专题03 一元二次不等式（易错培优竞赛精练）-2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一一元二次不等式易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校一元二次不等式错题精选 题组二：名校一元二次不等式优压轴试题精选 题组三：一元二次不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校一元二次不等式易错题精选 1．已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 5．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 6．（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 7．（多选题）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 8．已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 9．关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 11．已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 12．已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 13．定义：区间、、、的长度均为．若不等式的解集中所有区间长度总和为，则用的代数式表示 ． 14．若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 . 15．已知，关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 16．已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 17．已知． (1)当，时，求的值域； (2)对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 18．已知二次函数. (1)设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； (2)设的解集为，且，求不等式的解集； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 题组二：名校一元二次不等式培优压轴试题精选 1．已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．设函数，，已知对于任意的，若，满足，，有，则正实数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 3．（多选题）已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 4．（多选题）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 5．定义区间，，，的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度为，设，，其中表示不超过x的最大整数，，若用d表示不等式的解集的区间长度，则当时， . 6．已知二次函数满足有两个相等实根，且不等式的解集为．当时，在上的取值范围为，则 ， ． 7．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 8．已知，函数． （1）当时，不等式的解集是 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 9．已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 . 10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 11．若对任意，恒成立，则的最小值为 . 12．已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 13．已知二次函数满足：有两个实数根. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，记在时的最小值为，求的表达式; (3)若与都是整数且，求的值. 14．（1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 15．已知函数． (1)求关于的不等式解集； (2)若，求在上的值域； (3)设，记的最小值为，求的最小值． 16．设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若时，有解，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 17．已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)讨论单调性； (3)若为奇函数，且，试探究正数a，b，c的大小关系． 18．已知对称轴为的二次函数满足对于任意，都有，且当时，. (1)求的值； (2)求解析式； (3)若当时，恒成立，求的最大值. 题组三：一元二次不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2018高三·全国·竞赛）若关于x的不等式|x﹣a|<2﹣x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2021高一上·福建厦门·竞赛多选题）关于x的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 3．（16-17高三·北京·强基计划多选题）已知实数a，b满足：当时，恒有，则（    ） A． B． C． D． 4．（16-17高三·北京·强基计划多选题）已知函数，若存在实数t，当时，有恒成立，则实数m可以等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（2024高二下·浙江·竞赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 6．（2007高二·全国·竞赛）已知实数满足的最小值为 . 7．（2024高三下·上海·竞赛）若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组. 8．（2013高一·全国·竞赛）对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数对于任意恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是 ． 9．（2011高一·全国·竞赛）函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是 ． 10．（20-21高一·安徽宣城·强基计划）若函数中自变量x的取值范围为一切实数，则实数的取值范围是 11．（18-19高三·北京·强基计划）如果不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 12．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 13．（2013高一·全国·竞赛）已知函数满足：①；②． (1)求的解析式； (2)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 14．（2007高一·全国·竞赛）设集合、，且，求实数k的取值范围. 15．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知二次函数，对一切实数x，不等式恒成立，且，求函数的解析式． 16．（22-23高一·安徽芜湖·强基计划）（1）解方程； （2）对于函数，若存在实数x0，使成立，则称x0为的固定点． ①当时，求的固定点； ②若对于任意实数b，函数恒有两个不相同的固定点，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一一元二次不等式易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校一元二次不等式错题精选 题组二：名校一元二次不等式优压轴试题精选 题组三：一元二次不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校一元二次不等式易错题精选 1．已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出不等式的解，再代入判断列式求解. 【详解】函数，设， 不等式为， 即，解得，依题意，无解， 即不等式无解，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 2．若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再根据充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】， 解得：或， 由题意可知， 或， 得或，即或. 故选：A 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据高斯函数的定义即可得解. 【详解】由，得， 解得， 根据高斯函数的定义可得， 所以不等式 的解集为. 故选：D. 4．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】画出函数的图象，对分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出结论. 【详解】函数的图象如图所示：   ， 当时，， 由于关于的不等式恰有一个整数解， 因此其整数解必为3，又，， 结合图象可知，解得， 因为要求的最大值，所以不必考虑. 综上所述，的最大值为. 故选：D 【点睛】方法点睛： 数形结合与图象分析：通过画出函数的图象，结合不等式的条件，利用数形结合的方法直观地分析解的分布情况．数形结合是分析不等式解的一个非常有效的工具．在解题过程中，绘制函数图象并结合不等式条件进行讨论，是找到解集并确定最大值的关键． 5．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 【答案】B 【分析】A由一元二次不等式解集为空直接判断；B令即可判断；C根据解集判断参数关系，结合目标不等式求解即可；D根据题设得，且，将目标式化为含的表达式，再令，代换原表达式并结合基本不等式求最值. 【详解】A：由无解，则且，对； B：令，若，则等价于， 此时，关于的不等式的解集不为，错； C：由题设，则等价于， 所以，可得或，对； D：由题设，则，且， 所以，令，则， 所以上式为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，对. 故选：B 6．（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集为，确定之间的关系，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以整理得 则． ， 解得． ，即，解得， 则． 故选：ACD． 7．（多选题）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】BC 【分析】由一元二次方程根的分布逐项判断即可. 【详解】对于A:当时，方程为：解得：，只有一根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则解得：或，故B正确； 对于C：方程有两个正根等价于解得：，故C正确； 对于D：当时，方程为：，方程无解，故D错误. 故选：BC 8．已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可以把问题转化成二次函数在上大于等于0的问题来解决.结合函数与轴的交点，则或对称轴在轴或轴左侧，即可求出的取值范围. 【详解】由，得，. 设，. 因为，所以，或. 由； 由. 所以的取值范围为：. 故答案为： 9．关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 【答案】 【分析】由题可得不等式的解集为或，由不等式有3个整数解可得答案. 【详解】. 若，则不合题意； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则. 故答案为： 10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得出，可求出的取值范围，则，代入即可得出答案. 【详解】由题意知方程至多一个根， 方程有两根分别为，6. 所以，所以， 解得：，所以. 故答案为：. 11．已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分为，，，四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可. 【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有四个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有， 所以， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键. 13．定义：区间、、、的长度均为．若不等式的解集中所有区间长度总和为，则用的代数式表示 ． 【答案】 【分析】变形给定不等式，转化成一元二次不等式组，进而求出解集即可得答案. 【详解】当时，， 令，则， 令的两根为，且，， 则，因此或， 而当时，， 当时，，于是， 解得，解得， 则不等式的解集为， 所以. 故答案为： 14．若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】当时，借助函数的性质分析即可；当时，由于，故必定是方程的一个正根，代入即可求. 【详解】因为，故原式可等价于恒成立， 由题意当时，因为，则， 由于的图象开口向上，则不恒成立， 当时，由可解得， 由于， 故方程有两个不相等的实数根且异号， 所以必定是方程的一个正根， 则， ，则可解得， 故答案为：. 15．已知，关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据方程的根的概念，可求的值. （2）对的值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式，可解关于的不等式. （3）分离参数，转化为恒成立问题，通过求函数的值域得的取值范围. 【详解】（1）由题意：1，（）是方程的两根. 由；由或（舍去）. 故：，. （2）原不等式可化为：. 若，则，解得：； 若，则，解得：或； 若，则， 当，即时，解得：； 当，即时，解得：； 当，即时，解得：. 综上可知：当时，不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. （3）问题转化为：对恒成立. 所以：. 因为恒成立，所以，. 因为. 设，则，， 且. 因为，当且仅当时取“”. 所以，所以，所以. 所以. 所以的取值范围是：. 【点睛】方法点睛：求参数的的取值范围，可以分离变量，化成，恒成立的问题，再结合基本不等式，求式子，的最大值即可. 16．已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分与讨论，当时结合二次函数图像，列出不等式，代入计算，即可求解； （2）先因式分解，然后对两根的大小进行讨论，即可求解； （3）先令，由可得，将问题转化为有四个不同的实根，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 17．已知． (1)当，时，求的值域； (2)对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将解析式转化为有关的一个一元二次方程，求得最小值即可得到值域； （2）转化为二次函数恒成立问题，然后根据对号函数求值域即可. 【详解】（1），令，则， ，当，时， 因为，则当时，取得最小值为4， 所以的值域为； （2），令，则， ，，则对任意，存在，使得， 法一：令，则恒成立， 即恒成立， ， ，即或， 存在，使得或， 或，或； 法二：令，则恒成立， ， 当且仅当时等号成立， ，即，下同法一； 所以或. 18．已知二次函数. (1)设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； (2)设的解集为，且，求不等式的解集； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)R (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得a，b，c的关系，化简不等式后，求解即得； （2）根据不等式的解，利用两根式及多项式相等得到，进而求解不等式即可； （3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得ab的最大值，并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立． 【详解】（1）因为的解集， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． （2）因为的解集为，且， 所以且， 所以，故， 若，则，不合题意； 若，则，此时满足题意， 综上，， 所以不等式，即为 由，知：不等式的解集为. （3）令，则，所以， 对任意恒成立， 所以恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以， 当且仅当时取等号， 此时成立； 故的最大值为． 题组二：名校一元二次不等式培优压轴试题精选 1．已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 令，则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，或，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 2．设函数，，已知对于任意的，若，满足，，有，则正实数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，等价于，又因为，则恒成立，即，，再结合二次函数性质，即可求解. 【详解】由题意得，满足，，有， 则， 化简得， 又因为，则，所以， 所以，即， 又因为， 所以恒成立，即，， 对于函数，， 当时，有最小值，即，则，故A正确. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题主要是应用等价转化法将转化为，再结合为，即等价于即，恒成立，即可求解. 3．（多选题）已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据解集以及根与系数的关系得到可判断A，根据基本不等式可得到B，根据和为1的形式可得到选项C和D. 【详解】对于A：由不等式的解集为， 可得，且方程的两根为-1和， 所以所以，， 所以，所以A正确； 对于B：因为，，所以，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，所以C正确； 对于D：由得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，所以D错误， 故选：ABC． 4．（多选题）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】BC 【分析】首先求出集合，理解差集的定义，并求出，然后逐个进行判断即可. 【详解】由，解得， 则， 当时，， 又，则，，故A错误，B正确； 对于C，由定义知，又，则， 即，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，，又， 则，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：BC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解差集的定义，即，. 5．定义区间，，，的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度为，设，，其中表示不超过x的最大整数，，若用d表示不等式的解集的区间长度，则当时， . 【答案】2024 【分析】先化简，再分即和即两种情况化简，并分段、、、、讨论求解不等式的解集，从而得出不等式在上的解集，进而得解. 【详解】由题， 所以即，即， （i）当即时，不等式化为， 当，，不等式化为，符合，所以； 当，，不等式化为，不符合； 当，，不等式化为即，不符合； 当，，不等式化为即，不符合； … 以此类推至，都有，从而不存在x使不等式成立. 所以不等式在上的解集为； （ii）当即时，不等式化为， 当，，不等式化为即，所以； 当，，不等式化为即，所以； 当，，不等式化为即，所以； 当，，不等式化为即，所以； … 以此类推至，，不等式化为即，所以， 所以不等式在上的解集为. 综上，不等式在上的解集为. 所以. 故答案为：2024. 【点睛】关键点睛：本题求解的关键是充分利用分类讨论思想求解问题，先分即和即两种情况化简，再分段、、、、讨论求解不等式的解集，从而简化问题的难度. 6．已知二次函数满足有两个相等实根，且不等式的解集为．当时，在上的取值范围为，则 ， ． 【答案】 1 【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，结合其在上的最大值为1推得，从而判断函数在区间上的单调性，列出方程，利用同构思想，得出是方程的两个根，求解方程即得. 【详解】由一元二次不等式的解集为可知， 二次函数的图象过原点，且2是方程的一个根． 设，又由，即有两个相等实根， 则解得，， 故，其对称轴为直线．且当时，. 因在上的取值范围为，可得，所以， 则在上单调递减，则，， 即是方程的两个根， 由，得， 所以，， 解得，，， 又，故，． 故答案为：；1. 7．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 【答案】或 【分析】分，和三种情况，当和时，直接求出集合，再结合条件，可知不合题意，当时，注意到，结合条件得到或，即可求解. 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于时的处理，利用二次函数的性质，结合及条件，得到或，即可求解. 8．已知，函数． （1）当时，不等式的解集是 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 【答案】 【分析】（1）分别求解两个不等式得到两段上的解集，再求其并集即得； （2）结合函数图象，可将函数恰有2个零点分成有1和4两个零点或有1和3两个零点两种情况分别考虑，即得参数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，由可得，则有； 当时，由可得，则有. 综上，不等式的解集为； （2）因有一个零点为4，而有两个零点，分别为1和3. 若函数恰有2个零点,可以分成两种情况： ①当函数有1和4两个零点时，如图1所示，需使； ②当函数有1和3两个零点时，如图2所示，需使. 综上可得，. 【点睛】思路点睛：本题主要考查分段函数的由零点个数求参问题，属于难题. 一般先求出每段上函数的零点，结合函数图象，由题意中零点个数分析分段点的临界位置，动态理解图象即可求得参数范围. 9．已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在递减，在递增， ，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增，，所以，故； ③即时，在[0，1]递减，， 所以，解得，综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后将都表示成的形式即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 11．若对任意，恒成立，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】令，得，再根据，恒成立，解得的值，最后验证恒成立即可. 【详解】令，则，故， 由，恒成立，则恒成立， 当时，要使恒成立，则，， 此时恒成立， ， 当时，要使恒成立， ，， ，此时，， ， 此时，，时取等号， 当，，时，则恒成立， 的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键是，令，得，再根据不等式恒成立进行求解. 12．已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 13．已知二次函数满足：有两个实数根. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，记在时的最小值为，求的表达式; (3)若与都是整数且，求的值. 【答案】(1)或； (2)； (3)时，，，时，，． 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由已知求得，先分，然后考察对称轴与区间端点的远近，从而得最小值； （3）求出方程的解，然后根据解是整数，得出或，代入求得． 【详解】（1）由已知有两个不等实根， 所以，解得或； （2）由，可知， 又，故，显然， 所以， 当时，的图象是开口向上的抛物线， 当时，，， 当时，， 当时，的图象是开口向下的抛物线， 时，，， 时，，， 所以； （3）由题意，， 由得， 又方程的解都是整数，则或2， ，即时，，， ，即时，，． 综上，时，，，时，，． 【点睛】结论点睛：二次函数在区间的最值， （1）时，，； （2），时，，； （3），时，，； （4）时，， ，类似讨论可得． 14．（1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据条件，因式分解得，对分类讨论，再利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据条件得到，再由，得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解. 【详解】（1）由得到， 当时，由得到，当时，由得到， 当时，由得到， 综上所述，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. （2）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或. （3）由，得到， 由题知的两根为和， 则且，得到， 又由，且，得到，即， 解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时， 综上所述，正实数的取值范围为或. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，利用一元二次不等式的解法得到且，从而得到，通过求得的取值范围，利用基本不等式和的性质求解. 15．已知函数． (1)求关于的不等式解集； (2)若，求在上的值域； (3)设，记的最小值为，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）将不等式转化为，分三种情况求出解集； （2）求出的分段函数，求出的单调区间，求出在上的值域； （3）求出，分、和三种情况求出，求出的最小值. 【详解】（1）由， 即不等式转化为， 则，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）， 当， 在单调递减，在单调递增， ，函数在上值域为， 当在单调递增， ，函数在上值域为， 综上所述，函数在上值域为； （3）由题意可知，， ①当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为； ②当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为； ③当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值为， 综上所述，， 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时． 综上所述，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于分、和三种情况求出. 16．设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若时，有解，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先由得，接着根据函数在上的单调性求出函数的最值即可得解. （2）先由在上有解得，接着根据函数的单调性研究其最值情况得，从而得解. （3）先由任意的，都有得对任意有，接着分类讨论研究函数在闭区间的最值即可依据计算求解实数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以函数在区间上的值域为. （2）因为时，有解，即在上有解， 所以在上有解，所以， 令，任取， 则 ， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. （3）因为对任意的，，都有， 所以对任意，有， 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当即时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符； 当即时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，解得， 又，所以； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，解得， 又，所以； 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：“对任意的，都有，求实数的取值范围”问题的关键是将问题等价转化为“对任意有，求实数的取值范围”，再分类讨论研究一元二次函数在闭区间的最值即可依据计算求解实数的取值范围. 17．已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)讨论单调性； (3)若为奇函数，且，试探究正数a，b，c的大小关系． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接解绝对值不等式即可得解； （2）分三种情况讨论即可； （3）首先得，进一步得在整个定义域上单调递增，从而得到，根据作差法即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以当时，不等式的解集为； （2）， 情形一：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，在上单调递减； 情形二：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，无单调递减区间； 情形三：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）若为奇函数，首先，即， 其次恒成立， 即恒成立或者恒成立， 而不可能恒成立，从而只可能恒成立， 所以， 所以，显然的定义域是全体实数，它关于原点对称，且， 所以是奇函数，且当时，单调递增， 所以在整个定义域上单调递增， 若正数a，b，c满足， 则当且仅当， 而， 同理可证，，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到，进一步得在整个定义域上单调递增，从而得到，根据作差法即可顺利得解. 18．已知对称轴为的二次函数满足对于任意，都有，且当时，. (1)求的值； (2)求解析式； (3)若当时，恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则有，即可得证； （2）由对称轴为，，可求得，，根据对于任意，都有，利用判别式可求得，即可得出答案； （3）由已知，得，当时恒成立，令，对称轴为，通过对对称轴位置的讨论， 得到时，的取值范围，即可求得的最大值. 【详解】（1）证明：由题意知，当时，成立， 令，则有， 所以； （2）二次函数的对称轴为，所以，即， 由（1）知，，则，即， 所以， 又于任意，都有， 即在上恒成立， 所以，且， 整理得，则， 即，所以， 所以. （3）由（2）知，， 因为，当时恒成立， 所以，即，当时恒成立， 令，对称轴为， 当对称轴，即时，在上单调递增， 则，解得，则此时无解， 当，即时， ，解得，则， 当，即时， ，解得，则， 当，即时， ，解得，则， 综上，即的最大值为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 题组三：一元二次不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2018高三·全国·竞赛）若关于x的不等式|x﹣a|<2﹣x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为时，函数的图象有一部分在图象的下方，作出的图象，及折线，左右平移观察折线与曲线的位置，根据极限位置求出值，然后可得所求的范围． 【详解】解：|x﹣a|<2﹣x2且0<2﹣x2 在同一坐标系画出y=2﹣x2(x<0，y>0)和y=|x|两个图象 将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过(0，2)点，a=2 将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 由得，，， 故实数a的取值范围是(﹣，2) 故选：C. 【点睛】本题考查不等式有解问题，解题方法是数形结合思想，利用函数图象的关系得出结论． 2．（2021高一上·福建厦门·竞赛多选题）关于x的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先因式分解，得出方程可能存在的根，再对a进行分类讨论，最后得到不等式的可能解集. 【详解】因为，所以， 当a＞0时，，不等式解集为； 当a＝0时，，不等式解集为； 当a＜0时，，若，解集为； 若，解集为R； 若，解集为． 故选：BCD 3．（16-17高三·北京·强基计划多选题）已知实数a，b满足：当时，恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用特值可得，故可判断ABD的正误，利用反例可判断C的正误. 【详解】设，则 于是 因此 所以选项A，B，D正确， 又符合题意，因此选项C错误． 故选：ABD. 4．（16-17高三·北京·强基计划多选题）已知函数，若存在实数t，当时，有恒成立，则实数m可以等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】AB 【分析】把不等式等价转化，构造函数，再利用二次函数的图象、性质求出m的范围作答.. 【详解】不等式， 令，依题意，存在实数t，在上恒成立， 由二次函数的图象与性质知，，即， 令，于是存在实数，使得成立，而， 当，即时，函数在上单调递增，， 解得，当，即时，，解得， 因此的取值范围是，选项AB符合题意，选项CD不符合题意. 故选：AB 5．（2024高二下·浙江·竞赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出集合A，再根据集合的子集关系和二次函数性质求出参数范围 【详解】因为，要使, 则, 则, 所以. 故答案为：. 6．（2007高二·全国·竞赛）已知实数满足的最小值为 . 【答案】 【分析】 由方程组解得， ，再求的最小值即可. 【详解】由得， ， 当异号时，同号，此时取最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（2024高三下·上海·竞赛）若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组. 【答案】14 【分析】涉及整数的不等式问题，先使用常见的不等式缩小范围，进一步求解即可. 【详解】由 （1）或2时,,此时共有6组; （2）或2时,,此时共有4组; （3）或2时,,此时共有4组. 综上,满足题意的有序整数组共有14组. 故答案为：14. 8．（2013高一·全国·竞赛）对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数对于任意恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得恒有两个不等的实根，对恒成立，求解即可. 【详解】因为恒有两个相异的不动点， 所以恒有两个不等的实根， 对恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 9．（2011高一·全国·竞赛）函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，再求在区间上的最值，即可解决问题. 【详解】依题意知，时，恒成立． 所以时，恒成立，即恒成立． 由于时，的最大值为0，最小值为， 因此，，解得， 故答案为：. 10．（20-21高一·安徽宣城·强基计划）若函数中自变量x的取值范围为一切实数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题得可得对一切实数恒成立.分与两种情况讨论，即可求解． 【详解】由题得可得对一切实数恒成立. 若，则，与无关，故符合已知条件． 若．则. 故实数的取值范围是． 故答案为： 11．（18-19高三·北京·强基计划）如果不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用特例可判断，再证明当时，不等式恒成立即可得到参数的取值范围. 【详解】分别取和，可得． 接下来证明时命题成立， 此时只需要证明 这显然成立，因此所求实数a的取值范围是． 故答案为：. 12．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【详解】（1）已知， 由即， 解得 ， 则； （2）已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即恒成立， 当时，恒成立； 当时，由 解得； 综上，当时，的取值范围为； （3）已知， 由得，不等式组有解， 由， 又， 当，即时，对任意恒成立，则满足； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 综上所述，的取值范围是 13．（2013高一·全国·竞赛）已知函数满足：①；②． (1)求的解析式； (2)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由代入函数解析式再作差得到的取范围，结合求出的值，从而求出，即可得解； （2）依题意可得在上恒成立，令，则，解得即可. 【详解】（1）依题意可得， ②①得，则， 又，所以， 代入①得， 所以． （2）因为在上恒成立， 整理得在上恒成立， 记，则，解得． 14．（2007高一·全国·竞赛）设集合、，且，求实数k的取值范围. 【答案】或 【分析】 由一元二次不等式分和解出集合，再利用交集的运算求出取值范围. 【详解】或， 令，即，所以，， 当时，，， 由得或，解得； 当时，，， 由得或，解得； 综上，或. 15．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知二次函数，对一切实数x，不等式恒成立，且，求函数的解析式． 【答案】 【分析】由求得的关系，当时，得到再利用恒成立即可求得，进而求得. 【详解】由知函数对称轴为， ， 又 ，即 又 ， . 16．（22-23高一·安徽芜湖·强基计划）（1）解方程； （2）对于函数，若存在实数x0，使成立，则称x0为的固定点． ①当时，求的固定点； ②若对于任意实数b，函数恒有两个不相同的固定点，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）①－1和3；②． 【分析】（1）设，则原方程变为，化简整理得，求得的值，进而得原方程的解； （2）①把的值代入方程，解方程即可得的不动点； ②根据方程有两解可得对b为任意实数恒成立，将其看成关于的二次函数，根据即可得结果． 【详解】（1）设，则原方程变为， ∴，得， 化简整理得，即， ∵   ∴   ∴， 当时，， 当时，， ∴原方程的解是. （2）①当时，， 由，得，即，解得：或3， 故－1和3是的固定点； ②由题意，对于任意实数b，方程即总有两个不相等的实数解， ∴， ∴对b为任意实数恒成立． 则， ∴，∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$