3.4函数的应用(一)课时分组练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，基础训练聚焦单一函数模型应用，拔高提升强化综合情境与数形结合，通过实际问题链培养数学建模与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础训练|函数模型应用（面积最值、增长率、销售问题等）|以选择、填空为主，如铁丝截段面积最值问题，强化数学抽象与运算能力| |B组拔高提升|分段函数、函数图象分析、几何与函数综合|含多选与解答题，如容器注水图象匹配，培养几何直观与模型意识|

3.4函数的应用(一) A组 基础训练 1．把长为8 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是(　　) A．4 cm2 B．3 cm2 C．2 cm2 D．2 cm2 2．某市生产总值连续两年保持增长，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A． B． C． D．－1 3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏.售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18} C．{x|15≤x<20} D．{x|10≤x<20} 4．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后，其广告投入x(单位：万元)与销售利润y(单位：万元)之间的关系为y＝xα(α为常数)，其中x≤5.已知去年投入广告费用为3万元时，销售利润为27万元．若今年投入广告费用5万元，预计今年销售利润为　　　　万元． 5．某乡镇大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x m、长为y m的长方形展牌，其中y>x，其面积为3(x－y＋15) m2． (1)求y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？并求出周长的最小值． B 组 拔高提升 1．某地固定电话市话收费标准如下：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，超过三分钟后，超过部分每分钟收费0.10元(不满一分钟的部分按一分钟计算)．那么某人打市话550 s，应支付电话费(　　) A．1.00元 B．0.90元 C．1.20元 D．0.80元 2．(多选)生活经验告诉我们，当把水注进容器时(设单位时间内进水量相同)，容器内水的高度会随着时间的变化而变化.如图，下列选项中容器与图象匹配正确的是(　　) A．甲—③ B．乙—① C．丙—④ D．丁—② 3．(多选)某部影片的盈利(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图1所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的说法是(　　) A．图2对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图2对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图3对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图3对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 4．某辆汽车以x km/h(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数．若汽车以120 km/h 的速度行驶，每小时的油耗为11.5 L，则k＝　　　　，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为　　　　. 5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则当 x＝　　　　时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为　　　　. 6．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课后，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散．用f(x)表示学生的注意力，x(单位：min)表示授课时间，实验结果表明f(x)与x有如下关系：f(x)＝ (1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？ (2)若讲解某一道数学题需要10 min的时间，老师能否在学生的注意力一直不低于55的状态下讲解完这道题？ 3.4函数的应用(一) A组 基础训练 1．D　解析：设铁丝的一段长度为x cm(其中0<x<8)，则另一段铁丝长为(8－x)cm， 两个正方形的面积之和为y cm2， 根据题意，可得y＝2＋2＝(x－4)2＋2， 当且仅当x＝4时，y取得最小值，最小值为2 cm2.故选D． 2．D　解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝－1.故选D． 3．C　解析：设这批台灯的销售单价为x元，由题意得[30－2(x－15)]·x>400， 即x2－30x＋200<0，解得10<x<20.又因为x≥15，所以15≤x<20， 这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|15≤x<20}．故选C． 4．125　解析：由已知投入广告费用为3万元时，销售利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125. 5． 解：(1)由题意，得xy＝3(x－y＋15)， 整理得y＝3＋. 由y>x>0，得3＋>x>0，即解得0<x<3， 所以y关于x的函数解析式是y＝3＋，0<x<3. (2)展牌的周长L＝2x＋2y＝2x＋6＋＝2(x＋3)＋≥2＝24， 当且仅当2(x＋3)＝，即x＝3时取等号，此时y＝3＋＝9， 所以设计展牌的长为9m、宽为3m，才能使展牌的周长最小，最小值为24m． B 组 拔高提升 1．B　解析：设打市话x分钟，应支付y元，当x>3时，则y＝0.20＋0.10×([x]－3)([x]是不小于x的最小整数)．令x＝，故[x]＝10，则y＝0.90. 2．BD　解析：甲容器下粗上细，水高变化为逐渐变快，故甲应匹配④；乙容器为球形，水高变化为先逐渐变慢，再逐渐变快，故乙应匹配①；丙、丁容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但丙容器细，丁容器粗，故丙容器水高变化快，丁容器水高变化慢，丙应匹配③，丁应匹配②.故选BD． 3．BC　解析：由图1可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k>0，b<0，k为票价， 当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本； 由图2知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大， 则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确； 由图3知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高， b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故选BC． 4． 100　[60，100]　解析：设每小时的油耗为y L，根据题意得y＝，则当x＝120时，y＝＝11.5，解得k＝100，所以y＝.若y≤9，即≤9，解得45≤x≤100.又因为60≤x≤120，所以x的取值范围为[60，100]． 5． 3　30　解析：设四边形EFGH的面积为S， 则S＝13×3－2× ＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0，3]． 因为S＝－2(x－4)2＋32在(0，3]上单调递增， 所以当x＝3时，S有最大值为30. 6． 解：(1)由题意得，当0<x<10时，f(x)＝5x＋9，此时函数单调递增； 当10≤x≤16时，函数f(x)取得最大值，此时f(x)＝59； 当16<x≤30时，f(x)＝－3x＋107，此时函数单调递减． 所以开始授课后10 min，学生的注意力最集中，能维持6 min. (2)当0<x<10时，令f(x)≥55，即5x＋9≥55， 解得≤x<10，达到所需注意力的时间共10－＝(min)； 当10≤x≤16时，f(x)＝59>55，达到所需注意力的时间共6 min； 当16<x≤30时，令f(x)≥55，即－3x＋107≥55，解得16<x≤，则达到所需注意力的时间共－16＝(min)． 因为＋6＋＝<10，所以老师不能在学生的注意力一直不低于55的状态下讲解完这道题． 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $