精品解析：吉林长春市第二中学2025-2026学年高一下学期第三学程考试数学试题

高一年级下学期第三学程考试数学科试卷 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以的共轭复数. 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 3. 已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ） A. 事件A和相等 B. 事件A和互相对立 C. 事件A和相互独立 D. 事件A和互斥 【答案】D 【解析】 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 4. 某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ） A. 身高在区间的男生比女生多人 B. B组中男生和女生占比相同 C. 超过一半的男生身高在以上 D. 女生身高在组的人数有人 【答案】D 【解析】 【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解. 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确； 故选：D. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】若，，则或，故A错误； 若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故B错误； 若，，则或，又， 则与可能平行，可能相交，故C错误； 两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故D正确． 故选：D． 6. 孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶．泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤．茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗．如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高．装满一壶茶水，最多能倒满（ ）杯． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用圆台和圆柱的体积公式计算茶壶和茶杯的容积，作商后向下取整即可得出结果． 【详解】设圆台的上、下底半径分别为、，高为，体积为；圆柱的底面半径为，高为，体积为． 由题意可知，，，，，， 根据圆台和圆柱的体积公式，茶壶的容积为： ， 茶杯的容积为：， 则最多能倒满的杯数为：， 因为要求倒满的杯数，故取整数部分，即最多能倒满15杯． 7. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由等体积法可得到平面的距离. 【详解】连接，交于点，连接，则为的中点. 因为平面，平面， 所以. 所以， 所以. 所以， 所以的面积为. 因为平面，， 所以. 设到平面的距离为， 由，得. 8. 在直角边长分别为3和4的直角三角形内有一内切圆是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出三角形内切圆半径，再求出，结合已知条件运用几何法和坐标法，求出的取值范围． 【详解】已知三角形边长，，设内切圆半径为，三角形面积为， 则， 解得，即，则： ， 点在三角形三条边上运动，则为内切圆半径， 为到三角形顶点的距离最大值，即为，以为坐标原点建立坐标系， 则， ， 的取值范围为． 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项使符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，，若有两解，则 C. 若，则 D. 若，，则面积最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：，则是直角三角形;选项B：三角形有两解条件：,选项C：向量 与 的夹角是 ， ；选项D：利用余弦定理和基本不等式求出，再由三角形面积公式求解. 【详解】选项A：化简向量式得，原式等价于，即，，故为直角三角形，A正确； 选项B：由正弦定理得， 三角形有两解条件：，即 ，即，B正确； 选项C：，为等边三角形，内角均为,向量与的夹角是 ， 所以，C错误； 选项D：,，即， 当且仅当 取等，所以三角形面积， 所以，D正确. 10. 在以下命题中正确的是（ ） A. 一组样本数据为9，11，10，13，12，8，14，11，则这组数据的分位数为11 B. 已知，，，的方差为4，则，，，的方差为8 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 已知，，则在上的投影向量坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题综合考查统计中分位数、方差的性质，空间向量四点共面的判定，以及向量投影向量的计算，需结合各对应知识点逐一分析选项． 【详解】对于选项A：将样本数据从小到大排序：8，9，10，11，11，12，13，14，共8个数据，因为， 所以分位数为第5个数据，即11，所以A正确； 对于选项B：若原数据方差为，则数据的方差为，本题中，原方差为4， 所以新方差为，所以B错误； 对于选项C：空间四点共面的充要条件是且， 本题中，满足共面条件，故四点共面，所以C正确； 对于选项D：，， 代入投影向量公式得，所以D正确． 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，点是侧面内一动点，是上一动点，以上动点都含边界．则下列说法正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 当时，若保持，则点的运动轨迹长度 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A利用线面平行的等距性质推导底面内动点的轨迹，计算轨迹长度； 选项B先确定过三点的正方体截面形状为等腰梯形，再计算梯形面积； 选项C先确定的位置，将空间定长条件转化为侧面内的圆弧轨迹，计算对应弧长； 选项D采用平面展开法将折线段和的最小值转化为展开平面内两点间的线段长度，结合余弦定理求解。 【详解】对选项A， ∵ 平面为正方体的对角面，二面角的平面角为. 设点到平面的距离为， ∵ ， 为底面内直角三角形，， 点到底面的高为， . ∵ 平面，平面，，， . 又 ，，解得， ∵ 为中点，到平面的距离为，故到平面的距离为. ∵ 平面，故到平面的距离等于到平面的距离. 设点到的距离为，则，解得. 故的轨迹为底面内平行于且到距离为1的线段，长度等于，故A正确. 对选项B， ∵ 分别为中点，故为的中位线，. ∵ 正方体中，故，故过的截面为等腰梯形. 其中上底，下底，腰长. 等腰梯形的高. 故截面面积，故B正确. 对选项C， ∵ ，正方体棱长为2，故，. 点到侧面的距离为，设在侧面上的投影为，则在上，. ∵ ，故到的距离. 的轨迹为侧面内以为圆心，为半径的圆弧，圆心到的距离为，故在圆弧上；圆心到的距离为，故圆弧与交于点，易求得两半径的夹角为. 故轨迹长度，故C错误. 对选项D， 求的最小值，将平面与平面沿展开至同一平面，此时. 其中，，由余弦定理得： . 故，即的最小值为，故D正确. 【点睛】方法归纳：解决立体几何综合问题需熟练掌握线面平行、垂直的判定与性质，截面问题先确定截面形状再计算参数，动点轨迹问题可转化为平面截球的圆弧求解，折线段最短问题采用平面展开法转化为两点间线段距离求解. 易错归纳：建系前需证明两两垂直，线面平行判定需注明直线在平面外，轨迹长度计算需注意边界对圆弧的截取. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中调研学生对世界杯的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是__________． 【答案】 24 【解析】 【详解】∵ 该校高一有人，高二有人，高三有750人， ∴ 全校总人数为 . ∵ 采用分层抽样方法抽取80人， ∴ 抽样比为 . ∴ 高一应抽取的人数为 . 13. 已知四面体的个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积． 【详解】因为平面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直， 将四面体补成如图所示的长方体，其中，， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为， ， 即， 所以球的表面积． 14. 在锐角 中，角， ， 的对边分别为 ，，， 的面积，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由面积公式和余弦定理求出 ，从而得到 ．再由余弦定理把 化为 ，最后利用 为锐角三角形确定端点能否取到． 【详解】由三角形面积公式得 由余弦定理得 又，所以，即 因为为锐角三角形，所以为锐角， 则，从而 由余弦定理得 令，则 ，且 因为 为锐角三角形，所以 ，． 由，得 又 ，所以则，则 同理，由，得 代入 ，得则，则 所以 根据对勾函数性质知在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，；当时，， 故 因此 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）设，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 而， 所以，又，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理， 又，所以，即，解得. 所以. 16. 如图，平行六面体中，与相交于，设，，. （1）用表示； （2）若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由题意：，，， ， 所以. 17. 学校组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求的值； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果四舍五入取整数）； （3）学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1） （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积和为，结合组距列方程求出； （2）用各组组中值乘以对应频率求和得平均数，先累加频率定位中位数区间，再列方程算出中位数； （3）利用对立事件简化计算，用减去两人均未获优秀等级的概率，得到至少一人获优秀等级的概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 解得； 【小问2详解】 平均数， 因为前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以中位数在内， 设中位数为， ，0 解得， 所以估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数为，中位数为； 【小问3详解】 设“甲复赛获优秀等级”为事件，“乙复赛获优秀等级”为事件，“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件， ，， 所以至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． （1）证明：平面平面； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 【答案】（1）证明：因为， 所以，，所以 又，且平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 19. 在三棱锥中，已知、均是边长为的正三角形，棱．为侧棱上一点． （1）现对，两个顶点随机贴上写有数字四个标签中的两个标签，，表示顶点，所贴数字，所贴的数字不重复，求事件“为偶数”的概率； （2）现对，两个顶点随机贴上写有数字八个标签中的两个标签，，表示顶点，所贴数字，所贴的数字不重复，若，求“二面角的平面角大于”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据古典概型的概率公式计算可得； （2）先由二面角的定义可得即为二面角的平面角，通过正余弦定理解三角形可得，再由角的范围可得，再通过列举法可得满足条件的，根据古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 因为中共有个奇数、个偶数，两个数和为偶数当且仅当两数同奇或同偶. 总基本事件数：从个不同标签中选个分配给，共种； 符合条件的事件数：全奇排列种，全偶排列种，共种. 因此概率： . 【小问2详解】 取中点，连接， 因为、均是边长为的正三角形， 所以，， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 故即为二面角的平面角. 在中，， 由余弦定理得， 所以. 设， 在中，由正弦定理得①. 在中，由正弦定理得②. 因为，所以， 则由①②得：， ，所以， ，，即. 因为，所以，因此，解得. 设为中不同正整数，且， 所以，即. 下面枚举符合条件的： 当时：，，共种； 当时：，，共种； 当时：，，共种； 当时：，，共种； 当时：，无符合条件的，共种. 符合条件的事件共种， 总事件数为种， 因此： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级下学期第三学程考试数学科试卷 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ） A. 事件A和相等 B. 事件A和互相对立 C. 事件A和相互独立 D. 事件A和互斥 4. 某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ） A. 身高在区间的男生比女生多人 B. B组中男生和女生占比相同 C. 超过一半的男生身高在以上 D. 女生身高在组的人数有人 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶．泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤．茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗．如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高．装满一壶茶水，最多能倒满（ ）杯． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角边长分别为3和4的直角三角形内有一内切圆是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项使符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，，若有两解，则 C. 若，则 D. 若，，则面积最大值为 10. 在以下命题中正确的是（ ） A. 一组样本数据为9，11，10，13，12，8，14，11，则这组数据的分位数为11 B. 已知，，，的方差为4，则，，，的方差为8 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 已知，，则在上的投影向量坐标为 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，点是侧面内一动点，是上一动点，以上动点都含边界．则下列说法正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 当时，若保持，则点的运动轨迹长度 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中调研学生对世界杯的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是__________． 13. 已知四面体的个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为__________． 14. 在锐角 中，角， ， 的对边分别为 ，，， 的面积，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）设，，求. 16. 如图，平行六面体中，与相交于，设，，. （1）用表示； （2）若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 17. 学校组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求的值； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果四舍五入取整数）； （3）学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． （1）证明：平面平面； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 19. 在三棱锥中，已知、均是边长为的正三角形，棱．为侧棱上一点． （1）现对，两个顶点随机贴上写有数字四个标签中的两个标签，，表示顶点，所贴数字，所贴的数字不重复，求事件“为偶数”的概率； （2）现对，两个顶点随机贴上写有数字八个标签中的两个标签，，表示顶点，所贴数字，所贴的数字不重复，若，求“二面角的平面角大于”的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $