精品解析：辽宁大连市甘井子区第七十六中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末学习质量检测试卷 八年级数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 1，2， C. 13，14，15 D. ，， 4. 某市居民生活用水的价格为5元，记某户的月用水量为，月应缴水费为y元，其中的常量是（ ） A. 生活用水每吨的价格 B. 某户的月用水量x C. 月应缴水费y D. 某户的月用水量x和月应缴水费y 5. 如图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间对应关系．判断下列说法正确的是（ ） A. 食堂离小明家 B. 小明在图书馆读报用了 C. 小明家离图书馆 D. 小明从图书馆回家平均速度是 6. 一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为，则这个正多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图矩形，，E为中点，G，H分别为中点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 8. 关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 点一定在函数图象上 D. 和是图象上两点，则 9. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 15 10. 八年级男生1000米长跑其中5名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这5名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这5名学生最优分组的序号是（ ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 、、、 2 、 、、 3 、、 、 4 、、、 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________. 12. 在如图1的矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则的长是_______． 13. 如图一次函数与的图象，则不等式 的解集为____________________ 14. 某公司招聘一名英文翻译，某应聘者的听、说、读、写成绩分别为70分、75分、80分、85分，最后成绩中听、说、读、写成绩按照的比确定，那么该应聘者最后的成绩为________分． 15. 如图，矩形，．将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F． 则的周长____________________． 三．解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）解方程： 17. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． （1）试判断的形状；并说明理由 （2）如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 18. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲队在的时段内，y与x之间的函数关系式； （2）乙队在的时段内，y与x之间的函数关系式； （3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？ 19. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，则四边形的面积为 ． 20. 某市射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图．并绘制了A、B两名运动员的箱线图 【数据分析】 （1）计算平均数， （环）， （环）：通过散点图比较： （“”“ ”或“”）： （2）根据下表计算四分位数．①②③代表的数据分别是 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 21. 某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知可供选择的甲、乙两种型号的机器人的价格和工作效率如下表： 每台价格（万元） 7 4 每台每小时分拣快递件数（件） 1500 1000 该公司计划购买10台机器人，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于11200件． （1）设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y与x之间的关系式及自变量x的取值范围； （2）购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 22. 综合实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． 【操作判断】 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点P，沿折叠，使点B落在矩形内部点Q处，把纸片展平，连接． （1）根据以上操作，如图①，当点Q落在上，，求的长； 【迁移探究】 （2）如图②，甲同学将矩形纸片换成边长为6的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点Q落在上，延长交于点M，则的长 ； 【拓展应用】 （3）乙同学将边长为6 的正方形纸片对折，得到折痕，连接， 沿折叠，B的对应点Q落在上，如图③，过P点作于点N，求的长度． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数 组成新函数y （1）如图（1），当，一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， ①求证：； ②点P在线段上，纵坐标为，若点P到直线的距离为，则点P坐标 ． （2）如图（2），当，一次函数，且，过B作轴，，过E作y轴平行线交直线于F，以、为邻边构造矩形，若一次函数y与矩形只有2个交点时，求a的取值范围？ （3）若时，点，都在一次函数上，当，时，都有，求k的取值范围？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学习质量检测试卷 八年级数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故不符合题意； B．，不是最简二次根式，故不符合题意； C．是最简二次根式，符合题意； D．，不是最简二次根式，故不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则、合并规则、算术平方根的性质逐一判断选项即可． 【详解】选项A： ， 故A正确； 选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 选项D：，故D错误． 3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 1，2， C. 13，14，15 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可． 【详解】选项A，∵，，，不能组成直角三角形，∴A不符合题意； 选项B，∵，，即，能组成直角三角形，∴B符合题意； 选项C，∵，，，不能组成直角三角形，∴C不符合题意； 选项D，∵，，，不能组成直角三角形，∴D不符合题意． 4. 某市居民生活用水的价格为5元，记某户的月用水量为，月应缴水费为y元，其中的常量是（ ） A. 生活用水每吨的价格 B. 某户的月用水量x C. 月应缴水费y D. 某户的月用水量x和月应缴水费y 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义判断变化过程中数值不变的量即为常量． 【详解】由题意得，， ∵水的单价始终保持5元不变，月用水量和月应缴水费都会发生变化， ∴常量是生活用水每吨的价格． 5. 如图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间对应关系．判断下列说法正确的是（ ） A. 食堂离小明家 B. 小明在图书馆读报用了 C. 小明家离图书馆 D. 小明从图书馆回家平均速度是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据逐项分析即可求解． 【详解】解：A、食堂离小明家，故A选项说法错误，不符合题意； B、小明在图书馆读报用了，故B选项说法错误，不符合题意； C、小明家离图书馆，故C选项说法错误，不符合题意； D、小明从图书馆回家的平均速度是为：，故D选项说法正确，符合题意． 故选：D． 6. 一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为，则这个正多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和和内角综合，设这个多边形的一个外角度数为x，则这个多边形的一个内角的度数为，根据正多边形一个内角和一个外角互补得到，解方程求出一个外角的度数，再根据正多边形外角和为360度即可求出边数． 【详解】解：设这个多边形的一个外角度数为x，则这个多边形的一个内角的度数为， 由题意得， ， 解得， ∴这个正多边形的边数为， 故选D． 7. 如图矩形，，E为中点，G，H分别为中点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵G，H分别为中点， ∴是的中位线， ∴． 8. 关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 点一定在函数图象上 D. 和是图象上两点，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴图象过一，二，三象限，的值随值的增大而增大，故A，B选项错误； 当时，， ∴点一定在函数图象上；故C选项正确； ∵和是图象上两点，且， ∴；故D选项错误； 故选C． 9. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：观察统计表中“个数”对应的“人数”，个数出现次，个数出现次，个数出现次，个数出现次，个数出现次 ．因为，即个数出现的次数最多． ∴“引体向上”的个数的众数是11， 故选C 10. 八年级男生1000米长跑其中5名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这5名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这5名学生最优分组的序号是（ ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 、、、 2 、 、、 3 、、 、 4 、、、 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，要使同组内水平接近，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较四个分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组序号即可得到答案． 【详解】解：， 对应组内离差平方和越小，越符合最优分组满足同组水平接近的要求， 序号3的组内离差平方和最小，是最优分组． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________. 【答案】x≥-5 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质． 概念：式子（a≥0）叫二次根式． 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 12. 在如图1的矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则的长是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据动点P的运动路径，分析的面积y随路程x的变化情况，结合函数图象读取数据计算即可． 【详解】解：由题意可知，当点P在上运动时，的面积y随x的增大而增大， 当时，面积开始保持不变，则此时点P运动到点C，即， 当时，面积开始减小，说明此时点P运动到点D，即，  ． 13. 如图一次函数与的图象，则不等式 的解集为____________________ 【答案】 【解析】 【分析】求不等式  的解集，即确定函数  的图象在函数  的图象下方（包含交点）时自变量  的取值范围； 【详解】解：由图象可知，一次函数与的图象交点的横坐标为， 观察图象可知，当时，直线的图象位于直线的图象下方或重合， 不等式的解集为． 14. 某公司招聘一名英文翻译，某应聘者的听、说、读、写成绩分别为70分、75分、80分、85分，最后成绩中听、说、读、写成绩按照的比确定，那么该应聘者最后的成绩为________分． 【答案】79.5 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法代值求解即可得到答案，熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键． 【详解】解：， 应聘者最后的成绩为分， 故答案为：79.5． 15. 如图，矩形，．将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F． 则的周长____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，则，再由折叠的性质得，推出，设，则，然后由勾股定理求出，最后求得的长即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ， 的周长为． 三．解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ． 17. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． （1）试判断的形状；并说明理由 （2）如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意知，（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （2）北偏西 【解析】 【分析】（1）根据“距离速度时间”求出的值，再利用勾股定理逆定理求出结果； （2）利用方向角求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵“远航”号沿北偏东50°方向航行， ∴， ∴， ∴“海天号”沿北偏西航行． 18. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲队在的时段内，y与x之间的函数关系式； （2）乙队在的时段内，y与x之间的函数关系式； （3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（1）（2）所求，联立两个解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲队在的时段内y与x之间的函数关系式， 由图可知，函数图象过点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设乙队在的时段内y与x之间的函数关系式为， 由图可知，函数图象过点， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得， ∴当时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，求一次函数解析式，正确求出两个函数解析式是解题的关键． 19. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，相交于点， ，，， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理． （1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据矩形的性质可推出，即可得证； （2）连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，再根据勾股定理求出的值，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为：． 20. 某市射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图．并绘制了A、B两名运动员的箱线图 【数据分析】 （1）计算平均数， （环）， （环）：通过散点图比较： （“”“ ”或“”）： （2）根据下表计算四分位数．①②③代表的数据分别是 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 【答案】（1）9； （2）①②③代表的数据分别是；；； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强，所以选择B选手参加青少年射击比赛． 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的意义解答即可； （2）先把选手A，B的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【小问1详解】 解：运动员B的平均数为：环， 根据散点图得：运动员A的成绩的波动比运动员B大， ∴ ； 【小问2详解】 解：方法一：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， ∴中位数为，即②代表的数据是； ∵前半部分的4个数据为6，7，8，9， ∴下四分位数为，即①代表的数据是； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10，后半部分的4个数据为9，9，10，10， ∴上四分位数为，即③代表的数据是； 方法二：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10，共8个， 中位数为，即②代表的数据是； ∵， ∴取第2位和第3位的平均数，故下四分位数为，即①代表的数据是； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10， ∵， ∴取第6位和第7位的平均数，故上四分位数为，即③代表的数据是； 【小问3详解】 略 21. 某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知可供选择的甲、乙两种型号的机器人的价格和工作效率如下表： 每台价格（万元） 7 4 每台每小时分拣快递件数（件） 1500 1000 该公司计划购买10台机器人，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于11200件． （1）设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y与x之间的关系式及自变量x的取值范围； （2）购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）y=3x+40（3≤x≤10，x为整数）；（2）买甲型机器人3台，乙型机器人7台时，所需费用最少；最少费用是49万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到y与x之间的关系式，再根据这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于11200件，可以得到x的取值范围； （2）根据（1）中的结果，利用一次函数的性质，可以得到y的最小值，本题得以解决． 【详解】解：（1）依题意得：y=7x+4(10-x)=3x+40， ∵10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于11200件， ∴1500x+1000(10-x)≥11200，且0≤x≤10 解之得2.4≤x≤10， 又∵x为整数， ∴3≤x≤10 答：y与x的函数关系式为y=3x+40（3≤x≤10，x为整数）； （2）∵y=3x+40中，k=3>0,y随x的增大而增大， ∴当x=3时，y最小=49（万元） 答：买甲型机器人3台，乙型机器人7台时，所需费用最少；最少费用是49万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 22. 综合实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． 【操作判断】 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点P，沿折叠，使点B落在矩形内部点Q处，把纸片展平，连接． （1）根据以上操作，如图①，当点Q落在上，，求的长； 【迁移探究】 （2）如图②，甲同学将矩形纸片换成边长为6的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点Q落在上，延长交于点M，则的长 ； 【拓展应用】 （3）乙同学将边长为6 的正方形纸片对折，得到折痕，连接， 沿折叠，B的对应点Q落在上，如图③，过P点作于点N，求的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）设，同理（1）得：，连接，根据正方形的性质以及折叠的性质可得，，再求出，可得，从而得到，证明，可得，再由，即可求解； （3） 连接，根据正方形的性质以及折叠的性质可得，，根据勾股定理求出，可得，设，则，在和中，利用勾股定理可得，可求出y的值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：设， 同理（1）得：， 连接， ∵四边形为正方形，且边长为6， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵四边形为正方形，且边长为6， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即 ∵，即， ∴四边形为矩形， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数 组成新函数y （1）如图（1），当，一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， ①求证：； ②点P在线段上，纵坐标为，若点P到直线的距离为，则点P坐标 ． （2）如图（2），当，一次函数，且，过B作轴，，过E作y轴平行线交直线于F，以、为邻边构造矩形，若一次函数y与矩形只有2个交点时，求a的取值范围？ （3）若时，点，都在一次函数上，当，时，都有，求k的取值范围？ 【答案】（1）①证明：∵一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， 令，则；令，则， 解得：或， ∴，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； ② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据已知条件通过一次函数与坐标轴的交点求出点A和点B的坐标，从而得出是等腰直角三角形，进而推出结论； ②在线段上取点P，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接，根据已知条件利用平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式求出点K的坐标表达式，再利用等面积法列出方程求得的值，从而求出点P的坐标； （2）根据已知条件结合图象，利用矩形的性质分析讨论矩形与一次函数y的临界点，从而得出一元一次不等式组求解出a的取值范围； （3）根据已知条件结合图象分析讨论点M的位置，从而求出k的取值范围． 【小问1详解】 ①略； ②解：如图，在线段上取点P，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∵点P的纵坐标为，且在线段上， 又∵， 将代入得：， ∴， 将点P代入直线的解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 则点P的横坐标为， ∴． 【小问2详解】 解：如图，设与的交点为Q， ∵轴，，， ∴，， ∵以、为邻边构造矩形，且一次函数y与矩形只有2个交点， ∴点必为矩形边上的交点， 又∵， ∴x的取值关于y轴对称， 此时分情况讨论矩形与一次函数y的临界点情况： ①当矩形与线段有交点时，即点F在线段上， 令，代入得， ∴； ②当矩形与线段有交点时，即点Q在线段上， 令，代入得，则， ∴， 要使一次函数y与矩形只有2个交点， 则需满足线段与矩形无交点，矩形与线段有两个交点， ∴，解得：， ∴a的取值范围是． 【小问3详解】 解：由一次函数y可知，与恒过点， ∵时，点，都在一次函数y上，且， ∴点固定在直线上， 要使恒成立，此时分情况讨论： ①当点在图象上时，如图： 由图象可知，要满足恒成立，则左边最小值大于右边最大值， ∴当时，， 当时，， ∴，解得：， 即； ②当点在图象上时，如图： 由图象可知，要满足恒成立，则点M在点N的右侧， ∴，解得：， 综上所述，k的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $