吉林省吉林毓文中学2025-2026学年下学期期末考试高二数学试题

2025-2026学年度下学期期末考试 高二数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页。考试时间为120分钟。考试 结束后，只交答题卡。 第1卷主观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x-1<x<3},B={x1x224,则AUB=（) A.（-0,-2]U(-1,+o∞)B.（-0,-2]U[-1,3)C.（-1,+o) D.（-1,2] 2.若p:a=2,9:幂函数fx)=(a2-5a+7)x是非奇非偶函数，则p是q的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件 3.在(1+x)”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 则 的常数项为() A.-180 B.180 C.-60 D.60 4若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为 () A.240 B.540 C.630 D.1080 5.已知X~NLo2),P0<X≤3)=0.7，P(0<X≤2)=0,6，则P(x≤3)=( A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 6.若商数f)=二+a-1为偶函数则(2)=( A品 号 D.5 7.已知实数a,b满足a2+b2+ab=1,则下列选项借误的是() A.6的最大值为号 B.+好的最小值为号 C.若a>0,b>0,则a+b≤√2 D.若a<0,b<0,则a+b≤-√2 高二数学试题 第 流只 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 8.已知函数f(x)=e+x,g(x)=mx+x,若f()=g()=t,则22-t(x+为+2) 的最小值为( A.-1 B. 2 c. D.I-e e e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的有( A.经验回归方程)=x+a对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 B.已知y关于x的经验回归方程为y=0.3-0.7则样本点(3，-4)的残差为-2.2 C.以模型y=ce(c>0)去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lmy,求得 经验回归方程为2=4x+0.3,则c,飞的值分别是3和4 D.由两个分类变量X,Y的成对样本数据计算得到X2=8.612,依据a=0.005的独立 性检验(x.os=7.879),可判断X,Z独立 10.关于函数f闭=号-4x+4,下列说法正确的是( A.f(x)的单调递减区间为[-2,2] B.当x∈B,4约时，f)的最小值为-4 3 C了的的板大值为号 D.f(x)在点(0,4)处的切线方程为y=一4x+4 11.某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进 行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把5%的合格零部件判定为不合格，所 以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出 合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为 品则 A,该零部件的合格率为20 B.从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96 ,页共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF C.从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，.则第1次取到合格 品的概率为26 25 D,从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大 第Ⅱ卷 客观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量x的分布列为P(X=利=是，k=123,4,则P(2≤X≤)的值为 13.已知函数f(x)的定义域是R,: 得+小-得-小+6--0，当0≤xs号时， f(x)=4x-2x2,则f(2025)= 14.当x>2时，k<血x+x恒成立，则无的最大整数值为 x-2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=血x-m+1(a∈R) (I)讨论函数f(x)的单调性： (②)若f(x)≤0对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围： 16.(15分)下表提供了甲产品的产量x(吨)与利润y(万元)的几组对照数据 3 5 6 y 2.5 4.5 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程)=x+a; (2)计算决定系数2的值，并判断线性模型拟合的效果， 4-0,-刀xy- 参考公式：6=回 一=y-b成，R2=1- (y- 高二数学试题 第2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 五.(15分)已知函数f因=a2-4x+2,函数)=}Y (1)若函数f(x)在(-o,刂和[，+∞)上的单调性相反，求f(x)的解析式： 回诺a<0,不等式59在(0引 上恒成立，求a的取值范围. 18.(17分)某中学高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得 到如下数据：该学校有二的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及 格”的概率为号：平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成续“及格”的概率为了 (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3 名，记X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望： （3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格”的学生计3分；给 每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望， 19.(17分)已知函数f(x)=x2+2血x-1 (1)求函数y=∫(x)的最小值： (2)证明：对在意x[L∞)，nx≥2红-卫恒成立： x+1 (3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(:,为)，B(:2y)(:<x),如果在函数(x)图象上存 在点M(x,)（其中x∈(，x2))使得点M处的切线AB,则称直线AB存在“伴侣切线”. 特别地，当，=当十立时，又称直线B存在“中值伴侣切线”.试问：当x≥e时，对于函 2 数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论， = 页共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 2025-2026学年度下学期期末考试 高二数学答案及评分标准 一.单项选择题：（本题共8小题， 每小题5分，共40分) 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B D D D A 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.) 题号 9 10 11 答案 BC ACD BCD 三、填空题：（本题共3小题， 每小题5分，共15分。) 12.0.4 13.0 14.4 详解： 1.A 因为B={x|x2≥4)，B={x≤-2或x22},所以AUB={xx≤-2或x>-} 2.D 当a=2,则∫()=x=√F,显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数f(x)=(a2-5a+7)x,则a2-5a+7=1, 即(a-2)(a-3)=0,得a=2或a=3, 若a=2,即∫(x)=为非奇非偶函数，满足， 若a=3,即f(x)=x为奇函数，不满足，所以a=2,故必要性成立， 综上，p是g的充要条件. 3.D CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 因为在(1+x)”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，所以展开式共有7项. 由n+1=7,所以n=6. 设（丘-展开式的通项公式为：元=C(回（到=(2yC号 由6-3=0解得r=2. 2 所以（反-是开式的带数顶为石=(2矿c=45:60. 4.B 先对6张互不相同的优惠券分组，再分配. 按1,14"分组后再分配，不同的分法种数为CCC×A=6x5x1x6=90: A 2 按1,2,3"分组后再分配，不同的分法种数为CCC}×A}=6×10×1×6=360: 按22,2”分组后再分配，不同的分法种数为C3CC×A=15x6=90. A 所以不同的分法种数为90+360+90=540. 5.D 由题意，P(2<x<3)=0.7-0.6=0.1, ,随机变量X~N(1,o2),P(0<X≤2)=0.6，P(1<X≤2)=0.3 ∴.P(1<X≤3)=0.3+0.1=0.4，PX<3)=0.4+0.5=0.9, 故选D. 6.D 由4-1≠0得x≠0， 所以函数的定义域(-o,0)U(0,+∞)关于原点对称， 又函数为偶函数，则对任意x≠0，(-x)=∫(x)恒成立， 即2x 4-7-ar-1= -+ax-l, 2x 整理得2x=2ar,该式对所有x≠0恒成立，故a=1, 创=1 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2x-2）2-1= 所以了-2a)=f-2)=二 15 7.D 对于A,1-=++b22+0=36,则b≤写当且仅当a=b=±取等号，A正确： 3 对于B1-心++助s+少-6.则+6之号 当且仅当a=b=士5取等号，B正确： 3 对于C,当a>06>0时.1=++b=a+6-b2(a+-(2生=a+b9。 当且仅当a=6=5取等号，则(a+≤号2，因此a+655,C正确： 3 对于D,当a<0,b<0时，1=a2+62+ab=(a+b}-ab≥(a+b-(+乌=3a+b2, 2 当且仅当a=0-9取等号，则0>a+62-子>万，D错误 3 8.A 因为f(x)=c*+x,g(x)=lnx+x,f(x)=g(x)=1, 所以c+x=lnx2+x2=c+lnx2, 令h(x)=c+x,(x)=c+I>0, 所以h(x)在R上单调递增， 所以x=ln,即e=2, 所以212-1(+x,+2)=22-1(lnx3+x+2)=22-1(t+2) =2-21=(t-1)3-1≥-1， 当且仅当1=1，x2=1,x=0时等号成立. 故选：A 9.BC 对于A,经验回归方程)=bx+ā对应的经验回归直线经过样本中心，但不一定经过其样本数据点中的一个 点，故A错误： 对于B,已知y关于x的经验回归方程为y=0.3-0.7x,则样本点(3,4)的残差为4-(0.3-0.7×3)=-22， 故B正确： 3 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 对于C,以模型y=ce“(c>O)去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设：=lny, 则lny=ln(ce)=lnc+=4x+0.3→ k=4 k=4 nc=0.3'即 =e,故C正确： 对于D,由两个分类变量X,Y的成对样本数据计算得到x2=8.612>xos=7.879, 依据α=0.005的独立性检验，故判断X,Y不独立，故D错误. 10.ACD 函数/)=-4+4， ∴∫'(x)=x2-4=(x-2)(x+2) 由'(x)=(x-2)(x+2)>0,得x>2或x<-2,此时函数单调递增： 由∫'(x)=(x-2)x+2)<0,得-2<x<2,此时函数单调递减，故A正确： B.4时，了心)单调递增，网的最小值为Θ)=-4×3+4=1，故E 当x=-2时，函数/心取得极大值/八2)=9，故C正确： '(0)=-4,f(0)=4,∴.它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4,故D正确. 11.BCD 设零部件的合格率为x,由题意可得 -x+5%ri,解得x=0.96=2 5%r6 5,放A错误： 从该代工厂加工的零部件中任取100个，记取到的合格品个数为X, 则X~B(100,0.96),E(X)=100×0.96=96,故B正确： 从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个， 至少有1个为合格品的概率为1- 11624 2525625' 24 所以所求概率为 25 25 624-26 故C正确： 625 从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，记取到Y件合格品， P(Y=k+1) 则y-0P= 6 606k 5k+5 60-6k-(5k+5)=55-11k, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP Py=k+>1,当k=5时，PY=) 所以当k≤4时，P(Y=k) P(Y=k+=1, 当k≥6时， PY=k+<1,所以P(Y=5)或P(V=6)最大，故D正确， P(Y=k) 故选：BCD 12.20.4 :P(X=刻=是，k=h2,34 +异号61 16 '.a= 15' 1616 :P(2≤X≤3)=P(K=2+PK=355- 故答案为：子 13.0 曲侵*小尼：创-[}(-) 又∫(x)+f(6-x)=0,∴∫(3-x)+∫(6-x)=0, ∴∫(x)=-f[6-(3-x=-f(x+3),∴∫(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴.f(2025)=∫(6×337+3)=∫(3)=-(0)=0. 14.4 令a侧-.则-(）=42D-2-4 x-2 (x-2月 （x-2)3 因为x-2>0,令86)=x-2nx-4,则g6=1-2--2 xx 当x>2时，g(x)>0,即g(x)在xe(2,+o)上单调递增， 因为g(8)=8-61n2-4=2(2-3ln2)(0,g(9)=9-2ln9-4=5-41n30, 所以3x∈(8,9)，使得g()=x-2hx。-4=0, 则当xe(2,x)时，∫'(x)<0,当xe(o,+o)时，"(x)>0, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 即∫(x)在(2，x)上单调递减，在(x,+o上单调递增， 故在xe(2,+o)时有f)≥），且n=,4 2 又因为W-兰-点+0产产+切白{到 。-22 由题意可知k<∫(x),且k取最大整数， 所以k的最大整数值为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) (1)f()的定义域为(0，+o),了()=-a=1-a -1分 当a≤0时，'(x)>0,∫(x)在(0，+∞)上单调递增： -2分 当a>0时，令∫(x)=0,即l=0,解得x=1, --3分 a 当xo》时，了e0,单调递增： --4分 当x日+时，ey<0,单调递减。 5分 综上，当a≤0时，∫(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，四在0单调递增，在仁 单调递减。 -6分 (2)若了()=nx-r+1≤0对任意x>0恒成立，即a≥血x+对任意x>0恒成立.…7分 令g(x)=hx+1(x>0),即a≥g(x)即可-8分 1.x-(nx+1)Inx, g'(x)= x2 令g似=0即-是=0.解得x=19分 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减： -----11分 所以g()=g)=h1+1-1,所以a≥1…12分 故实数a的取值范围为[1，+∞).13分 6 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 16.(15分) (1)x=4.5,=3.5,-1分 .nm.=4×4.5×3.5=63,nm2=4×4.52=81,--3分 =7.5+12+20+27=6.5,2x2=9+16+25+36=86 5分 2-m阿 6= 66.5-63=0.7, --6分 -@ 86-81 .a=-b际=3.5-0.7×4.5=0.35，-7分 .y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35.-8分 (2)20y-列2=(2.5-3.5}2+3-3.52+(4-3.5}2+4.5-3.52=2.5，…10分 预测值如下表： 3 6 y 2.45 3.15 3.85 4.55 故20y-2=(2.5-2.45}2+3-3.152+(4-3.85}2+(4.5-4.55列2=0.05…12分 20,- ∴R2=1- =10.05 =098, -14分 20y-列 2.5 ∴线性模型拟合的效果较好. -15分 17.(15分) (1)因为函数∫(x)=a2-4x+2在(-∞，和[山，+∞)上的单调性相反， 所以函数∫(x)为二次函数且对称轴为x=1,2分 即-21a=2, --3分 所以∫(x)=2x2-4x+2.4分 2由题意：s9目9-传付 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP )s在xo引恒成立， -6分 在R上单调递减， 所以问题转化为ar2-4x+2≥-2在x∈ 0,2 上恒成立， -8分 即a+在引上恒成立。 x2 等价于求=-+在xe引上的大做 -10分 令=安由xe0引 则1e[2,+o), 则p(0)=-412+4,1∈[2，+o), 4 由该函数对称轴为1=2×可2且该二次函数开口向下， 所以p()在1∈[2，+∞)上单调递减， 所以p()≤p(2)=-4×2+4×2=-8,-14分 所以a≥-8，又a<0,所以a的取值范围是[-80).-15分 18.(17分) (1)解：设事件A=“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”， 则A=“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件B=“抽取1名学生，该学生体测成锁达到及格等级”， 34.1141 由全概率公式，可得P(B)=P(A)P(B|)+P(A)P(B|A)=三×二+二× -3分 454360 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到及格”等级的概率为 60 4分 (2)解：根据题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,5分 可限P-0-答-名Px=管-是 C56 P心x=2罗-岩P(x=到=答 9分 6 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 5 56 56 28 所以期望为E(X)=0 1x15 2x5 +3× 5=3×5=15 56 28 -11分 56 288 8 (3)解：设Y表示“及格”学生人数，Z表示“总得分”， 41 则变量Y~B10, 其中Z=3Y+10-Y=2y+10, -15分 .60 所以80)=0甜名则82)=2x号410=習 -17分 6 3 19.(17分) 解：(1)定义域：(0，+o)…1分 当xe(0.c时，)=x2+20--Hx)/(x)=2x-22r-》 ，-2分 xx 令∫'(x)>0得x∈L,c功"'(x)<0得x∈(0，)， 所以∫'()在(0，上单调递减，在[l,c)上单调递增，-3分 当x∈[c,+o)时，∫)=x2+2nx-l),')=2x+2>0对xc,∞)恒成立 所以∫(x)在[c,+∞)单调递增，4分 故f(x)mn∫(0)=3.5分 (2)由nx≥2x-=2-4enx+4≥2， x+1 x+1 x+1 6分 令g(x)=lhx+ e≥，则g-g产 x+)xx+’ -7分 因为x≥1，显然g(x)≥0，所以g(x)在[1，+∞)上单调递增， ----8分 显然有g(x)之g(1)=2恒成立.（当且仅当x=1时等号成立).-9分 (3)当x2e时，)=x2+20nx-),fw=2x+2 ，-10分 假设函数∫(x)存在“中值伴侣切线” 设A(:,y),B2,2)是曲线y=∫(x)上的不同两点，且0<x<x, 则y=x+2(nx-1),2=号+2（血2-）.故直线AB的斜率： 9 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP k0=-2_+20m-]-[s+2m3-] x-53 X-X2 =(G+x)+2.l血-ns -12分 X一x2 曲线在点M(xo,o)处的切线斜率： =f)=f空)=6+)+4 ----13分 x+X2 依愿意得（低+x)+2.血-h=+)+.4 x-x2 X1+x3 化简可得 Inx-Inx=2 x2-出x+x3 2(-1) 即n点-2--.…15分 xx2+x点+1 X 设空=1（>1，上式化为n1=2-,由(2)知1>1时，1n1>2-恒成立 1+1 1+1 所以在(，+o)内不存在1，使得n1=2-》成立. -16分 1+1 综上所述，假设不成立.所以函数(x)不存在中值伴侣切线”.--17分 10 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP