精品解析：四川省达州市渠县崇德实验学校2025-2026学年七年级下学期期末教学质量监测数学试题

渠县崇德实验学校2025-2026学年七年级下学期期末教学质量监测 数学试题 （全卷满分150分 考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某科技公司研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达0.00000009米，用科学记数法表示，则n为（　　） A. B. 9 C. D. 8 3. 如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 过两点有且只有一条直线 C. 垂线段最短 D. 过一点可以作无数条直线 4. 一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的事件类型是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 无法确定 5. 如图，是边BC上一点，，过点作的垂线，交于点E，若的面积是，，则长为（ ） A. B. C. D. 6. 为培养小强吃苦精神和坚强意志，爸爸和小强开展了一次远足活动，图是小强与爸爸远足的时间与离家的距离的关系，请根据图中信息判断下列选项，其中不正确的是（ ） A. 小强离家最远10公里 B. 2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找 C. 小强当天一共走了20公里 D. 中途，小强和爸爸休息了一个小时 7. 如图，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一个角的补角为度，则这个角的度数为______度． 10. 在四边张分别写有词语“诚信”、“友善”、“和谐”、“美丽”的卡片中，随机摸出一张卡片，则摸出写有“诚信”的卡片的概率是______． 11. 已知，，则的值为________． 12. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 13. 如图，在中，，，，，点D是线段边上的动点，则线段的最小值为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． （1）求小明摸到球面数字为5的概率； （2）你认为这种方法公平吗？请说明理由． 17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）在直线上作一点，使最短； （3）以为边作与全等的三角形（不包括），可作出_____________个． 18. 探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是_______________________．（写出满足条件的一个答案即可） 20. 若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是________． 21. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为_______． 22. 如图，正方形和正方形的面积和为15，D、A、E三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为_______． 23. 如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为_______元． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： （1）乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； （2）骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； （3）请解释图中点A的实际意义：__________； （4）若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 25. 二维码中的数学 【阅读材料】 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】 （1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件： ，．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】 （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________． 26. 在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县崇德实验学校2025-2026学年七年级下学期期末教学质量监测 数学试题 （全卷满分150分 考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A项，不是轴对称图形，故本选项错误； B项，不是轴对称图形，故本选项错误； C项，是轴对称图形，故本选项正确； D项，不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 2. 某科技公司研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达0.00000009米，用科学记数法表示，则n为（　　） A. B. 9 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴n等于． 故选：C． 3. 如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 过两点有且只有一条直线 C. 垂线段最短 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据“垂线段的性质：垂线段最短”解答即可． 【详解】这样做的理由是垂线段最短． 故选C． 【点睛】本题考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 4. 一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的事件类型是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用必然事件的定义得出答案． 【详解】解：∵一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同， ∴事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键． 5. 如图，是边BC上一点，，过点作的垂线，交于点E，若的面积是，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，先求出，再结合三角形公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边BC上一点，，的面积是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 为培养小强吃苦精神和坚强意志，爸爸和小强开展了一次远足活动，图是小强与爸爸远足的时间与离家的距离的关系，请根据图中信息判断下列选项，其中不正确的是（ ） A. 小强离家最远10公里 B. 2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找 C. 小强当天一共走了20公里 D. 中途，小强和爸爸休息了一个小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象所给信息逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：小强离家最远10公里，故A正确，不符合题意； 2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找，故B正确，不符合题意；； 中途，小强和爸爸休息了一个小时，故D正确，不符合题意； 小强当天一共走了公里，故C不正确，符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的拐点模型． 利用等腰三角形的性质求出，再利用拐点模型求的度数即可． 【详解】解：过点B作直线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，连接、，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接、，过点D作于H， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的值最小值为8． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一个角的补角为度，则这个角的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义列式计算即可求解，掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：这个角的度数为， 故答案为：． 10. 在四边张分别写有词语“诚信”、“友善”、“和谐”、“美丽”的卡片中，随机摸出一张卡片，则摸出写有“诚信”的卡片的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，摸出写有“诚信”的卡片的概率是， 故答案为：． 11. 已知，，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 即 故答案为： 12. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据乘车费用起步价超过千米的费用，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，，点D是线段边上的动点，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由垂线段最短可知，当时，最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，最小，如下图： ∵， ∴，则 故答案为： 【点睛】此题考查了点到直线的距离，面积法求三角形的高，解题的关键是确定当时，最小． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂相乘、积的乘方计算各项，再合并同类项即可； （2）根据零指数幂、负整指数幂和乘方计算各项，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． （1）求小明摸到球面数字为5的概率； （2）你认为这种方法公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这种方法不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）分别计算出两人获得电影票的概率，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同， ∴小明摸到球面数字为5的概率为； 【小问2详解】 解：这种方法不公平，理由如下： 由题意得，小颖得到电影票的概率为， 小明得到电影票的概率为， ∵， ∴这种方法不公平． 17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）在直线上作一点，使最短； （3）以为边作与全等的三角形（不包括），可作出_____________个． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图， （3）3． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称求最短问题，构造全等三角形． （1）分别作出A、B、C三点关于直线l的对称点、、即可； （2）连接交直线于点即可； （3）画出所有全等的三角形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交直线于点，点即为所求； 【小问3详解】 解：根据轴对称，确定全等三角形如下： 共有3个， 故答案为：3． 18. 探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【答案】 （1）证明：第一次折叠， 又，， ， （2）活动一：40； 活动二：证明： 第二次折叠， ，，， 又， 在和中 ， 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质与判定；掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠可得，根据平行线的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）活动一：根据折叠的性质可得，进而根据，即可求解． 活动二：根据折叠的性质，证明，进而得出，即可得证． 【详解】（1）略 （2）活动一： 第二次折叠，对称轴是， 活动二：略 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是_______________________．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边、两边之差小于第三边成为解题的关键． 先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，然后确定第三边可能取值即可． 【详解】解：已知三角形两条边为和，设第三边为， 则：，即 ， 因为边长为整数， 所以可以取、、、、中任意一个，比如取． 故答案为：4（不唯一）． 20. 若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据乘法的意义，乘方的意义，以及同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，分别将等号左右两边都转化成以2为底的幂的形式，即可得解． 【详解】解：， ， 且， ． 故答案为：． 21. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了邻补角、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 先根据三角形外角的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵是中的外角， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 22. 如图，正方形和正方形的面积和为15，D、A、E三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、完全平方公式等知识点，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，依题意得，，进而得，由此得，再求出，继而得，然后将，代入计算即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵正方形和正方形的面积和为， ∴， ∵、A、三点共线且， ∴，即， ∵，，， ∴，解得：． ∵， ∴． 故答案为：． 23. 如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为_______元． 【答案】240000 【解析】 【分析】线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，，由角平分线的定义证得，进而证得，得，可得当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，， ∵，， ∴，， ， ∵平分， ， ， 又， ∴， ， ， ∴当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， 是等边三角形， ， ∵步道建设成本为每米400元， ∴这两条步道总建设费用的最小值为元， 故答案为：240000． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： （1）乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； （2）骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； （3）请解释图中点A的实际意义：__________； （4）若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 【答案】（1）1，，10 （2）5，3 （3）兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米 （4）若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，从图象上获取信息等知识，理解图象的转折点是解题的关键； （1）根据点的意义，可得乌龟的速度，当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点，根据路程除以时间得到兔子休息后的速度，根据总时间乘以乌龟的速度得到路程，即可求解； （2）根据图象可得当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完，即可求解； （3）根据图象可得，兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米； （4）先求得兔子休息前的速度为米/分，进而求得所用时间，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意兔子比乌龟晚出发；由图象可得乌龟的速度为：米/分； 当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点， ∴比赛全程为：米，兔子在休息后的速度为米/分， 故答案为：1，，10． 【小问2详解】 解：依题意，当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完， ∴骄傲的兔子在离开起点米时停下休息，休息了分钟 故答案为：，． 【小问3详解】 解：图中点A的实际意义：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米 故答案为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米． 【小问4详解】 解：依题意，兔子休息前的速度为米/分 ∴兔子需要的时间为分钟， ∵兔子比乌龟晚出发2分钟， ∴兔子需要分钟完成比赛， 分钟 答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟 25. 二维码中的数学 【阅读材料】 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】 （1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件： ，．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】 （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用方格有涂色和不涂色两种情况解答即可． （2）根据题意，，，结合，求得，再根据，开平方，求得，将展开，代入求值即可． （3）根据题意，得，根据完全平方公式的变形求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，每个方格有涂色和不涂色两种情况， 则一共可以表示个信息． 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 答：扩展后的二维码共有个方格． 【小问3详解】 解：根据题意，共有个方格， 每个方格有涂色和不涂色两种情况， 则一共可以表示个信息， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，当时取等号， 故的最小值为，此时． 26. 在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 【答案】（1）；； （2）第一问的结论还成立，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）①60； ②证明：∵，， 且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，由点D为中点，点E为中点，得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）①根据平行线的性质得到即可得到结论； ②根据三角形内角和定理得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）略 （3）①解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； ②略 【点评】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $