精品解析：2022年江苏省扬州市江都实验中学 中考数学模拟试卷

江苏省扬州市江都实验中学2022年中考数学模拟试卷 一、选择题．（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列4个实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 已知，，则（　　） A. B. 2 C. D. 4 3. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　） A. 14 B. 10 C. 3 D. 2 4. 某校食堂每天中午为学生提供A、两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（　） A. B. C. D. 5. 由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 能说明命题“对于任意实数，”是假命题的反例为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米等于米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为_____． 10. 计算：_____． 11. 在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则整数m的值为_____． 12. 一组数据2，3，x，5，7的平均数是5，则这组数据的中位数是_____． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则________． 14. 如图，已知平行四边形，，M为上一点，将沿折叠，得到，且交于点P，交于点Q，则图中阴影部分（四边形）的面和为 _____． 15. 如图，△ABC中，AC＝BC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．当△ABD是等腰三角形时，∠C的度数为___________． 16. 如图，在中，，点为中点，点在边上，，将沿折叠至，若，则______． 17. 如图，点A、B都在双曲线上，直线AB与x轴的负半轴交于点C，且点A，B的纵坐标分别是3和1，△AOC的面积是4.5，则k的值为___． 18. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号） 三、解答题．（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： （2）解不等式组： 20. 解方程： 21. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表． 学生借阅图书的次数统计表： 借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1） ， ． （2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 22. 即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”： 将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀． (1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ． (2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．(请用树状图或列表的方法求解) 23. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？ 24. 如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值． 25. 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分． （1）求证：是的切线； （2）延长、相交于点E，若，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是． （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当时x的取值范围． （2）将图象向上平移m个单位后，二次函数图象与x轴交于E，F两点，若，求m的值． 27. 【根底巩固】 （1）如图，在中，为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在菱形中，分别为上的点，且，射线交的延长线与点，射线交的延长线于点．若．求：①CM的长；②FN的长． 【拓展进步】 （3）如图3，在菱形中，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，请直接写出的最小值． 28. 如图1，在等腰中，，，点D是线段上一点，以为直径作，经过点A． （1）求证：是的切线； （2）如图2，过点A作垂足为E，点F是上任意一点，连结． ①如图2，当点F是的中点时，求的值； ②如图3，当点F是上的任意一点时，的值是否发生变化？请说明理由． （3）在（2）的基础上，若射线与的另一交点G，连结，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州市江都实验中学2022年中考数学模拟试卷 一、选择题．（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列4个实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数大小的比较原则计算判断即可． 【详解】∵， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键． 2. 已知，，则（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键． 3. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　） A. 14 B. 10 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设第三边是x,由三角形边的性质可得：8-5<x<8+5, ∴3<x<13. 故选B. 4. 某校食堂每天中午为学生提供A、两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】根据题意画图如下： 所有等可能的情况有4种，其中甲乙两人选择同款套餐的有2种， 则甲乙两人选择同款套餐的概率为：； 故选：A． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据主视图是从正面看到的图象判定，从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2．故选C． 6. 能说明命题“对于任意实数，”是假命题的反例为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出一个a的值，不满足|a|＞-a即可． 【详解】解：命题“对于任何实数a，|a|＞-a”是假命题，反例要满足a≤0，如a=-2． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理：许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 7. 如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据是的中点，表示出的面积，再利用的几何意义表示出和的面积，即可得出和的面积，易证∽，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出的值． 【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 是的中点， ， 根据的几何意义， ， ， ， ，， ∽， 是的中点， 相似比为：， ， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键． 8. 如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可． 【详解】解：根据题意， ∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则， ∴， ∴， 由的长为半径的扇形的弧长为： ∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 ∴其底面的面积为 由的长为半径的扇形的弧长为： ∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 ∴其底面的面积为 ∴两者的面积和 ∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值； 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式． 二、填空题．（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米等于米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【详解】解：120纳米=米=米=米 故答案为 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 10. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】该题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：因为 ，所以 ． 故答案为：1． 11. 在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则整数m的值为_____． 【答案】3或4或5 【解析】 【分析】根据第三象限横纵坐标都为负，确定出m的范围，进而确定出整数m的值即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在第三象限， ∴， 解得：， 则整数m的值为3或4或5． 12. 一组数据2，3，x，5，7的平均数是5，则这组数据的中位数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：根据平均数的定义可得：(2+3+x+5+7)÷5=5， 解得：x=8， 则这组数据为：2、3、5、7、8， 即这组数据的中位数是5． 故答案为：5. 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况以及根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得，进行求解即可，熟练掌握根的判别式的应用是解决此题的关键． 【详解】由题意，得， 解得， 故答案为：． 14. 如图，已知平行四边形，，M为上一点，将沿折叠，得到，且交于点P，交于点Q，则图中阴影部分（四边形）的面和为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】过M作于H，设，由和勾股定理得，根据折叠可得，由平行四边形的性质可得，从而可得是等腰直角三角形，设，由可得，即得，故． 【详解】解：过M作于H，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握翻折的性质及作辅助线构造直角三角形． 15. 如图，△ABC中，AC＝BC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．当△ABD是等腰三角形时，∠C的度数为___________． 【答案】36°或45° 【解析】 【分析】根据题意可知当AB=BD，AB=AD时，△ABD是等腰三角形，分两种情况求出答案即可． 【详解】解：连接CO，并延长交AB于点E． 根据等腰三角形和圆的对称性可知∠ACO=∠BCO． ∵BO=CO， ∴∠BCO=∠CBO， ∴∠ACO=∠BCO=∠CBO． 当AB=BD时，∠A=∠ADB， ∵∠ADB是△BCD的外角， ∴∠ADB=∠ACB+∠DBC=3∠DBC， ∴∠A=3∠DBC． ∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC=3∠DBC， ∴∠ABD=2∠DBC， ∴3∠DBC+3∠DBC+2∠DBC=180°， 解得∠DBC=22.5°， ∴∠ACB=2∠DBC=45°. 当AD=AB时，∠ADB=∠ABD， ∵∠ADB是△BCD的外角， ∴∠ADB=∠ACB+∠DBC=3∠DBC， ∴∠ABD=3∠DBC． ∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC=4∠DBC， ∴3∠DBC+3∠DBC+4∠DBC=180°， 解得∠DBC=18°， ∴∠ACB=2∠DBC=36°． 故答案为：36°或45°． 【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质等，注意分情况讨论． 16. 如图，在中，，点为中点，点在边上，，将沿折叠至，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DH⊥BC于点H，交BE于点F，设BE与CD交于点M，由题意易得∠MEC=∠EMC，DH∥AC，则有，然后设，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点D作DH⊥BC于点H，交BE于点F，设BE与CD交于点M，如图所示： ∵， ∴DH∥AC， ∵点为中点， ∴，， ∴点F是BE的中点， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵DH∥AC， ∴， ∴， 设，则有，，， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）， 即； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 17. 如图，点A、B都在双曲线上，直线AB与x轴的负半轴交于点C，且点A，B的纵坐标分别是3和1，△AOC的面积是4.5，则k的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及△AOC的面积求出OC，进而求出△BOC和△AOB的面积，再根据反比例函数系数k的几何意义，可求出k的值． 【详解】解：如图，过点A作AM⊥OC，垂足为M，过点B作BN⊥OC，垂足为N，连接OB， ∵点A、B都在双曲线上，且点A，B的纵坐标分别是3和1， ∴A（，3），B（k，1）， ∴BN＝1，AM＝3，，ON＝﹣k， ∵△AOC的面积是4.5， ∴•OC×3＝4.5， ∴OC＝3， ∴S△BOC3×1＝1.5， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝4.5﹣1.5＝3， ∴S△AOB＝S四边形AONB﹣S△BON ＝S四边形AONB﹣S△AOM ＝S梯形AMNB •（1+3）•（﹣k）＝3， ∴k， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义，求不规则图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键． 18. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】先由菱形的性质得出，求得，再根据直角三角形两锐角互余得 ,连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得，，根据AAS证明可得，从而可求出． 【详解】解：连接AC，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB//CD，，BD=2DO ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ 在和中， ∴≌ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC并证明≌是解答此题的关键． 三、解答题．（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式进行运算，然后进行加减运算即可； （2）分别求出两个不等式的解集，然后得不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 去分母得： 移项合并得： 系数化为1得： ∴原不等式组的解为． 【点睛】本题考查了运用乘法公式运算与解一元一次不等式组，解题的关键在于正确的计算． 20. 解方程： 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是关键．方程两边都乘化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 两边同乘得：， 展开：， 化简：， 解得， 检验：时，，故是增根， 所以原方程无解． 21. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表． 学生借阅图书的次数统计表： 借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1） ， ． （2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 【答案】（1）17，20 （2） （3）120 【解析】 【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值； （2）用乘以“3次”对应的百分比即可得； （3）用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为（人）， ∴，，即； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为（人）． 22. 即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”： 将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀． (1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ． (2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．(请用树状图或列表的方法求解) 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两次抽取的卡片图案相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）∵有3张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”， ∴从中随机抽取1张，抽得的卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为； 故答案为：； （2）把“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别用字母A、B、C表示，画树状图如下： 或列表为： A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由图(或表)可知：共有9种等可能的结果，其中抽到相同图案的有3种， 则两次抽取的卡片图案相同的概率是． 【点睛】此题考查的是树状图法(或列表法)求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？ 【答案】40万 【解析】 【分析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可． 【详解】解：设原先每天生产x万剂疫苗， 由题意可得：， 解得：x=40， 经检验：x=40是原方程的解， ∴原先每天生产40万剂疫苗． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性． 24. 如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案． 【详解】解：把代入，得． ∴． ∵轴， ∴点横坐标为． 把代入，得． ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． ∵点在直线上， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 25. 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分． （1）求证：是的切线； （2）延长、相交于点E，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证； （2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得； 【详解】（1）∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴是的切线． （2）由（1）可知，， 又， ∴． ∵，且， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴ 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是． （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当时x的取值范围． （2）将图象向上平移m个单位后，二次函数图象与x轴交于E，F两点，若，求m的值． 【答案】（1），，当时， （2） 【解析】 【分析】（1）把代入中求出，即得，从而求出A、C坐标；找出在x轴上方部分的函数图象上的自变量的取值范围，即可求出时x的取值范围； （2）设平移后抛物线解析式为，设该图象与x轴交于，两点，则，，根据，可建立关于m方程，解之即可． 【小问1详解】 把代入， 得，解得， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，B，C关于对称， ∴， ∴当时，； 【小问2详解】 抛物线向上平移m个单位，可得抛物线的解析式为， 设二次函数图象与x轴交于，两点，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式的关系、二次函数图象的几何变换、二次函数图象与坐标轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 27. 【根底巩固】 （1）如图，在中，为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在菱形中，分别为上的点，且，射线交的延长线与点，射线交的延长线于点．若．求：①CM的长；②FN的长． 【拓展进步】 （3）如图3，在菱形中，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）①连结，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长；②由得，再证明得，求得，从而求得； （3）如图4，过点D作DM垂直BC的延长线于点M，在BC上取一点Q，使得BQ=，连接PB，DQ，先利用勾股定理求出，，再证明得出 ，从而得出即可得出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①连结， 在菱形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又因为， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图4，过点D作DM垂直BC的延长线于点M，在BC上取一点Q，使得BQ=，连接PB，DQ， 菱形中，， ，， ， ， CM=， ，， ， BQ=，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了圆的概念、三角形的两边之和大于第三边、勾股定理、相似三角形的性质和判定及菱形的性质，构造辅助线将求和的两条线段转入同一三角形中利用三角形的两边之和大于第三边求最小值是解题的关键． 28. 如图1，在等腰中，，，点D是线段上一点，以为直径作，经过点A． （1）求证：是的切线； （2）如图2，过点A作垂足为E，点F是上任意一点，连结． ①如图2，当点F是的中点时，求的值； ②如图3，当点F是上的任意一点时，的值是否发生变化？请说明理由． （3）在（2）的基础上，若射线与的另一交点G，连结，当时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 的值不发生变化，仍为，理由见解析 （3）的值为． 【解析】 【分析】(1) 连接OA，证明AO⊥AB即可． (2) ①连结OF，OA，利用三角函数，勾股定理分别是EF，BF的长． ②连结，证明∽． (3) 分点在点的左侧和右侧两种情形求解． 【小问1详解】 证明：如图1，连结. ∵ ，， ∴ ， ∵ 以为直径作，经过点， ∴ ， ∴ ， ∴ ，且点在上， ∴ 是切线． 【小问2详解】 ①如图2，连结，. ∵ ， ，， ∴ ， ，， ∴ ， ∵ 点是的中点， ∴ ， ∴， ∴ ． ② 答：的值不发生变化，仍为， 理由如下：连结， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ∽， ∴ ． 【小问3详解】 ①如图4，当点在点的左侧时，连结，，，. ∵ ， ∵ ， ∴ ∽ ∴ ，， ∴设 ∵∽， ∴ ，， ∴ 设 ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即， ②当点在点的右侧时，同理求得; ∴． 综上所述：． 【点睛】本题考查了圆的切线，三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆的基本性质，熟练掌握三角函数，三角形相似的判定，圆的基本性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $