精品解析：湖南省衡阳市衡南县2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

衡南县高一期末考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 命题人：陈华 注意事项：请考生把答案写在答题卡上.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 2. 已知是虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算即可. 【详解】， 故选：C. 3. 函数（且）的图象所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】令，得，此时，故定点坐标为. 故选：A 4. 如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 5. ，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意可得，，， 则在上的投影向量是. 故选：B 6. 著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域,排除两个选项，再由函数值的正负排除一个，从而得正确选项． 【详解】由得，即函数定义域是，排除AB， 时，，，，时，，，，因此排除C， 故选：D． 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数图象的对称性得，再利用诱导公式和二倍角的正弦公式及同角公式求解. 【详解】由，，得，且， 则，， 所以. 故选：C 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论. 【详解】因为，所以，可得； 则，即， 又，即， 易知指数函数单调递减，可得， 又幂函数单调递增，可知， 即可得； 因此可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性，限定出各数的取值范围，再综合利用指数函数、幂函数单调性可得结论. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若集合，，且，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】由集合中元素的互异性以及交集的结果即可列式求解. 【详解】若集合，， 则由集合中元素的互异性可知，， 即， 又， 则或或或，即， 所以的值可以是，对比选项可知只有AB正确. 故选：AB. 10. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则 C. 若中C为钝角，则 D. 若，，，则解的个数为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，由正弦定理可得，然后由可判断选项正误. 【详解】对于A，， 则，因A，B为三角形内角，则， 从而，则为等腰三角形，故A正确； 对于B，，由余弦定理， ，故B正确； 对于C，因C为钝角，则. 则，因正弦函数在上递增， 则，故C错误； 对于D，由正弦定理， 因，且，则， 使，即解的个数为2，故D正确. 故选：ABD 11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. 鳖臑体积的最大值为2 C. 点到面的距离是 D. 鳖臑内切球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据外接球体积得到外接球半径，找到球心位置，设，，利用基本不等式得到体积的最值及判断AB，利用等体积法判断CD. 【详解】选项AB：设鳖臑外接球半径为， 由题意可得，解得， 因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等， 所以点是外接球的球心，， 因为平面，，， 所以， 设，，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确； 选项C：设点到面的距离为， 因为平面，所以，， 所以，，解得， 即点到面的距离为，C说法正确； 选项D：因为， 所以，，，， 设鳖臑内切球的半径为，则， 即，解得，D说法正确； 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在三角形中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的性质及向量的数量积公式进行计算即可. 【详解】， ， ， 因此. 故答案为：. 13. 底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】设该圆柱的高为， 则该圆柱的侧面积，表面积， 由题意可得，即，解得， 即该圆柱的高为， 故答案为： 14. 已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】假设出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得，从而，同理可得，由此可得，，从而讨论可得，于是可以得到，∈{1，2}，分类讨论即可得出答案. 【详解】（，1，2，3，4）等于在、、、和中k所出现的次数， 则， 若在“、、、、”中出现次数超过0次， 不妨设出现1次，则. 设，则在“、、”这3个数中出现4次，矛盾， 同理在“、、、、”中出现过2、3、4次也不可能， 即不能出现，所以. 同理，若出现次数超过0次，不妨设出现1次， 即，设，则在“、”这2个数中出现3次，矛盾， 故不可能出现，所以. 因为，， 以在“、、、，”中至少出现了2次， 所以， 若或4，即或出现了1次，则或不为0，矛盾， 所以，，， 所以，，所以“、、、和”仅有下列四种可能： ①、、、和， ②、、、和， ③、、、和， ④、、、和， 其中：①中，出现2次与矛盾，不可能； ②满足题意；③出现2次与矛盾； ④中，出现3次与矛盾； 故仅有“、、、、”满足题意， 故. 故答案为：5 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． （1）女生被抽到是必然事件，求的取值范围； （2）女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据必然事件的概念和已知条件即可求出的取值范围. （2）根据随机事件的概念和已知条件即可求出的取值范围. 【小问1详解】 必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件. 已知班级里有20个男生，18个女生，总人数为人. 要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数要足够多，使得在抽取个人时，不可能只抽到男生. 因为男生有20人，所以当时，就不可能只抽到男生，必然会抽到女生. 所以可知的范围是. 【小问2详解】 随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件. 要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数要满足： 抽取的人数至少为1人，因为如果，则不存在抽取的情况; 抽取的人数最多为37人，因为如果，那么所有人都会被抽到， 此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件. 所以的取值范围是. 16. 某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； （3）试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】（1）， （2） （3）得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学的成绩未进入到区间范围. 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图，各组的频率之和为1，求出m，利用平均数的定义求出； （2）先求出90名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，利用百分位的定义求解； （3）先利用方差公式求出方差，再判断即可. 【小问1详解】 由频率直方图总面积为1，可得： ， 解得， 根据频率分布直方图，各组中间值为：，对应频率为： ，所以： . 【小问2详解】 因为， 所以这90名学生的最低分数为该次校内测试分数的分位数. 又， 设这90名学生的最低分数为，所以， 所以分 【小问3详解】 所以， 所以，. 所以得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学成绩未进入区间范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求与面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案； （2）利用等体积法求出到面的距离，进而得到与面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，连接， 因为为正三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 设，，， 所以在中，， 由（1）得平面， 又因为，所以平面， 又因为平面， 所以， 所以，， 设到面的距离为，因为， 所以， 所以， 设与面所成角为， 则， 所以与面所成角的正弦值为. 18. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 【答案】（1）该人工圆形湖泊的直径为 （2）四边形周长的取值范围为（米） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）在中，利用余弦定理，结合基本不等式求得的范围，求得四边形的取值范围. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 即，故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R，故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． 【小问2详解】 因为A，B，C，D四点共圆，，所以， 在，由余弦定理可得，， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，又，又，， 所以四边形周长的取值范围为（米）． 19. 已知函数，为常数. （1）证明：的图象关于直线对称. （2）设在上有两个零点，. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1） 因为 ， 因为， 所以的图象关于直线对称. （2）（ⅰ）； （ⅱ）令，，则，为关于的方程的两根， 所以，， 所以， 所以，即， 因为， 所以，所以， 由于，，所以， 则，即， 又在上单调递减，所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用平方关系将函数变形为，再计算即可证明； （2）（ⅰ）令则，问题转化为关于的方程在上有两个不相等实数根，即可得到，从而求出参数的取值范围；（ⅱ）令，，根据韦达定理得到，将两边平方可得，再结合函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）令，因为，所以，则， 则，， 因为在上单调递减， 所以关于的方程在上有两个不相等实数根， 所以，解得， 即的取值范围为. （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：第一问关键是推导出，第二问关键换元，将问题转化为一元二次不等式在给定区间上有两解问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡南县高一期末考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 命题人：陈华 注意事项：请考生把答案写在答题卡上.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，（ ） A. B. C. D. 3. 函数（且）的图象所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 5. ，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若集合，，且，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则 C. 若中C为钝角，则 D. 若，，，则解的个数为2 11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. 鳖臑体积的最大值为2 C. 点到面的距离是 D. 鳖臑内切球的半径为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在三角形中，，，，则______． 13. 底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 14. 已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． （1）女生被抽到是必然事件，求的取值范围； （2）女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 16. 某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； （3）试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求与面所成角的正弦值． 18. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 19. 已知函数，为常数. （1）证明：的图象关于直线对称. （2）设在上有两个零点，. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $