精品解析：辽宁铁岭市昌图县2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

七年数学北师大 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 国产新能源汽车零部件做工精密，某车载芯片元件厚度约米，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a和b被直线c所截，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 买一张彩票，中奖 B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上 6. 如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9. 一木工师傅有两根长分别为，的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择的木条长度合适的是（ ） A. B. C. D. 10. 柿子熟了，从树上落下来，下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？（ ） A. (1) B. (3) C. (4) D. (2) 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则的余角的度数是_______． 12. 若，则______． 13. 如图，将长方形纸片沿折叠，点、分别落在点，处，如果，则的度数为______． 14. 如图，梯形中，，，垂足为E，上底，下底，高，梯形的面积为y，写出y与x之间的关系式______．（不需要写出自变量x的取值范围） 15. 已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，点D为线段上的一点，过点D作射线，平分． （1）尺规作图：过点O作，交射线于点C（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的度数． 18. 定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），若，则称是的“增项式”；若，则称是的“恒项式”． （1）若，均为关于的多项式，求证：是的“增项式”； （2）若，均为关于的多项式，且是的“恒项式”，求的值． 19. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： （1）上表中的______； （2）根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； （3）请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？ 21. 下面的图像记录了某地5月份某天的气温随时间变化的情况，请你仔细观察图像后回答下面的问题： （1）该情境中的自变量是______；因变量是______； （2）在什么时间范围内气温上升？ （3）图中的A点表示什么？ （4）该地这一天的最高气温是多少，是在何时达到的？ 22. 如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 23. 【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． （1）根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 （2）若实数x，y满足，且，求的值； （3）若， ，求的值； （4）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年数学北师大 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 国产新能源汽车零部件做工精密，某车载芯片元件厚度约米，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值小于的数，形式为，要求，为整数． 【详解】解：． 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；据此判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，故该选项符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：合并同类项时，系数相加，字母及指数不变，，故A错误； 对于选项B：单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂相乘，，故B错误； 对于选项C：积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，，故C错误； 对于选项D：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故D正确． 4. 如图，直线a和b被直线c所截，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等可知 ，结合  即可得到答案． 【详解】解：如图， ，， ． 又， ． 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 买一张彩票，中奖 B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：买一张彩票中奖是随机事件，不一定发生，故A错误； 对于选项B：车辆随机到达路口遇到红灯是随机事件，不一定发生，故B错误； 对于选项C：掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，不一定发生，故C错误； 对于选项D：花生油密度小于水，因此将花生油滴入水中，油一定会浮在水面上，是必然发生的事件，故D正确． 6. 如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、根据，和能推出，故本选项符合题意； B、根据，，不能推出，故本选项不符合题意； C、根据，和不能推出，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出，故本选项不符合题意． 7. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：完全平方公式为， 将对应完全平方公式可得，，即，， ∴， ∴． 8. 如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 9. 一木工师傅有两根长分别为，的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择的木条长度合适的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项得到正确答案． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， 观察选项可知，只有选项B在该范围内． 10. 柿子熟了，从树上落下来，下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？（ ） A. (1) B. (3) C. (4) D. (2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据自由落体运动的公式直接判断函数关系式，再判断函数图象． 【详解】解：柿子熟了，从树上落下来，基本是自由落体运动， 即，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大． 符合条件的只有（3）． 故选：B． 【点睛】本题把物理中的自由落体运动与函数结合起来，体现了各学科之间的联系，锻炼了学生对所学知识的综合运用能力． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则的余角的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是求解一个角的余角，根据和为的两个角互余可得答案． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数是； 故答案为： 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，将长方形纸片沿折叠，点、分别落在点，处，如果，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠得到，由即可得到答案． 【详解】解：由折叠可知，， ，， ． 14. 如图，梯形中，，，垂足为E，上底，下底，高，梯形的面积为y，写出y与x之间的关系式______．（不需要写出自变量x的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】根据梯形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，梯形的面积为， ∴y与x之间的关系式为． 15. 已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，由题意得，垂直平分，则，由角平分线性质得，根据的面积为12，列关于的式子，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得，垂直平分， ， 平分，，， ， 的面积为12， ，即， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ； 当时，原式． 17. 如图，点D为线段上的一点，过点D作射线，平分． （1）尺规作图：过点O作，交射线于点C（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1）如图，射线，点即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心，线段为半径画弧交于点，以点为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点； （2）由垂线的定义可得，由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由作图可得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），若，则称是的“增项式”；若，则称是的“恒项式”． （1）若，均为关于的多项式，求证：是的“增项式”； （2）若，均为关于的多项式，且是的“恒项式”，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴是的“增项式”． （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算出与，根据“增项式”的定义进行判断即可； （2）先计算出，分两类讨论，当时，为单项式，为二项式，不符合题意；当时，则和都是二项式，因此，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ①当时， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的“增项式”，与题意矛盾； ②当时，则， ∵是的“恒项式”， ∴，即多项式为二项式， ∵，且， ∴， 解得． 19. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明： ． 在和中， 由, ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，得到，选择适当的判定定理证明即可； （2）根据三角形全等的性质，结合线段的和差计算即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 20. 如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： （1）上表中的______； （2）根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； （3）请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据落在不规则图案内的频率落在不规则图案的次数试验次数，计算即可得出结果； （2）由频率估计概率，并结合表格分析即可得出结果； （3）先求出长方形的面积，再结合沙包落在阴影区域的概率是，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解：根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是； 【小问3详解】 解：长方形的面积为， 故不规则图案的面积大约． 21. 下面的图像记录了某地5月份某天的气温随时间变化的情况，请你仔细观察图像后回答下面的问题： （1）该情境中的自变量是______；因变量是______； （2）在什么时间范围内气温上升？ （3）图中的A点表示什么？ （4）该地这一天的最高气温是多少，是在何时达到的？ 【答案】（1）时间；气温 （2）从4时到14时内气温上升 （3）A点表示8时的气温为 （4）该地这一天最高气温是，在14时达到 【解析】 【分析】（1）根据横轴纵轴含义区分自变量、因变量； （2）观察图像上升段对应的横轴时间区间； （3）结合横纵坐标解读点A的实际意义； （4）找到图像最高点，读取对应气温与时间． 【小问1详解】 解：横轴代表时间，自主变化；纵轴代表气温，随时间改变， ∴自变量是时间；因变量是气温． 【小问2详解】 解：由图像得，从4时到14时内气温上升. 【小问3详解】 解：A点横坐标为8，纵坐标为21， ∴A点表示8时的气温为． 【小问4详解】 解：图像最高点横坐标14，纵坐标26， 答：该地这一天最高气温是，在14时达到． 22. 如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． （1）根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 （2）若实数x，y满足，且，求的值； （3）若， ，求的值； （4）若，，求的值． 【答案】（1）①; ② （2）49 （3）61 （4）19 【解析】 【分析】（1）利用大正方形面积减去分割图形面积推导图2等式，整体正方形面积等于各小矩形面积和推导图3等式； （2）由整体代入计算； （3）套用直接代值；（4）先推出的值，再将原式变形为后代入求值． 【小问1详解】 解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： . ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： . 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解：， ， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $