专题04 基本不等式（易错培优竞赛精练）-2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一基本不等式易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校基本不等式易错题精选 题组二：名校基本不等式培优压轴试题精选 题组三：名校基本不等式培优新定义试题精选 题组四：基本不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校基本不等式易错题精选 1．已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 【答案】A 【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令代入化简，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 当且仅当，，即时等号成立； 故选：A 2．已知，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用换元法将分式变形为整式，进而得，再根据基本不等式求最值即可. 【详解】令，，则，，所以，则， 又，，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，此时，； 所以，当且仅当，时，等号成立； 故选：B. 3．已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】由可得，代入，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为12. 故选：A. 4．已知正实数，满足，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件等式再利用基本不等式中“1”的应用即可计算的出结果. 【详解】由可得，可得； 所以； 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时. 故选：A 5．下列结论正确的是（   ） A．若，， 且， 则 ab的最大值为 B．若正实数a， b满足， 则的最小值为20 C．若a， b为正实数，且，则 的最小值为6 D．若，， 则 的最小值为3 【答案】C 【分析】对A，直接利用基本不等式即可判断；对B，直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断；对C，利用乘“1”法即可；对D，两次利用基本不等式即可判断. 【详解】A选项：若，， 则，解得， 当且仅当时取“”，故A选项错误； B选项：因为正实数a， b满足，则， 解得（负舍），当且仅当时取“”， 则的最小值为9，故B选项错误； C选项：因为，所以， 所以， 当且仅当时取“”，故C选项正确； D选项：， 当且仅当，即时取“”，故D选项错误； 故选：C. 6．（多选题）关于的方程的两实根为，，且，，则（   ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据韦达定理可得，即可代入求解A，根据基本不等式即可求解B，利用，结合基本不等式即可求解CD. 【详解】由的两实根为，可得， 故，或， 对于A，，A正确， 对于B，由，，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C，由可得， 故， 当且仅当，即取等号，故C错误， 对于D，由可得，故，当且仅当，即时取等号，故D正确， 故选：ABD 7．（多选题）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故，B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 8．（多选题）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用求解判断AD；消元并利用二次函数最值求解判断BC. 【详解】正数满足， 对于A，，，当且仅当时等号成立，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，，则， 当且仅当时等号成立，C正确； 对于D，， 当为仅当，即时等号成立，D正确. 故选：ABCD 9．（多选题）已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为8 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】当时，可得对任意的恒成立，无解，可得，又当，不等式不恒成立，从而可得，可判断AB，进而计算可判断CD. 【详解】当时，恒成立， 由对任意的，不等式恒成立， 则对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立，此时不存在，所以，故B正确；    当时，作出函数和的图象的示意图如图所示， 当时，显然恒成立，此时不恒成立， 由对任意的，不等式恒成立， 所以，故A错误； 所以，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10．（多选题）已知，则下列结论正确的有（ ） A．的最大值 B．的最小值为1 C．的最小值 D．+的最小值为 【答案】ACD 【分析】由题意，根据基本不等式、二次函数以及“1”的妙用，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，则， 由， 则当时，取得最小值，故B错误； 对于C，由， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，设，解得， 由，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）若，，且，下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据基本不等式及其取等条件分别判断各选项. 【详解】A选项：由，且，即，， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为，A选项正确； B选项：，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，B选项正确； C选项：由，则，所以，即， ，无最大值，C选项错误； D选项：由，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又与已知矛盾，所以无最小值，D选项错误； 故选：AB. 12．（多选题）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由，得到，利用基本不等式判断A,B选项,由，得到判断CD选项. 【详解】解：由，得，所以， 整理得，解得（舍去）， 当且仅当时，取得等号，A正确； 由，得，即， 解得（舍去）， 当且仅当时，取得等号，所以的最小值为，B错误； 由，得，所以，解得，C正确； ， ，当且仅当，即时，取得等号，D正确． 故选：ACD． 13．已知，且，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】先由题意得且，接着将代入整理得，再根据基本不等式中常数“1”的妙用方法即可计算求解. 【详解】因为，且， 所以且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 14．对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，必有， 故要使得取得最大值，必须当， 此时， 所以， 令， 则 ， 当且仅当即时取等号， 所以， 所以， 故答案为： 15．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知条件可得：，因不等式恒成立，则需恒成立，则需要，利用“1的妙用”，求出的最小值，即可得到的取值范围. 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 16．若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用配凑法，两次利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以，， 又， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 17．已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 18．问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②时，取最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，，则，再利用①结论求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为、都是正实数，所以， 所以 当且仅当，解得或， 因为、都是正实数，所以， 所以当时，取得最小值. （2）①因为，所以 因为，，则有： ， 当且仅当且、同号时取等号，此时，、满足， 所以. ②令，，所以，， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： ， 当且仅当且，时，即取等号， 解得时，取最小值. 题组二：名校基本不等式培优压轴试题精选 1．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 【点睛】方法点睛：由已知式联想基本不等式，由于不等式一侧只有两项：，把拆成两项，分别与相加应用基本不等式，构成形式上的一致，再利用系数关系求得参数，然后由不等式恒成立可得结论． 2．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由已知可得，将转化为双变量的式子，再根据基本不等式求得的最大值，并结合取等条件转化，利用函数求得其最值. 【详解】根据题意，正实数，，满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，则此时， 当取得最大值时，， 分析可得，当时，即时，取得最大值2． 故选：A． 3．不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得 ，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以， 即， 所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. 4．（多选题）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【详解】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 5．设正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过换元法，设，得到，，，再由乘1法，运用基本不等式，即可求得所求最小值. 【详解】设，则， 因为，所以，，则 当且仅当，即时，取得最小值 故选：B. 6．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 7．记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得. 8．已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 设，则，解得， 因为，，， 所以，解得或， 又因为， 所以，整理得，解得， 当且仅当时，等号成立. 因此，即， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可. 9．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 10．已知，则的最大值是（    ） A．15 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案. 【详解】利用公式 及可得： ， ， 所以代入已知式化简可得， 由观察可得：当，时，即成立， 此时， 所以①， 又②， ③， 则①②③可得： ， 所以 ， 故原不等式可化为：， 即，故， 此时当时等号成立，即的最大值是. 故选：C. 【点睛】关键点晴：本题的关键点在于寻求当分别为何值时，可能取得最大值，根据原式不易观察，所以先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案. 11．记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解. 【详解】由，可得，， ， 当正数，（）时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 12．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可. 【详解】依题意，． 又， 而 ， 当且仅当，即，时， 前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为 故选： 13．（多选题）已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当a，b，时，的最小值为8 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式求出最大值判断A；由结合基本不等式求出最大值判断B；由求出最小值判断C；由结合不等式性质及基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A， ，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则， 当且仅当或时取等号，B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，取，则，C错误； 对于D，，，则，当且仅当时取等号， 于是，当且仅当时取等号， 因此当时，，取得最小值8，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 14．（多选题）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（   ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】ABD 【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A的真假；把、用表示出来，判断B的真假；把、用表示出来，判断C的真假；把、用表示出来，判断D的真假. 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：采用数形结合，分别表示出相应线段，结合图形中线段的长度关系，逐一分析各选项，即可得到答案. 15．（多选题）已知实数，满足，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】AC 【分析】对于A，将分成同号，异号，或有一个为0三种情况，利用基本不等式进行分析讨论即得； 对于B，利用重要不等式求得xy的最大值排除此项；对于C，利用重要不等式即可推出结论成立； 对于D，通过取反例，即可排除此项. 【详解】对于A，由可得 当时，因，即，即， 解得，当且仅当时，有最小值为； 当时，显然有，即得； 当中有一个为0时，或， 综上可得，有最小值为，即A正确； 对于B，由可得，解得， 当或时等号成立，即有最大值为，故B错误； 对于C，由可得， 因，则解得， 当或时等号成立，即有最小值为，故C正确； 对于D，当，满足，但，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题主要考查基本不等式的性质应用，属于难题. 运用基本不等式的性质求最值的方法主要有： （1）直接法：利用“一正二定三相等”的要求运用基本不等式求解； （2）配凑法：将所求式配凑成积为定值或和为定值的情况进行求解； （3）消元法：通过已知式求出一个字母，代入所求式消元，再运用基本不等式求解； 16．（多选题）若实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将等式变形为，利用可得选项A正确；通过配方得，利用可得选项B错误； 等式可变形为，利用可得选项C正确；通过配方可得，利用可得选项D正确. 【详解】对于A，可化为，， ∵（当且仅当时取等号）， ∴， ∴， ∴，选项A正确. 对于B，由得， ∴， ∴，选项B错误. 对于C，由得， ∴， ∵（当且仅当时取等号）， ∴， ∴， ∴，选项C正确. D. 由得， ∴， ∴. 由得， ∴， ∴，选项D正确. 故选：ACD. 17．（多选题）命题，，使得不等式成立，下列不是命题成立的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得，成立，利用基本不等式求出最小值，再根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意得，存在正数使成立，即成立， ， 当且仅当，即时取等， 故， 故使得成立的充要条件是， 使得成立的充分不必要条件应该是的真子集，其中满足的只有， 则不是命题成立的充分不必要条件的有BCD三个选项. 故选：BCD. 18．（多选题）已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由重要不等式可得出，可判断A选项；利用基本不等式可得出，再利用基本不等式及不等式的性质可判断B选项；分析可知，关于的二次方程有实根，由可判断C选项；由基本不等式可得出，再利用立方和公式可判断D选项. 【详解】因为，，且， 对于A选项，由重要不等式可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，由重要不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，当且仅当时，等号成立，B对； 对于C选项，由题意可知，关于的二次方程有实根， 则，即，解得， 又因为，所以，，C对； 对于D选项，由可得， 由基本不等式可得， 可得，即， 因为，，则，所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以，，D对. 故选：BCD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19．（多选题）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D. 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立. 20．已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 21．设是正实数，则的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意变形为，再结合基本不等式，令，即可求解. 【详解】， ，， 当，得， 则，得， 得或（舍）， 所以 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造，并根据基本不等式，结合分子每一项的比值，即可求解. 22．设实数，，，满足及，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先由得到，从而得到，令， 分析单调性得到，由均值不等式得， 讨论取等号的条件得到最终结果. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设，， 又因为，所以， 所以在内单调递减，所以， 由均值不等式得， 当且仅当，即时取等号， 也就是当、、时取等号， 将、代入，可得，时等号成立. 综上，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查均值不等式求最值，难点在于题中参数较多，需根据题中条件逐步消元得到只含和的均值不等式，从而求得最值. 23．已知，，且，若的最小值为3，则 . 【答案】8 【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式可得，结合题意可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即，由题意可知：，解得. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据整理可得，结合基本不等式运算求解即可. 24．设，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 25．设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，分，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得的最小值，即可求解． 【详解】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分和讨论，当时利用基本不等式得到，，再对两不等式相乘得，同理当时，利用该方法亦可得. 26．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 【答案】(1)韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误； （2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值. 【详解】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由如下： 对于，， 当且仅当，即时取等号， 此时，不满足题意， 所以该解法错误； （2）（i）由已知，，都是正数， 则，，， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立； （ii）由已知，，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 27．已知，且． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过，，，三式相加，可得： . 再根据，，∴，，且，可得结果. （2）先用公式和把原式转化为： ，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为，且，所以，，所以， 所以． 故. （2）， ， 当且仅当，时取等号， 的最大值为． 【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加． 题组三：名校基本不等式新定义试题精选 1．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值， 故选：D． 2．基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题干中的知识，参照基本不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以（）的最小值为. 故选：B. 3．（多选题）数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（    ）    A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，借助相似三角形用表示相关线段，再借助图形即可判断得解. 【详解】依题意，不妨令，，， 由，得， 连接，则，而， 则，∽， 于是，，又，， 则∽，，于是， 观察图形知，，，，当且仅当点重合时取等号， 即，，，当且仅当点时取等号，ABC正确； 对于D，都表示线段长平方， 不能表示，，中边长，因此D错误. 故选：ABC    4．（多选题）设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D选项，当时，由C可知，，故D错误. 故选：AC. 5．（多选题）早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是 【答案】CD 【分析】通过反例可知A错误；根据基本不等式“”的应用可求得BC正误；令，，将所求式子化为，利用基本不等式可知D正确. 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B，，，，， （当且仅当，即时取等号），即的最小值为，B错误； 对于C，，，，又， （当且仅当，即时取等号），C正确； 对于D，令，，则， （当且仅当时取等号），即的最小值是，D正确. 故选：CD. 6．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据条件先得，再利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知，则， 所以 ， 当且仅当时取得最大值. 故答案为： 7．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202~1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中.具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是.现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，则该三角形面积的最大值为 cm2. 【答案】 【分析】先化简得，再利用基本不等式可求的得最大值． 【详解】令，则， 代入得， 由基本不等式：所以，可得， 当且仅当时取等号， 所以时，面积取得最大值． 故答案为： 8．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为 .    【答案】 【分析】根据图形中的相似关系先表示出，然后利用基本不等式求解出最小值. 【详解】如图1，易知，且，    所以，所以； 如图2，易知，且，    所以，所以， 所以, 又因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以最小值为， 故答案为：. 9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 【答案】 【分析】根据题目条件得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】设该小城的长宽分别为，，步里，步里， 则，即， 故周长为，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 10．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：．证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正数满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】（1）根据已知得，即可得结果； （2）根据已知得 ，应用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意，得； （2）由，则 ，当且仅当，即时，等号成立． 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 11．通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. (1)写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； (2)利用你写出的式子，求的最小值； (3)如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大， 【分析】（1）由题意得，当，，即可求解； （2）由（1），当时，，即可求解； （3）设小正方形的边长为，得到盒子的容积为则，利用不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，当时，若，可得， 即算术平均数与几何平均数的关系为，当且仅当时，等号成立. （2）解：由（1）中，当，可得， 可得时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （3）解：设小正方形的边长为，则盒子高为，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 12．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值 是多少？ 解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解； （2）将代入方程后化简计算即可得解； 【详解】（1）已知，则有； （2）由， 关于的方程可化为：， 即：， ，即，解得：； 13．迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣的问题. 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的迪卡尔积”，并记集合的元素个数为. (1)若，，求与； (2)若，，为素数，且对任意素数恒成立，求实数的取值范围，并写出当取到最值时应满足的条件及一组符合条件的集合，. （提示：当，且时，式子在处取得最小值.） 【答案】(1)， (2)，，，（，答案不唯一） 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）首先分析可得，或，，分两种情况讨论，分别求出的最小值，即可求出的取值范围，与取最值时的值，以及列出符合题意的，. 【详解】（1）因为，且， 所以， ； （2），，且为素数， ，或，， 当，时，， 当且仅当，即时取等号，所以等号不成立； 又为素数，，，， 当，时，， 当且仅当，即时取等号； 所以，当时，； 此时符合条件的一组集合可以是：，（答案不唯一）. 14．教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】(1) (2)最大值为， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解； （2）由，结合四阶基本不等式可得最值； （3）猜测，成立，验证不等式成立；结合推广公式证明结论成立. 【详解】（1）因为，所以由三阶基本不等式可得：， 当且仅当即时取等号， 因此的最小值为； （2）当时，由四阶基本不等式可得： ， 当且仅当即时取等号， 因此的最大值为； （3）大小关系为，， 证明如下： 由条件可知：时，， 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 当，时，由阶基本不等式，可知： 不等式左边 而，因此上式的不等号取不到等号， 于是， 综上，原不等式得证. 15．学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 【答案】(1) (2)，当且仅当且同号时等号成立 (3)当时，有最小值 【分析】（1）根据“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）根据“1”的代换，有，利用基本不等式求解判断； （3）令且，由（2）得到，求得，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得， 则， 当且仅当即时，. （2）由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立， 此时满足. （3）令且， 由，即， 则，解得， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值. 16．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. (1)若，求的最小值； (2)求的最大值； (3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)3 (2)9 (3) 【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可； （2）构造应用柯西不等式计算即可； （3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解； 【详解】（1）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以，即得. 当且仅当取最小值3； （2）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得，化简得， 当且仅当取最大值9； （3）因为， 所以，所以， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以m的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点. 题组四：基本不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2010高二·全国·竞赛）已知实数满足,则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重要不等式等价转化得，结合题设条件得到关于的一元二次不等式，解之即得. 【详解】由可得，即，则 整理得：， 解得． 故选：A. 2．（2009高二·全国·竞赛），则以下不等式中总成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用重要不等式及均值不等式分别验证各个选项，得出结果即可. 【详解】对于A，， 当且仅当时，，故A选项错误； 对于B ，， . 因为， 所以当且仅当时，，故B选项正确； 对于C，因为 ， 所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，故C选项错误； 对于D，由上面解析知： ， ，当且仅当时取等号， 因为不等号方向不同，所以取不到最小值，故D选项错误. 故选：B. 3．（2010高二·全国·竞赛）在直角中，是直角，斜边为，两直角边为､，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出的范围，即可求出的范围. 【详解】，当且仅当时等号成立， ∴， ∴. 故选：B. 4．（2009高二·全国·竞赛），则两数中（    ）. A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得，可得结论. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以至少有一个不小于2. 故选：C. 5．（2011高一·全国·竞赛）定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据题意和基本不等式得出：三数中至少有一个不小于2，可判断选项A；再利用反证法和不等式性质即可判断选项B、C；举例验证选项D. 【详解】因为a，b，c为正数， 所以由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立. 从而三数中至少有一个不小于2. 不妨设， 则，故选项A错误； 对于选项B：假设 则，，， 则，，， 即，；. 由可得：； 由可得：，两者矛盾， 所以假设错误，故选项B错误； 对于选项C：假设， ①若，，， 则，， 即（1）；（2）； （3）； 结合不等式的性质： 由（1）（2）得，即， 由（1）（3）得，两者矛盾； ②若，，， 则，，， 即（4）；（5）；（6）. 由（4）（5）得，即， 由（4）（6）得，两者矛盾． 综上所述，假设错误，即，故选项C错误； 若取， 则， 从而，故选项D正确. 故选：D． 6．（20-21高三上·北京·强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】，，， 所以， ， 当时可取等号. 因此所求代数式的最大值为1． 故选：A. 7．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等式可以得到的表达式，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】由得，由，为正实数，得， 所以，令， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号民，时等号成立. 所以的最大值为， 故选：D. 8．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）对于，的最大值为（    ） A． B． C． D．以上全错 【答案】B 【分析】不妨设，由重要不等式得，再根据得即可. 【详解】不妨设， 则 因为， 当且仅当取等号. 所以 . 当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 故选：B. 9．（16-17高三·北京·强基计划）已知a，b，c为正实数，则代数式的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法结合基本不等式可求最小值. 【详解】设题中代数式为M，令，则， ， ， 于是 ， 等号当时，也即时取得， 因此代数式的最小值为． 故选：A. 10．（17-18高三·北京·强基计划）设x，y，z是大于零的实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求代数式的最大值. 【详解】设题中代数式为M，则 ， 等号当 故选：A. 11．（20-21高三·北京·强基计划）已知非负实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用均值代换可求代数式的最大值. 【详解】设，则，且． 记所求代数式为M，则， 因此当时，M取得最大值． 故选：C 12．（20-21高三上·北京·强基计划）设实数a，b，c满足且，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较大小 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质或基本不等式可求，故可得正确的选项. 【详解】解法一  题中等式可以变形为， 而，所以只能有， 解得． 解法二  令， 则有且题中条件变为： ， 而， ， ， 故 ，当且仅当时等号成立， 故. 故选：B 13．（19-20高三·北京·强基计划）若正实数x，y，z，w满足和，则的最小值等于（    ） A． B． C．1 D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项. 【详解】根据题意，有， 等号当时取得，因此所求最小值为． 故选：D. 14．（2023高一上·山东滨州·竞赛多选题）下列说法中正确的有（    ） A．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是 B．若实数满足，则 C．已知，且，则的最小值为10 D．已知，则的最小值是 【答案】AB 【分析】利用根的分布与充要条件判断A，利用不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，举反例排除D，从而得解. 【详解】当一元二次方程有一个正根和一个负根时，设两根分别为，， 故，解得， 反之亦成立，故A正确； ，，，则， 故，故B正确； 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 因为， 当时，，故D错误 故选：AB. 15．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意，所求式子经过变形后，再用基本不等式即可求解. 【详解】因为 所以 当且仅当，且，即时等号成立. 所以 所以 故答案为： 16．（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 17．（2016高二·全国·竞赛）设，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】变形得，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，则，即， 则 ， 当且仅当时取等号，此时， 故答案为：. 18．（2015高二·全国·竞赛）设、、、，，则，当且仅当时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数的最小值为 . 【答案】25 【分析】根据题意整理函数解析式，并根据其定义域明确分母的取值范围，结合题目中的不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则，， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 19．（2011高一·全国·竞赛）若且，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式解决“积定和最小，和定积最大”问题，要注意满足等号成立的条件. 【详解】， 因，，当且仅当时取等号， 而当且仅当时取等号， 故， 当且仅当时取等号，即时，有最小值 故答案为：. 20．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）设正数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将1代换为，整理得，应用基本不等式即可求解. 【详解】由，得， ，当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值是. 故答案为： 21．（2022高三·浙江金华·竞赛）已知正数和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 将原方程配成，利用基本不等式可判断出何时取最大值，从而得到的取值范围. 【详解】注意到，下分情况讨论. ①当，即时，，则的最大值为1，符合题意. ②当，即时，则 所以，所以， 当且仅当时取等号，此时有最小值，无最大值，与题意矛盾. ③当，即时，则. 当，即时，，所以， 不妨设，则，即，故， 此时无最大值，与题意矛盾； 当，即时，，所以， 当且仅当时取等号，此时有最大值，符合题意； 当，即时，恒成立， 此时无最大值，不符题意. 综上所述，若存在最大值，. 故答案为：. 22．（2022高二·江苏苏州·竞赛）已知正实数a，b，c满足，且，则c的最大值为 . 【答案】 【分析】先由基本不等式求得，再由条件得，结合的范围，即可求出c的最大值. 【详解】由，则，可得，当且仅当时取等； 又由可得，由可得， 则，则c的最大值为. 故答案为：. 23．（2019高三·全国·竞赛）已知，，，，.若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由a，b，c为三边可构成三角形，得到，且成立，即，且成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性求解. 【详解】若a，b，c为三边可构成三角形，则，且成立， 即，且成立， 即成立，而， 令，则，令， 则，易知在上递减， 所以，所以， 又成立，而， 当且仅当时，等号成立，所以； 所以. 故答案为： 24．（2021高三·全国·竞赛）实数a､b满足，则的最大值是 . 【答案】 【详解】解析：不妨设，则： ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故答案为：. 25．（2020高三·浙江·竞赛）设，则 . 【答案】. 【详解】设，则， 所以. 设给定的正实数，， 令，解得，，所以. 则， 当且仅当 ，时等号均成立， 故的最大值为, 故答案为：. 26．（2020高三·江苏·竞赛）已知正实数，，满足，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】解析：易知恒等式，而 ， 当且仅当，时，等号成立． 故答案为：10. 27．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知，且，则最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后化简，结合基本不等式求得最小值. 【详解】由于，且， 所以， . 当且仅当时等号成立， 此时. 故答案为： 28．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式可得，可得，可得，即有，化简所求式子，运用对勾函数的单调性，可得所求范围． 【详解】解：，，， 可得，当且仅当时取等号； 可得， ， 可得， 即有， 则 ， 可令， 由在，递减，可得 ， 则的取值范围是， 故答案为：． 29．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据条件可得，利用“1”的变形，由均值不等式求解. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 30．（2016高三·江西·竞赛）设正数，满足恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将原问题转化为求解的最大值的问题，然后利用均值不等式求得其最值即可确定实数a的最小值. 【详解】由已知， ，当且仅当时等号成立， ，. ，. 【点睛】本题主要考查恒成立问题的处理方法，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 31．（2018高三·全国·竞赛）已知正数x、y、z满足，则的最小值为 ． 【答案】36 【分析】由于正数x、y、z满足，可得，再利用均值不等式即可得出． 【详解】正数x、y、z满足， ， 当且仅当，，，取等号． 故答案为36． 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，属于基础题． 32．（2007高三·全国·竞赛）设n为自然数，对于任意实数，恒有成立，则n的最小值是 . 【答案】3 【详解】令，题设不等式变为：， 一方面， . 所以当x=3时，不等式成立. 另一方面，当a=b=c>0时，题设不等式化为9a2≤3na2， 必有n≥3.故n最小值为3. 33．（2017高三·浙江宁波·竞赛）已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据立方和公式与基本不等式求解即可. 【详解】因为. 又，故，即. 又，故，即，，当且仅当时取等号. 所以 故答案为：． 34．（2017高二上·安徽阜阳·竞赛）设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为 ． 【答案】10 【详解】∵，∴取最小值为1，取最大值为2． 所以最大值， 又∵，即最小值，所以，故答案为. 35．（2015·浙江·一模）实数满足，设，则 ． 【答案】/1.6 【分析】由题可得，进而可得，可得，即求. 【详解】由，得， 又， 所以， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 36．（23-24高三下·全国·强基计划）已知（），则的最大值、最小值分别为 ． 【答案】无最大值，最小值为2 【分析】当时，可得无最大值；就分成两种情况讨论，① 当a，b，c中没有0时，推理可得；② 当a，b，c中至多有一个0时，不妨设，可得，从而可得的最小值为2. 【详解】因时，易得， 故（）无最大值． ①若a，b，c中没有0，则由均值定理，． 同理可得，．故有， 当且仅当时，等号成立，而a，b，c中没有0时，该方程组无实数解，故； ②若a，b，c中有0，则至多有一个0，不妨设，此时所求， 当且仅当时，取得最小值2． 综上，无最大值，当，时，取得最小值2． 故答案为：无最大值，最小值为2. 37．（2024高二下·海南·竞赛）若实数满足，求的最大值. 【答案】3 【分析】 设，即可转化为实数满足，求的最大值，借助不等式可得，，即有，计算即可得的最大值，即可得解. 【详解】设，该题变为： 已知实数满足，求的最大值. 则（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， 相加得（当且仅当时取等号）， 再由，可得， 当且仅当或时取等号. 故的最大值为3. 38．（2024高三上·北京·竞赛）为正实数，满足，求的最大值 【答案】 【分析】设，，可得，利用待定系数法，结合基不等式求解，即设待定常系数，使得，求出，，再利用条件，即可求得答案. 【详解】由题意知为正实数，设，，则， 设待定常系数，使得 ， 当且仅当时等号成立； 因此需要，解得，， 因此， 等号在时取得， 故的最大值为. 39．（2008高二·全国·竞赛）为正实数，求的最小值． 【答案】 【分析】令，则有，根据分式的分离运算，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】令，则有， 由此可得，， 故 ， 等号成立时 即 解得：， 即当正实数满足时，原式取得最小值． 40．（2008高二·全国·竞赛）已知x，y都在内且，求的最小值． 【答案】 【分析】根据代入解析式，再进行分离常数化简，利用基本不等式求得最值. 【详解】解：由，故 而， 故当，即时，取得最小值，此时原函数取得最小值． 41．（2009高二·全国·竞赛）已知：三角形的边长分别等于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由三边关系得到，得到，得到，设，从而得到，变形后利用基本不等式得到. 【详解】证明：由三角形三边关系得， 故， 则， ， ， ． 设， 则，， ， 当且仅当时等号成立． 42．（2022高一下·江苏南京·竞赛）已知对于任意实数、，都有，特别地，当、都为正数时，有. (1)已知，求最小值为______. (2)已知，求最大值为______. (3)都是正数，，求最小值. 【答案】(1)7 (2)3 (3)11 【分析】（1）利用配凑法，再结合基本不等式即可求解； （2）利用换元代入法，再结合基本不等式即可求解； （3）利用换元法，再结合基本不等式即可求解； 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为7； （2）因为，则， 则，当且仅当时取等号， 故最大值为3. （3）设，则， 化简得：， 关于的一元二次方程至少有一个正根， ∴且解得：， 当时，，符合题意， 故最小值为11. 43．（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）（1）已知正数满足，求的最小值. （2）已知正数满足，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）因为，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为，可得， 令，且，可得，解得， 所以当取最小值为. （2）因为，且，可得，则，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 44．（2022高三·浙江丽水·竞赛）设实数，且，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】先根据可设，将变形为，再利用基本不等式即可求证. 【详解】证明：由，可得， 不妨设，则， 令，， 则 ① ， 所以①式 ， 当，时取等号，即. 故. 45．（2020高三·浙江·竞赛）设非负实数，，，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证 设， 问题等价于证明：， 当时，不等式显然成立； 故即证：，其中. 而. 设，探究与在的大小， 即比较与在的大小， . 注意 ， 所以命题得证. 46．（2019高三·新疆·竞赛）给定正实数，设.试求的最小值与最大值. 【答案】最小值为1，最大值为 【分析】（1）利用综合法，结合基本不等式，证得，由此求得的最小值. （2）首先证得对所有均有，其中，由此证得，也即求得的最大值. 【详解】（1）因为且，所以有 ， 从而有， 并且等号成立当且仅当. 于是当时，取得最小值1. （2）因为且，所以.其中. 注意到，于是有. 从而， 即. 所以，对所有均有，其中. 从而有. 于是， 并且等号成立当且仅当或. 所以的最大值为. 综上所述，的最小值和最大值分别为1和. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查综合法求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 47．（2012高三·四川·竞赛）已知，满足 ①求的最小值； ②当S取最小值时，求C的最大值. 【答案】①2；② 【详解】①因为，等号成立的条件是，所以，当时，S可取最小值2. ②当S取最小值时，，从而，； 令则从而，（负值舍去）. 由在单减，因此，当时，c有最大值 48．（2017高三·全国·竞赛）设为非负实数,满足.求的最小值和最大值． 【答案】最小值为1，最大值为 【分析】由柯西不等式求出最小值，再利用基本不等式求其最大值. 【详解】由柯西不等式得 =1 当时，上式等号成立，故欲求的最小值为1. 又 当时，上式等号成立，故欲求的最大值为． 【点睛】本题主要考查基本不等式和柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 49．（2016高二下·山东枣庄·竞赛）设为三角形中的三边长，且，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】构造三元函数，将其整理变形为，结合三角形的特征和均值不等式的结论即可证得最终结果. 【详解】试题解析： 记，则 ， 又为的三边长， 所以，，， 所以. 另一方面，， 由于，所以，又， 所以， 不妨设，且为的三边长，所以， 令，则， 所以， 从而， 当且仅当时取等号. 50．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，，判断是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值. 【答案】无最大值，最小值为4 【分析】直接将目标展开，消掉即得最小值和取等条件，关于的函数永远有根，则关于的一元二次方程单增，故没有最大值. 【详解】，， =，当且仅当“”时取等； ，即，此时，即为任意正值，都有解，即都有这样的. 看成关于的二次单增函数，所以无最大值. 所以无最大值，最小值为4. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一基本不等式易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校基本不等式易错题精选 题组二：名校基本不等式培优压轴试题精选 题组三：名校基本不等式培优新定义试题精选 题组四：基本不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校基本不等式易错题精选 1．已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 2．已知，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 4．已知正实数，满足，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．下列结论正确的是（   ） A．若，， 且， 则 ab的最大值为 B．若正实数a， b满足， 则的最小值为20 C．若a， b为正实数，且，则 的最小值为6 D．若，， 则 的最小值为3 6．（多选题）关于的方程的两实根为，，且，，则（   ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 7．（多选题）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 8．（多选题）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为8 D．的最小值为 10．（多选题）已知，则下列结论正确的有（ ） A．的最大值 B．的最小值为1 C．的最小值 D．+的最小值为 11．（多选题）若，，且，下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 12．（多选题）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 13．已知，且，则的最小值为 . 14．对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为 . 15．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 16．若，则的最小值为 . 17．已知，，，且，证明： (1)； (2). 18．问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 题组二：名校基本不等式培优压轴试题精选 1．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 4．（多选题）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 5．设正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 8．已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，则的最大值是（    ） A．15 B．18 C．20 D．24 11．记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当a，b，时，的最小值为8 14．（多选题）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（   ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 15．（多选题）已知实数，满足，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 16．（多选题）若实数满足，则（   ） A． B． C． D． 17．（多选题）命题，，使得不等式成立，下列不是命题成立的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（多选题）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 21．设是正实数，则的最大值为 . 22．设实数，，，满足及，则的最小值为 . 23．已知，，且，若的最小值为3，则 . 24．设，则的最大值为 . 25．设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 26．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 27．已知，且． (1)求证：； (2)求的最大值． 题组三：名校基本不等式新定义试题精选 1．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（    ）    A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 4．（多选题）设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是 6．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 7．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202~1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中.具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是.现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，则该三角形面积的最大值为 cm2. 8．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为 .    9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 10．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：．证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正数满足，求的最小值． 11．通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. (1)写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； (2)利用你写出的式子，求的最小值； (3)如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 12．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值 是多少？ 解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 13．迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣的问题. 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的迪卡尔积”，并记集合的元素个数为. (1)若，，求与； (2)若，，为素数，且对任意素数恒成立，求实数的取值范围，并写出当取到最值时应满足的条件及一组符合条件的集合，. （提示：当，且时，式子在处取得最小值.） 14．教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 15．学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 16．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. (1)若，求的最小值； (2)求的最大值； (3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 题组四：基本不等式全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2010高二·全国·竞赛）已知实数满足,则（    ）． A． B． C． D． 2．（2009高二·全国·竞赛），则以下不等式中总成立的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2010高二·全国·竞赛）在直角中，是直角，斜边为，两直角边为､，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2009高二·全国·竞赛），则两数中（    ）. A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 5．（2011高一·全国·竞赛）定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 6．（20-21高三上·北京·强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 7．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）对于，的最大值为（    ） A． B． C． D．以上全错 9．（16-17高三·北京·强基计划）已知a，b，c为正实数，则代数式的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 10．（17-18高三·北京·强基计划）设x，y，z是大于零的实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（20-21高三·北京·强基计划）已知非负实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（20-21高三上·北京·强基计划）设实数a，b，c满足且，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较大小 13．（19-20高三·北京·强基计划）若正实数x，y，z，w满足和，则的最小值等于（    ） A． B． C．1 D．前三个答案都不对 14．（2023高一上·山东滨州·竞赛多选题）下列说法中正确的有（    ） A．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是 B．若实数满足，则 C．已知，且，则的最小值为10 D．已知，则的最小值是 15．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知，则的最大值为 . 16．（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 17．（2016高二·全国·竞赛）设，则的最小值为 . 18．（2015高二·全国·竞赛）设、、、，，则，当且仅当时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数的最小值为 . 19．（2011高一·全国·竞赛）若且，那么的最小值为 ． 20．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）设正数满足，则的最小值是 . 21．（2022高三·浙江金华·竞赛）已知正数和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是 . 22．（2022高二·江苏苏州·竞赛）已知正实数a，b，c满足，且，则c的最大值为 . 23．（2019高三·全国·竞赛）已知，，，，.若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值范围是 . 24．（2021高三·全国·竞赛）实数a､b满足，则的最大值是 . 25．（2020高三·浙江·竞赛）设，则 . 26．（2020高三·江苏·竞赛）已知正实数，，满足，则的最小值为 ． 27．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知，且，则最小值为 ． 28．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）若，则的取值范围是 ． 29．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 30．（2016高三·江西·竞赛）设正数，满足恒成立，则的最小值是 . 31．（2018高三·全国·竞赛）已知正数x、y、z满足，则的最小值为 ． 32．（2007高三·全国·竞赛）设n为自然数，对于任意实数，恒有成立，则n的最小值是 . 33．（2017高三·浙江宁波·竞赛）已知，则的取值范围为 ． 34．（2017高二上·安徽阜阳·竞赛）设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为 ． 35．（2015·浙江·一模）实数满足，设，则 ． 36．（23-24高三下·全国·强基计划）已知（），则的最大值、最小值分别为 ． 37．（2024高二下·海南·竞赛）若实数满足，求的最大值. 38．（2024高三上·北京·竞赛）为正实数，满足，求的最大值 39．（2008高二·全国·竞赛）为正实数，求的最小值． 40．（2008高二·全国·竞赛）已知x，y都在内且，求的最小值． 41．（2009高二·全国·竞赛）已知：三角形的边长分别等于．求证：． 42．（2022高一下·江苏南京·竞赛）已知对于任意实数、，都有，特别地，当、都为正数时，有. (1)已知，求最小值为______. (2)已知，求最大值为______. (3)都是正数，，求最小值. 43．（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）（1）已知正数满足，求的最小值. （2）已知正数满足，求的最小值. 44．（2022高三·浙江丽水·竞赛）设实数，且，求证：. 45．（2020高三·浙江·竞赛）设非负实数，，，证明：. 46．（2019高三·新疆·竞赛）给定正实数，设.试求的最小值与最大值. 47．（2012高三·四川·竞赛）已知，满足 ①求的最小值； ②当S取最小值时，求C的最大值. 48．（2017高三·全国·竞赛）设为非负实数,满足.求的最小值和最大值． 49．（2016高二下·山东枣庄·竞赛）设为三角形中的三边长，且，求证：. 50．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，，判断是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$