错误， 故答案为：四． （2）解：原式 ． 题型八 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)9 (3) (4)9 【思路引导】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【规范解答】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【规范解答】解： ． 题型九 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【思路引导】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）将5次运动的行走记录相加，即可求解； （2）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【规范解答】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【思路引导】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克， _______， _______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的 【思路引导】本题考查正数与负数的意义，有理数的加减运算，绝对值的应用，将质量合格问题转化为数学计算问题是解题关键． （1）先利用第枚酥饼的质量和偏差求出标准质量，再用各枚酥饼的实际质量减去标准质量，得到对应的偏差值； （2）先计算所有酥饼的偏差总和，再判断其绝对值是否在合格范围（克）内，从而判断总质量是否合格． 【规范解答】（1）解：已知第枚酥饼质量克，与标准质量的差为克， 则标准质量为克， 第枚酥饼质量为克，则克， 第枚酥饼质量为克，则克． 答：，，． （2）解：各枚酥饼质量与标准质量的差的和为克， ，故酥饼在总质量上是合格的． 答：小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的． 题型十 省略加法和括号的形式 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【规范解答】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【变式训练1】（25-26七年级上·海南海口·期中）把写成省略加号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减法省略加号的和的形式．根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行求解即可． 【规范解答】解：把写成省略加号的和的形式为， 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【思路引导】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ． 【真题演练1】（2025·江苏镇江·中考真题）计算的结果是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键．根据有理数的加法法则计算即可得． 【规范解答】解：， 故选：C． 【真题演练2】（2025·安徽·中考真题）计算：________． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【真题演练3】（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了整数的因数分解，搞清完全数的定义是本题的关键．将每个数进行分解因数，然后根据完全数的定义进行判断即可 【规范解答】解∶ A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选∶C． 【真题演练4】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【思路引导】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【规范解答】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 【真题演练5】（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【规范解答】解：； 故选B． 【基础夯实】 1．（21-22七年级上·河南郑州·期末）已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】需先根据a、b的符号判断各表达式的正负与a、b的大小关系，再通过作差比较四个数的大小． 【规范解答】解：∵有理数，， ∴， 作差比较可得：，故； ，故； ，故， 是最大的数． 2．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移3个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A． B．8 C．或 D．或8 【答案】C 【思路引导】点A可能向右移动到点B，或者向左移动到点B，因此分两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解∶当点A向右移动到点B时，点B表示的数为； 当点A向左移动到点B时，点B表示的数为． 综上所述，点B表示的数为或． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据标注找出直径的最大值和最小值，计算差值即可． 【规范解答】解：∵标注乒乓球直径为． ∴乒乓球直径的最大值为，最小值为． ∴任意取出两个乒乓球，直径最多相差． 4．若点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若B、C两点之间的距离为2，则A、C两点之间的距离为______． 【答案】1或5 【思路引导】分两种情况求出点表示的数，再求出两点间的距离即可. 【规范解答】解：∵点A、B表示的数分别为、1，B、C两点之间的距离为2， ∴点表示的数为或， ∴A、C两点之间的距离为或. 5．_______ 【答案】/0.0625 【思路引导】本题考查的是异分母分数的加法运算，灵活运用通分将异分母分数化为同分母分数是解题的关键．根据分数的基本性质，将通分为分母为的分数，进而求出式子的结果． 【规范解答】解：原式． 6．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【思路引导】直接根据图（2）作答即可． 【规范解答】解：由图（2）可知． 7．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【思路引导】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【规范解答】（1）解： （2） 8．一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地南边，相距117千米 (2)这一天共耗油57升 【思路引导】（1）求出8个记录的代数和，即可得出答案； （2）求出8个记录的绝对值的和，再乘以0.2即可得出答案． 【规范解答】（1）解：（千米）， ∴地在地南边，相距117千米； （2）解：（千米）， （升）， 答：这一天共耗油57升． 9．小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 【答案】小丽获胜 【思路引导】先用正、负数表示出个数，再相加，据此分别求出小丽、小彬抽取扑克牌的数字和，然后比较即可解答． 【规范解答】解：由题意可得： 小丽抽到的数字之和为， 小彬抽到的数字之和为， ∵， ∴小丽获胜． 10．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【规范解答】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． 【培优拔高】 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【规范解答】解：； ， ， ； ． 2．如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据数轴可以得到，然后即可得到各个选项中的式子的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意． 【规范解答】解：由数轴可得， ∴， ∴，， ∴． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，整除．先计算所有数的总和，再根据符号变化对结果的影响，推导可被表示的数的特征，进而判断选项． 【规范解答】解：∵， 设被改为“”号的数的和为，则运算结果， ∵所有数均为偶数，偶数的和为偶数，即为偶数， ∴是的倍数，又是的倍数， ∴必为的倍数， A．不是的倍数，不符合要求， B．不是的倍数，不符合要求， C．不是的倍数，不符合要求， D．是的倍数，符合条件， 故选：D． 4．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 【答案】 【思路引导】分别求出数轴上和刻度尺上点A和点C的距离，则可求出刻度尺上在数轴上表示的长度，再求出刻度尺上点A和点B的距离，进而求出数轴上点A和点B的距离，则可得到答案． 【规范解答】解：∵在数轴上点A表示的数为，点C表示的数为， ∴在数轴上点A与点C的距离为； ∵在刻度尺上，数字0对应点A，数字对应点C， ∴在刻度尺上点A与点C的距离为， ∴刻度尺上在数轴上表示个单位长度， ∵在刻度尺上点对应刻度， ∴在刻度尺上点A与点B的距离为， ∴在数轴上点A与点B的距离为， ∴． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【思路引导】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【规范解答】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 【答案】 【思路引导】本题考查了裂项法进行有理数加减运算，关键是裂项相消法求和；观察原式，每一项为两个连续整数倒数的差的绝对值，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，发现裂项相消，即中间项相互抵消，只剩首尾部分项化简即可． 【规范解答】解：原式， ， 故答案为： ． 7．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【思路引导】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【规范解答】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 9．（24-25七年级上·新疆·期中）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)小明本周一共收入3585元 【思路引导】（1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据售价运费得出收入即可． 【规范解答】（1）解：（斤）； （2）解：（斤）； 本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 答：小明本周一共收入3585元． 10．（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现在到这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $