精品解析：四川省达州市渠县临巴中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

四川省达州市渠县临巴中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查幂的运算，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等法则的应用，根据运算法则逐项分析即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【分析】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件 B. “在平面上任意画一个三角形，其内角和为”这一事件是必然事件 C. 在单词（书）中任意选邦一个字母为o的概率为 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，三角形内角和，概率等知识，掌握随机事件，必然事件的概念是解题的关键． 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：介于必然事件和不可能事件之间，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件，故原选项错误，不符合题意； B、在平面上任意画一个三角形，其内角和为”这一事件是必然事件，故原选项正确，符合题意； C、在单词（书）中任意选择一个字母为o的概率为，故原选项错误，不符合题意； D、天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，故原选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 以每组数为线段的长度，可以构成三角形三边的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 4，4，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系， A、5+6=11＞10，能组成三角形； B、5+6=11，不能够组成三角形； C、3+4=7＜8，不能组成三角形； D、4+4=8，不能组成三角形． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 5. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查函数的图象问题，根据茶杯的底部直径小，从底部向上直径逐渐增大，可知水面上升的速度由快变慢，据此可得答案，本题关键是分析出容器内水的高度随着注水时间t变化而变化的快慢． 【详解】解：由题意可知，向茶杯中匀速注水，水面上升的速度由快变慢，故选项B符合题意． 故选：B． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. p 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值，通过展开左边多项式并与右边比较对应系数，得出关于和的关系式，进而求解的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 7. 如图，把一副三角板放在桌面上，当AB∥DC时，∠CAE等于（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和平行线的性质定理可得结果． 【详解】解：∵AB∥DC， ∴∠EAB=∠AED=45°， ∵∠BAC=30°， ∴∠CAE=∠EAB-∠BAC=45°-30°=15°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握性质定理． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（　　） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用基本作图得到AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得DC＝DE＝4，然后根据三角形面积公式． 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图， 由作法得AP平分∠BAC， ∴DC＝DE＝4， ∴△ABD的面积＝×12×4＝24． 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6，从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式得出答案． 【详解】解：有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6， 从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的是2，4，6， 故抽出标有数字为偶数的概率为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 10. 已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，根据长方形的周长公式得到x与y的数量关系式，再把y用含x的代数式表示出来即可． 【详解】解：根据长方形的周长公式，得， 解得， ∴y与x之间的关系式为， 故答案为：． 11. 如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为_______． 【答案】55° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【详解】∵AC＝BC，∠C＝40°， ∴∠CAB＝∠B＝×（180°−40°）＝70°， ∵GH∥DE， ∴∠GAD＝∠ADE，∠HAE＝∠AED， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴∠GAD＝∠HAE＝×（180°−∠BAC）＝×（180°−70°）＝55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 即 故答案为： 13. 如图，，垂足为E，与相交于，，，则_____________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的角度计算，三角形内角和定理，根据，可得，则，再根据三角形内角和为180度可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别利用负整数指数幂法则，乘方的意义，零指数幂法则，绝对值的性质计算每一项，再求和即可； （2）利用同底数幂的乘法，单项式的除法，积的乘方法则计算每一项，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：    ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式的应用以及多项式除以单项式等知识．解题的关键是正确运用公式和运算法则对式子进行化简． 运用相关公式展开多项式乘积项，计算多项式除以单项式；去括号并合并同类项化简式子；代入 x 的值计算结果． 【详解】 ， 当时，． 16. 图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． （1）小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； （2）如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； （3）如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）区域外的小方格上， 小明的第二步踩在区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是， 小明的第二步踩在区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是，        ， 为了尽可能不踩中“地雷”， 小明的第二步应踩在区域外的小方格上． 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式． (1)根据个小方格中有个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (2)根据个小方格中埋藏着个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (3)利用概率公式求出踩在区域外的小方格上踩中地雷的概率，通过比较选择踩中地雷概率小的区域． 【小问1详解】 解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； 【小问3详解】 略 17. 如图：中，是的平分线，；点E、F是边、上的点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴ ∴ 由（1）知： ∴ （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得到，再由等边对等解得出，从而得出，即可由内错角相等两直线平行得出结论； （2）先证明，从而由平行线的性质得出，再等量代换即可得出结论； （3）先由平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求得，然后根据三角形外角性质求出，即可由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴， 由（1）知： 又∵， ∴ ∴． 18. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； （2）请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； （3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 【答案】（1） （2） 如图所示： ； （3）当时，为定值 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用、整式的无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）利用因式分解将化为，结合长方形面积公式画图即可；（3）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可． 【小问1详解】 解：方法1：大正方形的面积为：， 方法2：图2中四部分的面积和为：， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为， ∵， ∴ ＝， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴时，即时，为定值． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 20. 一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的总个数乘摸到红球频率的稳定值即可． 【详解】解：随着摸球次数增大，摸到红球的频率越接近 估计袋中红球的个数是（个）， 故答案为：10． 21. 按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了程序框图与求代数式的值，以及平方差公式，根据分析求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴， ∴或， ∴输入的最大值为4． 故答案为：4． 22. 如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论． 设点的运动速度为，分两种情况：①当时，则，即；②当时，则，，即，，求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 分两种情况：①当时， ∴， ∴，； 解得：，； ②当时，则， ∴，， 解得：，． 综上，点的运动速度是或． 故答案为：或． 23. 如图，将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，线段交于点E，的平分线与的平分线相交于点K． 若，则的度数为 ______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】此题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及其性质，平行线的性质，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 设，，由折叠的性质得，，，则，，求出，在中由三角形内角和定理得，根据得，，，，由折叠的性质得，，进而得，，再根据角平分线定义得，，则，然后在中，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图所示： 设，， 由折叠的性质得：，，， ，， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ，，，， 由折叠的性质得：，， ，， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， 在中，． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）填空：折线表示赛跑过程中___________（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全过程是___________米； （2）兔子在起初每分钟跑___________米，乌龟每分钟爬___________米； （3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ （4）兔子醒来后，以400米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】（1）兔子，1500；（2）350，30；（3）乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子．（4）兔子中间停下睡觉用了46.5分钟． 【解析】 【分析】（1）利用乌龟始终运动，中间没有停留，而兔子中间有休息的时刻，即可得出折线OABC的意义和全程的距离； （2）根据图象中点A、D实际意义可得速度； （3）根据乌龟的速度及兔子睡觉时的路程即可得； （4）利用兔子的速度，求出兔子走完全程的时间，再求解即可． 【详解】解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻， ∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系； 由图象可知：赛跑的全过程为1500米； 故答案为：兔子，1500； （2）结合图象得出： 兔子在起初每分钟跑700÷2＝350（米），乌龟每分钟爬1500÷50＝30（米）． 故答案为：350，30； （3）解：（分钟） 答：乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子． （4）解：∵兔子睡觉前跑了700米，所用的时间是2分钟， ∴兔子睡觉后剩余800米，所用的时间为：（分钟） ∴兔子睡觉用了：（分钟） 答：兔子中间停下睡觉用了46.5分钟． 【点睛】本题主要考查函数的应用，结合题意弄清函数图象中每个点的实际意义是解题的关键． 25. 【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在中，，． 【解决问题】 （1）如图1，若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当的度数不变时，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数； 【拓展应用】 （3）创意小组将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，直角三角形的性质，角平分线的定义， 对于（1），根据平角定义求出，再根据“两直线平行，同位角相等”得出答案； 对于（2），作，先根据平行线的性质求出，进而求出，再根据“两直线平行同旁内角互补”得出答案； 对于（3），先根据角平分线的定义求出，再作，根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，然后根据平行线的性质得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴； （2）如图，过点B作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）∵，平分， ∴． 如图所示，作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 26. 在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度． （1）等边三角形支撑的初步计算： 桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形，其边长为米．为了加强支撑，工程师在边上选择了一个点，并从点平行于方向铺设了一根长度为米的加固杆同时，从点向外延伸米到点，连接与相交于，请计算的长度． （2）可变尺寸的等边三角形支撑： 现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为米．同样地，从点平行于铺设长度为米的加固杆，并延长至点使得米．为了进一步加固，从点垂直设置一根支柱，与交于，请计算的长度． （3）非等边三角形支撑的特殊条件： 在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在边上选择点，并从点垂直向下设置测量杆他们发现主梁与斜拉索的长度相等，并且，请证明． 【答案】（1） （2） （3） 证明：延长至，使，过点作交的延长线于点，连接 ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质；熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）先证明是等边三角形，根据平行线的性质可得出，证明，即可得证； （2）由（1）可得，，且，证明是等边三角形，即可求解； （3）延长至，使，过点作交的延长线于点，连接，证明，进而证明，根据线段的和差关系，即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， 【小问2详解】 由（1）可得，，且 ， 为的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ，， 即； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县临巴中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件 B. “在平面上任意画一个三角形，其内角和为”这一事件是必然事件 C. 在单词（书）中任意选邦一个字母为o的概率为 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨 4. 以每组数为线段的长度，可以构成三角形三边的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 4，4，8 5. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（　　） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. p 7. 如图，把一副三角板放在桌面上，当AB∥DC时，∠CAE等于（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（　　） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6，从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的概率为_____． 10. 已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为________． 11. 如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为_______． 12. 已知，，则的值为________． 13. 如图，，垂足为E，与相交于，，，则_____________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． （1）小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； （2）如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； （3）如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 17. 如图：中，是的平分线，；点E、F是边、上的点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）若，求的度数． 18. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； （2）请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； （3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 20. 一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是______ ． 21. 按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入的最大值为_____________． 22. 如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________． 23. 如图，将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，线段交于点E，的平分线与的平分线相交于点K． 若，则的度数为 ______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）填空：折线表示赛跑过程中___________（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全过程是___________米； （2）兔子在起初每分钟跑___________米，乌龟每分钟爬___________米； （3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ （4）兔子醒来后，以400米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 25. 【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在中，，． 【解决问题】 （1）如图1，若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当的度数不变时，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数； 【拓展应用】 （3）创意小组将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数． 26. 在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度． （1）等边三角形支撑的初步计算： 桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形，其边长为米．为了加强支撑，工程师在边上选择了一个点，并从点平行于方向铺设了一根长度为米的加固杆同时，从点向外延伸米到点，连接与相交于，请计算的长度． （2）可变尺寸的等边三角形支撑： 现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为米．同样地，从点平行于铺设长度为米的加固杆，并延长至点使得米．为了进一步加固，从点垂直设置一根支柱，与交于，请计算的长度． （3）非等边三角形支撑的特殊条件： 在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在边上选择点，并从点垂直向下设置测量杆他们发现主梁与斜拉索的长度相等，并且，请证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $