吉林长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试高二数学试题

**基本信息** 以双碳战略、端午文化、射击训练等真实情境为载体，通过函数性质、概率统计、导数应用等知识模块，构建基础巩固与创新应用的能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、命题否定、幂函数性质|第5题以环保企业调研考回归分析，体现数据观念| |多选题|3/18|相关系数、函数零点、极值点|第11题结合导数考极值点与切线，深化逻辑推理| |填空题|3/15|正态分布、函数单调性|第14题以函数恒成立考参数范围，突出数学抽象| |解答题|5/77|导数应用、概率分布、独立性检验|17题端午文化调查融合独立性检验与分布列，19题射击训练构建概率递推模型，体现数学建模与文化传承|

长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试 高二年级 数学学科 出题人 ：赵天 审题人：王先师 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题） 1、 单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 3.已知，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4．已知幂函数为偶函数，且，，，则(　 　) A． B． C． D． 5. 某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示： 若关于的经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 由数据可判断与负相关 B. 经验回归方程相应的直线经过点 C. 当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D. 当售价为元/件时，样本点的残差为 6．甲、乙、丙、丁等8人分成A，B两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 7. 已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -3 8. 已知且，指数函数，对数函数，则下列结论错误的是（ ） A．若的图象过点，则 B．函数的图象过定点 C．若，则 D．当时，对任意，，都有 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。） 9. 以下说法正确的是（   ） A．若，两组数据的样本线性相关系数分别为，，则A组数据比组数据的相关性较强 B．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C．决定系数越小，模型的拟合效果越好 D．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 10. 已知，，，则（     ） A． B． C． D． 11. 已知，下列正确的是（   ） A．当时，的值域为 B．当时，有2个零点 C．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 D．过点可作的两条切线，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若，则　　　 　. 13．已知随机变量服从正态分布，若，则________． 14．已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知：，：. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16.（15分）已知函数（ 且 ）是偶函数，. （1）求实数的值； （2）判断的奇偶性，并证明该结论； （3）若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 17.（15分)2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五.端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节.为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表： 年龄 不了解 了解 合计 30岁以下 25 15 40 50岁以上 20 40 60 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？ （2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研，答对一题得5分，答错一题得0分. ①已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，甲从中随机抽出3道试题进行回答，求甲答对试题数的分布列及数学期望； ②已知乙答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否互不影响，计算机随机给乙3道题，求乙答题得分的数学期望与方差. 附： ； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18.（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 19.（17分）男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率.运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景A与场景B进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击.已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为.训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击. （1）求小明在前次射击得到分的概率； （2）若小明在前次射击得到分，求这分均在场景B下获得的概率； （3）求小明第次在场景A下射击的概率. 长春外国语学校2025-2026学年第一学期第三学程考试高一年级 数学（参考答案） 1、 单项选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D C B A D 2、 多项选择题 9 10 11 BD ABC ACD 三、填空： 12. m=2或5; 13. 13．已知随机变量服从正态分布，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知随机变量服从正态分布， 可知均值，方差，则标准差， 正态分布的概率密度曲线关于直线对称. 根据正态分布曲线的对称性，均值两侧对称区间的概率是相等的， 即. 正态分布中，随机变量大于等于均值的概率为，即， ， 则. 14． 【详解】因为，且，都有， 所以，即， 所以在上单调递增， 又， 所以对所有恒成立， 所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 四．解答题 15．（13分）已知：，：. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案； （2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）∵：是真命题，∴， ∴，解得， ∴的取值范围是.......6分 （2）由（1）知：：，：即 因为是的必要不充分条件，所以，解得：. 综上所述的取值范围是......13分 16.（15分）已知函数（ 且 ）是偶函数，. （1）求实数的值； （2）判断的奇偶性，并证明该结论； （3）若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】（1）1 (2)奇函数，证明过程见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2） 利用定义去判断的奇偶性； （3） 利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【小问1详解】 因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以；.....4分 【小问2详解】 由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数，....8分 【小问3详解】 因为 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即，....10分 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是.....15分 17.(1)零假设为H。:受调居民中对"端午节"民俗的了解程度不存在年龄差异，.....1分 依据小概率值的独立性检验，推断H。不成立，即认为受调居民中对"端午节"民 俗的了解程度存在年龄差异，此推断犯错误的概率不超过0.01. .......4分 (2) ①由题意得的可能取值为0,1,2,3, ， ，，，........8分 用表格表示的分布列为 0 1 2 3 ........10分 ②设乙答对题的个数为，由题意得，，，.........13分 由题意得，则 ，.........15分 　18．(1) (2)两个零点 (3)3 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为．............4分 （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点．............10分 （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为．............17分 19.(1)设事件"小明在前3次射击中得到1分"， 由题意得........4分 （2）设事件"小明在前3次射击中得到2分"， "这2分均在场景下获得"， 由题意得， .........10分 (3)设"小明第次在场景下射击"， 由题意得,且. ，， 由全概率公式得， 即.........13分 ，且 ......15分 是以为首项、为公比的等比数列，所以，，......17分 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $