吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年下学期高二年级期末考试数学学科试卷 长春吉大附中实验学校 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用0.5铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ABC 10．【答案】AD 11．【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】90 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）设点到轴的距离为，则点到轴的距离为． 因为，所以． 所以． （2）设，则弧长，所以．则扇形面积为． 又，所以阴影部分的面积． 16．【解析】（1），，求导可得，， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由（1）可知，，，令，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以的极小值为，无极大值． 17．【解析】（1）由条件可知：，，列出下表 将以上数据代入公式，可得，，所以， 当时，（万元），故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元． （2）设表示3件产品中不合格产品的件数，则， 故， ， ， 又函数的定义域为，所以函数的图象关于点对称． 18．【解析】（1）由题意，定义域为，， 所以在上单调递增． （2）定义域为，， 设 ①若，则，，在上单调递增． ②若，则，，，在上单调递增． 又，有唯一零点，符合题意； ③若，令，， 当，，，单调递增， 当，，，单调递减， 当，，，单调递增． 又，，，， 设，，， 由（1）知，所以在单调递增， ， 即，由零点存在定理可知，使得，不合题意． 综上，．（或分离参数） （3）因为，，且，所以，， 令，则，，，，所以， 要证，只需证，即证， 由（1）知单调递增，所以当时，，所以． 19．【解析】（1）甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同，则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为． （2）（i）设表示在甲已获得第种类型的卡片后，获得第种类型卡片需要购买的玩具数，则． 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为， 依此类推，在甲已获得第种类型的卡片后，每次试验中获得第种类型卡片的概率为， 则，，，均服从几何分布， 所以． （ii）证明：． 设，则． 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，得，当且仅当时，等号成立． 令，得，则．① 设，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得，当且仅当时，等号成立． 令，得，则．② 由①②得， 所以，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级 期末考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用0.5铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．已知全集，，则 A． B． C． D． 3．“”是“函数是奇函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数，则 A．是奇函数 B．是周期函数 C．的最大值为 D． 5．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为 A．60 B．80 C．120 D．160 6．已知函数图象关于直线对称，则 A． B． C． D． 7．小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望 A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 8．函数，若，，，则的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数，满足，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 10．已知函数，则 A．是周期为的函数 B．与函数是同一函数 C．是的一条对称轴 D．在区间上的取值范围是 11．已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是 A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某超市有两个人工收银区，和一个自助收银区，通过统计，顾客在，，区进行付款的概率分别为，，，在，，区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，，，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________． 13．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________． 14．在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． （1）设，，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值； （2）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积． 16．（15分）已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 17．（15分）2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求．某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 （1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； （2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检．若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称． 参考公式：， 18．（17分）已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若有唯一零点，求的取值范围； （3）若，，且，证明：． 19．（17分）某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率； （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，，，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $