吉林延边州延吉市延边第二中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025－2026学年度下学期期末考试 高一数学答案及评分标准 一．单项选择题（每小题5分，共8题，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B C D A D B 二、多项选择题（每小题6分，共3题，共18分） 9 10 11 ABD BD BCD 三、填空题： 12【答案】   13【答案】   14【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 【答案】（1），（2） 【详解】（1）由，得，　　　　　　2分 因为，，所以，所以，　　　　　　4分 所以　　　　　　6分 （2）设与的夹角为，因为，　　　　　　8分 ，　　　　　　10分 所以，　　　　　　12分 因为，所以　　　　　　13分 16．（本小题满分15分） 【答案】（1）（2） 【详解】（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则　　　　　　3分 因为，所以，　　　　　　5分 所以．　　　　　　7分 （2）对于事件，不放回地依次取出取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则　　　　　　11分 因为，所以，　　　　　　13分 所以．　　　　　　15分 17．（本小题满分15分） 【答案】（1）0.0003（2）220（3）307 【详解】（1）由频率分布直方图中各组概率之和为1得， ，　　　　2分 解得　　　　　　4分 （2）根据频率分布直方图中平均值计算公式得 平均值为　　8分 （3）由题意，第一组的频率为，第二组频率为，第三组频率为， 为第80百分位数，所以在第四组之间　　　　　　10分 即，　　　　　　12分 解得．　　　　　　14分 又，故至少应为307　　　　　　15分 18．（本小题满分17分） 【答案】（1），（2） 【详解】（1），，　　　　2分 由正弦定理得，，　　　　4分 在中，由余弦定理得，　　　　6分 解得（负值舍去），　　　　7分 即．　　　　8分 （2），，，　　　　10分 　　　　12分 平分，，所以，　　　　14分 为边的中线，，　　　　15分 ．　　　　17分 19．（本小题满分17分） 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）在中，因为，， 所以，，　　　　2分 所以，则，即， 又，，所以，，　　　　4分 ，，面，所以面， 又面，所以面面；　　　　6分 （2）以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为， 则，，，，， ，，，设是平面的法向量， 则，取，　　　　8分 设，其中．则 连接，因平面，平面，平面平面，故， 取与同向的单位向量，　　　　10分 设是平面的法向量， 则，取．　　　　12分 由平面平面，知，有，解得．　　　　14分 此时，又平面的法向量 设平面与平面的夹角为，则　　　　16分 综上所述平面与平面的夹角余弦值为．　　　　17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期期末考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷　选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．某高中调研学生对“2026年美加墨足球世界杯”的关注程度，已知该校高一有人，高二有人，高三有人，现采用分层抽样的方法抽取人进行调研，则高一应抽取的人数是（ ） A． B． C． D． 3．在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 4．在中，角，，的对边分别为，，，并且，，，则（ ） A．或 B． C． D．或 5．已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．在三棱锥中，，，，分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（ ） A．2 B． C．1 D． 8．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．已知一组数据为9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的极差是5 B．已知一组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，且其中位数是31，则数据的第60百分位数是32 C．一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D．若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27 10．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件，记“得到的点数不大于”为事件，记“得到的点数为质数”为事件，则下列说法正确的是（ ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 11．如图，直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则（ ） A．平面平面 B．若时， C．当时，直线与平面所成角为 D．二面角的最小值为 第Ⅱ卷　非选择题 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12．已知平面向量，，且，则_______． 13．甲、乙、丙三人各进行一次射击，已知甲、乙、丙三人击中目标的概率分别为，，，则恰有两人击中目标的概率为_______． 14．如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，，． （1）求的值； （2）求与的夹角． 16．（本小题满分15分） 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 17．（本小题满分15分） 某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）．现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）． （1）求； （2）若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量； （3）每户用电量不超过度的电费是0.5元/度，超出度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则至少应为多少（为整数）？ 18．（本小题满分17分） 如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求及线段的长； （2）求的面积． 19．（本小题满分17分） 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． （1）求证：平面平面； （2）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $