2.2 正切 课件 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦锐角正切的定义及应用，通过“山的陡峭程度”“梯子倾斜角”等生活情境导入，结合已学的正弦、余弦知识，以“对边与邻边比值是否为常数”设问，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于用生活情境激发探究（数学眼光），通过相似三角形推理正切值与三角形大小无关（数学思维），以符号“tan A”和公式“sinα/cosα=tanα”系统表达（数学语言）。实例有自动扶梯陡峭比较、特殊角计算等，分层练习助巩固，学生能联系生活培养能力，教师可高效实施教学。

湘教版·九年级上册 2.2 锐角的正切 第二章 锐角的正弦、余弦、正切 学 习 目 标 1 2 理解并掌握锐角三角函数中正切的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都固定 (即正切值不变). (重点) 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点) 知识回顾 如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A=_______；cos A=_______. 邻边b A B C 斜边c 对边a ∠A的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？ 新知探究 知识要点 探究一：正切的定义 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 陡意味着倾斜程度大！ 新知探究 知识要点 铅直高度 水平宽度 A C 从梯子的顶端 A 到墙角 C 的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度 梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角 相关常识 B 新知探究 知识要点 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C =∠F =90°， 则 成立吗？为什么？ A B C α E F D α 因为∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°， 所以 △ABC∽△DEF. 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 新知探究 知识要点 方法总结： 如图，在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tan A，即 A B C 斜边b 对边a 新知探究 知识要点 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A 是一 个锐角. 2.tan A是一个完整的符号，它表示∠A 的正切.但∠BAC的正切表示为：tan∠BAC . ∠1 的正切表示为：tan∠1. 3.tan A 大于零 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A 的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tan A 不表示“tan”乘以“A ”. 5.tan A 的大小只与∠A 的大小和直角三角形的两边长的比值有关. 知识要点 典例分析 A B C ┌ 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？ 可以大于 1 吗？ 对于锐角 A 的每一个确定的值，tan A 都有唯一的确定的值与它对应. 解：可以等于 1，此时为等腰直角三角形； 也可以大于 1，甚至可逼近于无穷大. 新知探究 知识要点 例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中， β 6 m 乙 8 m α 5 m ┌ 甲 13 m 乙梯中， ∵tan β＞tan α，∴乙梯更陡. 提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 典例分析 其他性质 1.求出下列直角三角形中两个锐角的正切值. 解：图①，在Rt△ABC中， 练一练 典例分析 其他性质 1.求出下列直角三角形中两个锐角的正切值. 练一练 图②，在Rt△DEF中，由勾股定理得 典例分析 其他性质 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 7，BC = 5，则 tan A =_____，tan B =_____． 3.已知∠A，∠B 为锐角， (1)若∠A =∠B，则 tan A tan B; (2)若 tan A = tan B，则∠A ∠B. = = 练一练 其他性质 新知探究 例2、下图中∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 指出∠A 和∠B 的正切. (1) tan A = = AC ( ) CD ( ) (2) tan B = = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC A B C D 方法总结： 互余两锐角的正切值互为倒数. A B C ┌ tan∠A = . 15 其他性质 典例分析 4.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，tan A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 练一练 其他性质 新知探究 探究二：特殊角的正切值 如何求tan 30°，tan60°的值呢？ 如图2.2-3，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°. AC2 = AB2－BC2 = (2BC)2－BC2 = 3BC2. 由此得出AC= BC． 于是 BC= AB， ∠B=60°． A B C 30° 根据勾股定理，得 因此 其他性质 典例分析 求tan 45°值. A B C 45° 如图，画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A=45°. 于是 AC = BC，∠B = 45°， 因此 . 方法总结： 30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如右表． α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 19 其他性质 典例分析 例3 计算：tan 45° + tan² 30°tan² 60°. 解 tan 45° + tan² 30°tan² 60°. = 2. 其他性质 典例分析 如图，由锐角三角函数的定义可得30°、45°、60°角的三角函数值. 记忆方法 其他性质 典例分析 观察表格中的数据，说说你有什么发现？ 其他性质 典例分析 如图，由锐角三角函数的定义可得30°、45°、60°角的三角函数值. 记忆方法 典例分析 5. 计算 练一练 典例分析 练一练 典例分析 练一练 其他性质 新知探究 探究三：用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角 除30°，45°，60°外，对于一般锐角α的正切值，也可用计算器来求. 求 25°角的正切值(精确到0.000 1). 可以在计算器上依次按键 tan 2 5 显示结果 为 0.466 307 658， 因此 tan 25°≈ 0.466 3. 典例分析 如果已知正切值，也可以利用计算器求出它的对应锐角. 已知 tan α =0.839 1，要求对应锐角α (精确到1°). tan 0 . 8 3 9 1 显示结果为 40.000 012 4，可得 α ≈ 40°. 依次按键 SHIFT 典例分析 利用计算器计算： (1) tan21°15′≈ ___________ (精确到0.000 1) ； (2) tan89°27′≈ ___________ (精确到0.000 1)； (3) 若tan α=1.286 8，则锐角α ≈ _______(精确到0.1°) ； (4) 若tan α=108.572 9，则锐角α ≈ _____(精确到0.1°). 0.3889 104.1709 52.1° 89.5° 练一练 方法总结： 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α，都有唯一确定的比值 sin α (或 cos α，tan α)与它对应，并且我们还知道，当锐角 α 变化时，它的比值 sin α (或 cos α，tan α )也随之变化. 因此我们把锐角 α 的正弦、余弦和正切统称为角 α 的锐角三角函数. 30 方法总结： 定义中应该注意的几个问题： 1.sin A，cos A，tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sin A，cos A，tan A 是一个完整的符号，分别表示 ∠A 的正弦，余弦，正切 (习惯省去“∠”号). 3.sin A，cos A，tan A 是一个比值.注意比的顺序. 且 sin A，cos A，tan A 均＞0，无单位. 4.sin A，cos A，tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 5.角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等. 31 典例分析 例4 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋| sin B－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－ |＝0， ∴ tan A＝1，sin B＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 典例分析 6. 已知：| tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0，求∠A，∠B 的度数. 解：∵ | tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0， ∴ tan B＝ ，sin A＝ ∴ ∠B＝60°，∠A＝60°. 练一练 典例分析 练一练 7. 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2 α + cos2 α － tan (α + 15°) 的值． 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ tan α＞0，∴ tan α = 1. ∴ α = 45°. ∴ 2 sin2 α + cos2 α － tan (α + 15° ) = 2 sin2 45° + cos2 45°－ tan 60° 课堂练习 (1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tan A = ( ). (2)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB = 13，tan A = ( )，tan B = ( ). 1.完成下列填空： B C A (3)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tan A = ， AC = ( ). 课堂练习 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7， BC=5，求 tan A，tan B 的值． 解：根据题意作出Rt△ABC. A B C 课堂练习 3.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan A = ( ) A. B. C. D. 这个图呢？ D 课堂练习 4.如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为 ，则 =__________. 记得构造直角三角形哦！ 课堂练习 5.在等腰△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，求 tan B. 提示：过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D. 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D， ∴在 Rt△ABD 中， 易知 BD = 5，AD = 12. A C B ┌ D 课堂小结 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tan A，即 A B C 斜边b 对边a 拓展提升 1.计算： （1）1+ tan260°； （2） tan30°cos30°. 解：1+ tan260° 解：tan30°cos30° 拓展提升 ┌ A C B 15 解：如图， ∴设 BC = 3k，AC = 4k. ∴ BC = 3k = 3×3 = 9，AC = 4k = 4×3 = 12. 2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AB = 15，tan A = ，求 AC 和 BC. 拓展提升 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求 sin A、cos A、tan A 的值． 解：∵ AB＝10，BC＝6， A B C 6 10 感谢聆听! $