湖南衡阳市衡南县2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题

衡南县高一期末考试试卷 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B B B A B BD ABD ACD 12.-4 B号 14.(2,2) 15.【详解】(1)根据频率分布直方图可知(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1→x =0.03; (2)平均成绩为x=(55×0.005+65×0.01+75×0.015+85×0.03+95×0.04) ×10=84; (3)由题意得，[50,60)，[70,80)两组人数比例为1：3，所以[50,60)组应抽取1人， 记为A,在[70,80)，组应抽取3人，记为甲，乙，丙 所以P(M)=(=3=1 n(=6=2 16.【详解】1)由题意45=+-2，又易知5=2a6sinC, 48 2absinC =a+b2-c2, 根据余弦定理可得inC=。心+-cC:mC,可得aC=1: 2ab 又ce(0,）,所以c=开. 41 (2)由余弦定理心+b- 2ab =cosC 2, 又c=2,可得a2+b2=2ab+2, 由基本不等式可得a2+b2=2ab+2≥2ab,解得ab≤2+2； 由s=simc=w≤(2+=}+号 故5的最大值是宁+号，当且仅当a=b:V2+万时，等号成立 17.【详解】(1)证明：设AB,∩AB=0,连接C0, 因为四边形AA1B,B为菱形，所以AB⊥AB,,AO=OB, 器高一数学试卷参考答案第1页（共5页）器 又因为△ABC为等边三角形，所以AB L CO, 因为AB,∩C0=O,AB1,C0C平面ABC,所以AB⊥平面AB,C. (2)解法1：设点C到平面AAB,B的距离为d, 在△A0C中，A0=0C=3,AC=2, 可得点0到4C的距离为√A02-( =2, 由(1)知，AB⊥平面ABC, 所以e=m+业x=2w=2x分×1x子x2×2=2 3 又因为5=7×5×2=5，所以4d=2距-26 3 3 解法2：由(1)知，AB⊥平面ABC,ABC平面A4B,B, 所以平面AB,C⊥平面AAB,B,平面AB,C∩平面AAB,B=AB,, 过C作CE⊥AB1,垂足为E,所以CE⊥平面AAB,B, 则CE即为点C到平面AA,B,B的距离， 在△A0C中，A0=0C=√3，AC=2, 可得点O到AC的距离为 A0-(=2, 所以2x2x万=3×万×CE,则CE=25 3 所以点G到平百M8公的距离为2： 18.【详解】(1)设事件A1=“第一轮比赛中甲胜出”，事件A2=“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件B,=“第一轮比赛中乙胜出”，事件B2=“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得4，，B,品，相互独立，且PA4)=子，P(A)=P,PR)=号， P(B2)=9· 记事件C=“乙恰好有一轮胜出”，则C=B,B2+BB2,又BB2,BB2互斥， 所以，当9=吾时，P(C)=P(R,A+BR,)=PBA)+P(BR,) PR)P(R)+PRPR)=子xG+号×名=g 因此，当q=名时，乙恰好有一轮胜出的概率为及 6 (2)①事件D=“甲，乙各有一轮胜出”，事件E=“甲，乙两轮都胜出”， P(D)P(A:A2 +A:A2)P(B:B2 BB2)= 器高一数学试卷参考答案第2页（共5页）器 [1-p)+4房(1-g)+3=0, P(E)=P(AA,B,B,)=4×39=25, 6 1 5 则 ,解得p=子，9= 12 P9= 25 ②事件M=“甲两轮都胜出”，事件N=“乙两轮都胜出” P(MUN)=P(M)+P(N)-P(MN)=223 300 I9.【详解】(1)由题意可知四棱锥S-ABCD在各个顶点处的角的和∠ASB+∠BSC+ ∠CSD+·+SDA, 即等于四个侧面上的三角形和底面四边形的内角和，即4π+2π=6π， 凌锥S-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和为：5-)×6π (2)①连接BD,由于底面ABCD是边长为2的菱形，故BD,AC交于点O, AC=2,则△ABC为正三角形，则0B=√5， S0⊥底面ABCD,OA,OBC底面ABCD,故S0⊥OA,S0⊥OB, 则SA=√S02+0=√3+7，SB=√S02+0B=√5+7， 则cos∠ASB=SM+B-AB=8+27-4 2SA·SB 2W3+万.√5+万 2+√7 2·(2+√7) 2， 由于∠ASB为三角形内角，故∠ASB= 4 同理求得LBSC=∠CSD=∠DS4=平， 故该四酸锥在5处的离敬曲率4，=1一元×4×子=行 2； ②由题意可知四棱锥S-ABCD的是个侧面三角形全等， 即得∠ASB=∠BSC=∠CSD=∠DSA, 四棱锥在5处的离散曲率◆、=分，则兮=1-2云×4×乙45R乙ASB= 3, 设S0=h,则SM=√1+，SB=√3+，而AB=2, 器高一数学试卷参考答案第3页（共5页）器 故cos∠4SB=SM+B-AB-4+2R-4 1 2SA·SB 2个+·√3+ 解得h= 2+13 3 作CE⊥AB于E,则E为AB中点，结合题意知 S △ABC为正三角形，故CE=3, 作OF⊥AB于F,则OF∥CE, 且0F=cE= 2 则SF= 2+13, 17+4/13 3 4 12 连接SF,由于SO⊥底面ABCD,ABC底面ABCD,故SO⊥AB, OF∩SF=F,OF,SFC平面S0F, 故AB⊥平面SOF, ABC平面SAB,故平面SAB⊥平面SOF,平面SAB∩平面SOF=SF, 作OG⊥SF于G,则OG⊥平面SAB, 则∠OSG即A+B+C=π为直线OS与平面SAB所成角， 则sin∠OSF= OF 2 =3 3 =-2 SF 17+413 W17+4132+√13 3 12 器高一数学试卷参考答案第4页（共5页）器衡南县高一期末考试试卷 数学 时量：120分钟总分：150分命题人：谢红日 注意事项：请考生把答案写在答题卡上。答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。 一、单选题 1.复数(3-2)(1-)的虚部是 A.5 B.-5 C.5i D.-5i 2.已知集合A={x∈R1x<5-2},B={1,2,3,4,则(CRA)∩B等于 A.{1,2,3,4 B.{2,3,4 C.{3,4 D.{4 3.函数f八x)=x+1+l0g2x的零点所在的区间为 A0,4) B() C.(3) D.(1,2) 4.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是 A.y=x2-x B.y =Ig(x2+1) C.y=3-1 D.y 5.已知函数)=r+acr,且)=19-)，则函数8()=sins+cax的图 象的一条对称轴可以为 Ax=君 B.x=5 C.x= D.x=T 6 6 6.已知向量a,6满足a=23,6在d上的投影向量为3d,则a.6 A.1235 B.6/3 C.12 D.6 7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和 5。体积分别为，和。若=2，则 V A.5 B.22 C.10 D.510 4 8.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体，剩 余部分为一个八面体，若该八面体可以在一个球形容器内任意转动，则该球形容器表面 积的最小值为 A.64T B.48π C.36m D.24m 高一数学试卷第1页（共4页） 署田全任 2-。2- 二、多选题 9.已知e是自然对数的底数，e≈2.71828…，函数f(x)=a(上)1+6的图象经过原点， 且无限接近直线y=e又不与该直线相交，则 A.a =e B.f(x)的值域为[0，e) C.f(x)在区间(0，+∞)上单调递减 D.f4)=f2n2） 10. 四名同学A,B,C,D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名 同学的如下统计结果，则可能出现点数6的是 A.平均数为2，中位数为1 B.中位数为3，众数为2 C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，极差为4 11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，已知M,N,P分别是棱C,D1,AA1,BC 的中点，点Q满足Cd=入CC,A∈[0,1]，下列说法正确的是 A.不存在入使得QA⊥QB, D M B.若Q,M,N,P四点共面，则X=1 4 B C.若A=号，点F在侧面B,CC内，且AF∥平面APQ, N D C 则点F的轨迹长度为 B 3 1 D.若入=2，由平面MNQ分割该正方体所成的两个空间几何体D,和， 某球能够 被整体放入2或2，则该球的表面积最大值为(12-63)π 三、填空题 12.若命题“Hx≤2，x2-4x>m”是假命题，则实数m的最小值是 13.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所想的数 字，把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5，}，若1a-b1≤1，就称甲乙“心 有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,sin2A=sin2B+sin2C +sinBsinC,若b+入c存在最大值，则正数入的取值范围是 四、解答题 15.衡南某学校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩 统计，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5 组，制成如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求x; 高一数学试卷第2页（共4页) 紧⑧全任 2-。2-2一 (2)根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩； 频率/组距 0.040 18. (3)用分层抽样的方法在[50,60)，[70,80)这两组 学生内抽取4人，再从这4人中选2人进行问卷 调查，求所选的两人恰好都在[70,80)的概率 0.015 0.010 0.005 05060708090100成绩/分 16.已知在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记其面积为S,则有4S=a2 +b2-c2 (1)求C; (2)若c=√2，求S的最大值 19. 17.如图，三棱柱ABC-A,B,C,的所有棱长均为2，△A,BC为等边三角形 (1)求证：AB⊥平面AB,C; C (2)求点C到平面AA,B,B的距离； B 高一数学试卷第3页（共4页） 紧田全任 0-22- 18.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”。竞赛共分两 轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概 率分别为？，号：在第二轮此赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，？假设甲，乙 两人在每轮比赛中是否胜出互不影响， ()若？=。，求乙恰好有一轮胜出的概率 (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为0，甲，乙两轮都胜出的概率为名 ①求p,q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率 19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体厂的一个顶点，定义多面体厂 在点P处的离散曲率为，=1-2分（∠Q,PQ,+∠0，PQ,++∠QP0:+∠Q.PQ,), 其中Q.(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体T的所有与点P相邻的顶点，且平面Q,PQ2, 平面Q2PQ3,…,平面Qk-PQk和平面QPQ1为多面体T的所有以P为公共点的面 (1)求四棱锥S-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，现已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且AC=2,顶 点S在底面的射影O为AC的中点. ①若OS=√2+7，求该四棱锥在S处的离散曲率 中s； ②考该四校锥在S处的离散曲率中，-号，求直线05 与平面SAB所成角的正弦值， D 高一数学试卷第4页（共4页） 蠡国全任 ----1----1--