精品解析：2022年江苏省常州市中天实验中学九年级下学期数学中考模拟试卷（一）

二〇二二年中考模拟练习（I） 数学试题 说明：1．全卷满分为120分，考试时间为120分钟，共28道题． 2．考生在答题过程中，不允许使用计算器．若试题计算结果没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号和）． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在（ ）内） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（     ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 圆锥 4. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 两个直角三角板如图摆放，其中 ， ，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某企业年月份总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象，则下列图像中能大致反映每个月产量增长速度的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以的每一条边为边作三个正方形．与、交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图证明了勾股定理，现连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上） 9. 计算：______ 10. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 11. 分解因式：______ 12. 经全市人民共同努力，年常州市年实现（国内生产总值）亿元，离万亿城市又进了一步．数字用科学记数法表示为_____． 13. 如图，在中，、分别是、的中点，若 ，则 _____． 14. 若实数满足，则代数式的值是_____． 15. 已知：如图，在中，点在边上，，则 _______度． 16. 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若， ，则______． 17. 如图，把含的直角三角板 放置在边长为的正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点、分别在和边上，与交于点，且点为的中点，则的长度为_____． 18. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝3，CD＝2，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是_____． 三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解方程和不等式组： （1）； （2）． 21. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作 ，交的延长线于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 22. 图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题： （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由． 23. 为更好地落实国家“双减政策”，2022年春季开学后，某市A、B、C三所学校进行课后篮球比赛（A与B，B与C，C与A需各比赛一场），为确保篮球比赛裁判的公平性，三所学校决定各派一名裁判．A校选派甲裁判，B校选派乙裁判，C校选派丙裁判． （1）甲裁判执裁B、C两校比赛的概率是_____； （2）画出树状图、求甲、乙、丙裁判都不执裁本校比赛的概率． 24. 现在 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部 手机，三个月生产情况如下图． （1）求三月份共生产了多少部手机? （2） 手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影， 比要快190秒，求 手机的下载速度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点C的坐标． 26. 在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记作DPQ．特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，-1），点Q（3，-2），此时点Q与点P之间的“折距”DPQ=3． （1）①已知O为坐标原点，点A（3，-2），B（-1，0），则DAO=______，DBO=______． ②点C在直线y=-x+4上，请你求出DCO的最小值． （2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y=3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”DEF的最小值． 27. 如图，在平面直角坐标系中， 经过原点，分别交轴、轴于点，连结．直线分别交 于点（点在左侧），交轴于点，连结． （1）求 的半径和直线的函数表达式； （2）点在线段上，连结．当 与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 28. 如图，已知抛物线经过三点，其对称轴交轴于点，一次函数的图像经过点，与抛物线交于另一点（点在点的左边），与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设， ①如图，当且时，求的值； ②当 时，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二二年中考模拟练习（I） 数学试题 说明：1．全卷满分为120分，考试时间为120分钟，共28道题． 2．考生在答题过程中，不允许使用计算器．若试题计算结果没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号和）． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在（ ）内） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算幂的乘方，然后再根据同底数幂相除，指数相减，即可得出答案． 【详解】解：． 3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（     ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】由三视图的概念，根据主视图、俯视图和左视图想象几何体形状，即可得到答案． 【详解】解：由几何体的主视图、左视图和俯视图，得到该几何体是三棱锥． 4. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的性质即可求解． 【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长， 故选：A． 【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴及题意可得，依此可排除选项． 【详解】解：由数轴及题意可得：， ∴， ∴只有B选项正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键． 6. 两个直角三角板如图摆放，其中 ， ，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 7. 如图是某企业年月份总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象，则下列图像中能大致反映每个月产量增长速度的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象分析出每个月产量增长速度变化情况，确定符合的图象即可． 【详解】解：观察函数图象可知，总产量在月，每个月产量增长速度由快变缓，在月，每个月产量保持不变，不再增加，能大致反映每个月产量增长速度的是C选项的图象． 8. 如图，在中，，以的每一条边为边作三个正方形．与、交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图证明了勾股定理，现连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质先证出，利用全等三角形的性质可得，进而可得，由含角的直角三角形性质可得，设，继而可分别求出，，可得，证明，从而得，然后代入所求数据即可得的值． 【详解】解：四边形 、 、是正方形， ，， ，， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 设，则，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上） 9. 计算：______ 【答案】0 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质化简，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 10. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 11. 分解因式：______ 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 12. 经全市人民共同努力，年常州市年实现（国内生产总值）亿元，离万亿城市又进了一步．数字用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：数字用科学记数法表示为． 13. 如图，在中，、分别是、的中点，若 ，则 _____． 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：由D、E分别是边AB、BC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理求解即可． 试题解析：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∵DE=5， ∴AC=2ED=10． 故答案为10． 考点: 三角形的中位线定理. 14. 若实数 满足，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将已知式子变形得到，再将所求代数式进行变形，将的值整体代入求解即可． 【详解】解：实数 满足， ， ． 15. 已知：如图，在中，点在边上，，则 _______度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键． 16. 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若， ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可 【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB ∵ ∴∠BOC=2∠A=120° ∵OB=OC ∴∠OBC=30°又 ∴∠ABO=45° 在Rt△OBD中，OB=1 ∴BD== ∵OD⊥AB ∴BD=AD= ∴AB= 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键 17. 如图，把含的直角三角板 放置在边长为 的正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点、分别在和边上，与交于点，且点为的中点，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和含角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，证明，可得，，设，则，，，进而可得到，过点作于，作于，证明，可得，进而可得， ，，根据，列式计算可求得的值，最后再根据列式计算即可． 【详解】解：在中，点为的中点， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，设，则，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 如图，过点作于，作于， ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ，， ， ， ，， ， ，即， ， ． 18. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝3，CD＝2，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是_____． 【答案】或4． 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①点Q在AB边上时，设BP＝x，用x表示出S△DCQ和 S△AQD，即可求解；②当Q在AC上时，则△AD Q与△CD Q的面积相等可得AQ＝CQ，据此可求解. 【详解】解：分两种情况讨论： ①点Q在AB边上时， ∵AD⊥BC，AD＝BD＝3，CD＝2， ∴S△ABD＝BD•AD＝×3×3＝，∠B＝45°， ∵PQ⊥BC， ∴BP＝PQ， 设BP＝x，则PQ＝x，PD= 3-x， ∵CD＝2， ∴S△DCQ＝×2x＝x， S△AQD＝×3×（3-x） ＝﹣x ∵△ADQ与△CDQ的面积相等， ∴x＝﹣x， 解得x＝； ②如图，当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC， ∵AD⊥BC， ∴Q'P'∥AD， ∵△AD Q'与△CD Q'的面积相等， ∴AQ'＝CQ'， ∴DQ'是Rt△ADC斜边上的中线， ∴DQ'= CQ'， ∴P' Q'是CD的垂直平分线， ∴DP'＝CP'＝CD＝1， ∵AD＝BD＝3， ∴BP'＝BD+DP'＝4， 综上所述，线段BP的长度是或4． 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了三角形的面积关系及直角三角形斜边中线的性质，能分类讨论并根据三角形的面积公式表示出面积是解题的关键. 三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将代入即可． 【详解】解：原式= = 将代入 原式=． 【点睛】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值．熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则是解决此题的关键． 20. 解方程和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验即可得出答案； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， 是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为． 21. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作 ，交的延长线于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】 （1）证明：∵， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可； （2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴ ，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等． 22. 图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题： （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由． 【答案】（1）45万元， 补全条形统计图： （2）10.5万元； （3）5月份党史类书籍的营业额最高， 4月份“党史”类书籍的营业额为： （万元）． ∵ ，且1~3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5月份， ∴5月份“党史”类书籍的营业额最高． 【解析】 【分析】（1）用该书店1～5月的营业总额减去其它4个月的营业总额即可求出该书店4月份的营业总额，进而可补全统计图； （2）用5月份的营业总额乘以折线统计图中其所占百分比即可； （3）结合两个统计图可以发现：在5个月中4、5月份的营业总额最高，且1~3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5月份，故只需比较4、5月份“党史”类书籍的营业额即可． 【详解】解：（1） （万元）， 答：该书店4月份的营业总额为45万元． （2） （万元）． 答：5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元． （3）略 【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题的关键． 23. 为更好地落实国家“双减政策”，2022年春季开学后，某市A、B、C三所学校进行课后篮球比赛（A与B，B与C，C与A需各比赛一场），为确保篮球比赛裁判的公平性，三所学校决定各派一名裁判．A校选派甲裁判，B校选派乙裁判，C校选派丙裁判． （1）甲裁判执裁B、C两校比赛的概率是_____； （2）画出树状图、求甲、乙、丙裁判都不执裁本校比赛的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵有三场比赛， ∴甲裁判执裁B、C两校比赛的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有6种等可能的情况，其中甲、乙、丙裁判都不执裁本校比赛的只有1种情况， ∴甲、乙、丙裁判都不执裁本校比赛的概率为． 24. 现在 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部 手机，三个月生产情况如下图． （1）求三月份共生产了多少部手机? （2） 手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影， 比要快190秒，求 手机的下载速度． 【答案】（1）36万部；（2）100/秒 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数； （2）设 手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，根据下载一部的电影， 比要快190秒列方程求解． 【详解】（1）3月份的百分比= 三月份共生产的手机数=（万部） 答：三月份共生产了36万部手机． （2）设 手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒， 由题意可知： 解得： 检验：当时， ∴是原分式方程的解． 答： 手机的下载速度为100/秒． 【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0． 25. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点C的坐标． 【答案】（1）；（2），点C的坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出A点坐标，再用待定系数法即可求解； （2）根据已知条件求出B坐标，再求出D的坐标，然后用待定系数法求出解析式，再联立解析解出即可 【详解】（1）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：a＝2， 故， 将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝6， 故反比例函数表达式为：y（x＞0） ； (2)∵ ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 设一次函数AD的表达式为：y＝kx+b 得： 解得： ∴解析式为： 联立反比例函数和直线AD的解析式得 解得（舍去）或 ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，要注重数形结合，把函数转化成方程，体现了方程思想，综合性较强． 26. 在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记作DPQ．特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，-1），点Q（3，-2），此时点Q与点P之间的“折距”DPQ=3． （1）①已知O为坐标原点，点A（3，-2），B（-1，0），则DAO=______，DBO=______． ②点C在直线y=-x+4上，请你求出DCO的最小值． （2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y=3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”DEF的最小值． 【答案】（1）①5；1；②DCO的最小值为4；（2）DEF的最小值为． 【解析】 【分析】（1）①根据“折距”的定义可得DAO=|3|+|-2|=5，DBO=BO==1即可求解；②设点C（m，4-m），则DCO=|m|+|4-m |，当0≤m≤4时，DO最小，即可求解； （2）过点E分别作x、y轴的平行线交直线y=3x+6于F1、F2，则EF1是“折距”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y=3x+6的直线相切时，EF1最小，即可求解． 【详解】解：（1）①DAO=|3|+|-2|=5，DBO=BO=1， 故答案为：5，1； ②设点C（m，4-m），则DCO=|m|+|4-m|， 当m＜0时，DCO=-m+4-m=4-2m＞4； 当0≤m≤4时，DCO=m+4-m=4； 当m＞4时，DCO=m+m-4=2m-4＞4， 综上可知，当0≤m≤4时，DCO取得最小值，DCO的最小值为4； （2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y=3x+6于F1、F2，则EF1是“折距”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可， 又当点E在y轴左侧于平行于直线y=3x+6的直线相切时，EF1最小，如图3，将直线y=3x+6向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，过E作EF1∥x轴交直线y=3x+6于点F1，此时EF1即为DEF的最小值． 设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（-2，0）、点N（0，6）， 则MN=2， 又MN∥EG，∴∠NMO=∠EGO，又∠MON=∠OEG=90°， ∴△MON∽△GEO， ∴，即， ∴GO=， 又EF1∥MG，F1M∥EG， ∴四边形EF1MG为平行四边形， ∴EF1=MG=OM-OG=2-=． 【点睛】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，三角形相似的判定与性质，一次函数的图象与性质，新定义等问题，综合性较强，解答的关键理解新定义并掌握基本性质． 27. 如图，在平面直角坐标系中， 经过原点，分别交轴、轴于点，连结．直线分别交 于点（点在左侧），交轴于点，连结． （1）求 的半径和直线的函数表达式； （2）点在线段上，连结．当 与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】（1）； （2）的长为5或10或 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得是圆的直径，再由中点坐标公式可得点M坐标，然后由两点距离公式求得即为圆的半径；由M、C两点坐标利用待定系数法求直线解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据圆的半径由两点距离公式列方程求解，得到D、E的坐标；然后过点D作于点H，过点E作于点G，由B、D、A、E坐标可得，；①当时，则 为等腰直角三角形，由E点坐标即可求解；②时，则，由相似三角形对应边成比例求解即可；③时，同②解答． 【小问1详解】 解：∵ 经过原点，分别交轴、轴于点，且， ∴为 的直径， ∵点M是的中点，， ∴， ∴圆的半径为， 设直线的表达式为， 代入、得， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线分别交 于点， 不妨设点D的坐标为，则， ∴， 解得或， 当或时，对应的值为3或5， ∵点在点的左侧， ∴、； 如图，过点D作于点H，过点E作于点G， 则，， ∵， ∴， 由点A、E的坐标，同理可得， ∵、，、 ∴，， ， ， ①当时， 则 为等腰直角三角形，， ∴点P的坐标为，即； ②时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ， ∴； ③时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为5或10或． 28. 如图，已知抛物线经过三点，其对称轴交轴于点，一次函数的图像经过点，与抛物线交于另一点（点在点的左边），与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设， ①如图，当且时，求的值； ②当 时，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②且和 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①由题意可知点E在x轴的上方，且点E的纵坐标大于点C的纵坐标，过点C作于点F，易证此时，设，表示出、、、，利用相似三角形对应边成比例，求得点E坐标，进而利用待定系数法求得k的值； ②同①求得当点E和点H重合时、当点E在x轴的下方，且时，对应的k值，然后根据一次函数的性质和 、 的变化进行讨论即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴点E在x轴的上方，且点E的纵坐标大于点C的纵坐标， 如图，过点C作于点F， 则， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知抛物线的对称轴为直线，即， ∴，， 不妨设点，则，， ∴， 解得 ， ∴， 把，代入一次函数， 得， 解得； ②如图，当点与点H重合时， 同①，由点C和H的坐标，可求得此时，此时， 由①可知，当时，， 当点E向上移动时，变小，变小，变大， ∴时，； 当点E向下移动接近点H时，变大，变大，变小， ∴且时， ； 如图，当点E在x轴的下方，且时，过点C作于点G， 同理可得， ，， ∴， 不妨设点，则，， ∴， 解得， ∴， 把，代入一次函数， 得， 解得； 当点E向上移动接近点H时，变小，变大，变小， ∴时， ； 当点E向下移动时，变大，变小，变大， ∴时，； 综上所述，当 时，且和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $