精品解析：辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024－2025学年度第二学期期末学习质量抽测 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某校男子足球队部分球员的年龄（单位：岁）：14，14，15，15，15，15，15，16，16，16，17，这些队员年龄的众数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 2. 如图，把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为（ ） A B. C. D. 3. 某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（ ） A. 常量50；变量． B. 常量，50；变量． C. 常量，50；变量． D. 常量，50；变量，． 4. 使二次根式有意义的的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 如图，点在数轴上，，过点作，且，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6. 如图，的对角线，相交于点，且分别是，，，的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩 1.70 1.75 180 人数 2 3 2 3 4 1 这些运动员成绩的中位数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 两条直线平行，内错角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形锐角三角形 9. 如图，在中，，，，若将绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 005 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是甲、乙两名射由运动员的10次射击训练成绩的折线统计图观察图形，比较甲、乙这10次射击成绩的方差、的大小：_____ （填“＞”、“＜”或“＝”） 12. 已知点与点关于原点对称，则______． 13. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若，，则菱形ABCD的周长是______． 14. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力两个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则综合成绩最高的选手是______． 选手 演讲内容 演讲能力 甲 90 85 乙 85 95 15. 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量／（人／辆） 45 30 租金／（元／辆） 400 280 设租用辆甲种客车，则租车费用（单位：元）关于表达式为______（不要求写出自变量的取值范围）． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，一木杆在点处折断，离地面的距离，木杆顶端点落在地面，离木杆底端的距离，，求木杆折断之前有多高？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴分别交于点，点为直线上的一点，请根据函数图象回答下列问题： （1）求的面积； （2）由函数图象可知，当时，______，当时，的取值范围是______，当时，的取值范围是______． 19. 某校为了解八年级一班、二班学生的体质健康情况，从两个班级中各随机抽取10名学生进行体质健康测试．根据《国家学生体质健康标准》规定的学生体质健康等级标准：优秀：，良好：，及格：，不及格：，对每班各10名学生的成绩（单位：分）进行数据的整理与分析．绘制的统计图表如下： 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 一班 85 85 60 二班 85 45 根据以上统计信息，解答下列问题． （1）请直接写出______分，______分，求的值； （2）请你选择适当的统计量，评价一班和二班学生的体质健康情况； （3）若一班和二班人数均是50人，请你估计哪个班级体质健康等级是优秀的学生更多，说明理由． 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线AC上，连接BE、BF、DE、DF，且．求证：． 21. 甲、乙两人沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲骑自行车出发后，乙乘汽车出发去B地，甲、乙两人先后到达B地．甲、乙两人行驶的路程（单位：）与甲行驶时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）请直接写出______； （2）求甲、乙两人行驶的路程与甲行驶时间之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）甲出发后，在乙未追上甲之前，当两车之间的路程为时，请直接写出甲行驶的时间为______． 22. 【发现问题】 在学习菱形的时候，小明发现菱形符合八年级上学期学过的筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，菱形是一种特殊的筝形． 【初步应用】 （1）如图1，在菱形中，点是边的中点，点是射线上一点，连接，，将沿所在直线翻折到，点恰好落在上．求证：四边形和四边形都是筝形． 【类比迁移】 （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并证明． 【解决问题】 （3）将（1）中的“菱形”改为“矩形”，增加“，，且”，其他条件不变，请直接写出______（用含的代数式表示）． 23. 如图1，已知直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点，直线与交于点． （1）求点的坐标； （2）直线与分别交于点，关于直线的对称直线为，直线与轴交于点． ①在直线上分别取点，，当时，求证：； ②当时，在四边形中，若，请直接写出此时的值______； ③，与组成新函数，其中与轴交点为，当时，点是新函数图象上的一点，当点是图象的最低点时，的面积记为，当点是图象的最高点时，的面积记为，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期末学习质量抽测 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某校男子足球队部分球员的年龄（单位：岁）：14，14，15，15，15，15，15，16，16，16，17，这些队员年龄的众数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义． 众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此作答即可． 【详解】解：14出现2次；15出现5次；16出现3次；17出现1次， ∴15出现次数最多， ∴众数是15， 故选：B． 2. 如图，把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的概念作答即可． 【详解】解：由题意可知把图中的图案，绕着它的中心旋转，要使旋转后的图形与自身重合，旋转角的度数至少为， 故选：B． 3. 某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（ ） A. 常量50；变量． B. 常量，50；变量． C. 常量，50；变量． D. 常量，50；变量，． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键； 根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答． 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式． 所以，和均为变量． 故选：D． 4. 使二次根式有意义的的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出≥0，求出不等式的解集即可； 【详解】解：要使有意义，必须≥0，即， 所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是； 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数不能是负数. 5. 如图，点在数轴上，，过点作，且，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容． 根据勾股定理求出的长，即的长，再根据绝对值的意义求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 又∵点C在原点的右侧， ∴点C所表示的数为， 故选：C． 6. 如图，的对角线，相交于点，且分别是，，，的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形、正方形和菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可判断A正确；然后根据不一定相等即可判断B和D错误，根据不一定垂直即可判断C错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵分别是，，，的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，则选项A正确； ∵不一定相等， ∴不一定相等， ∴四边形不一定是矩形，也不一定是正方形，则选项B和D错误； ∵不一定垂直， ∴不一定垂直， ∴四边形不一定是菱形，则选项C错误； 故选：A． 7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 这些运动员成绩的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的意义，熟练掌握中位数的定义是解题的关键； 中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数．总共有15个数据，中位数为第8个数据． 【详解】已知有15名运动员，即数据个数，15是奇数． 将数据从小到大排列后，中位数是第个数据． 将成绩按从小到大排列： （2人）、（3人）、（2人）、（3人）、（4人）、（1人）． 累计人数：前2个为，接下来3个为（累计5人），再2个为（累计7人），第8个数据落在的3人中． 因此，中位数为， 故选：C． 8. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 两条直线平行，内错角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形是锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判定，逆命题的真假，解题的关键是将命题改成逆命题． 判断各选项的逆命题是否为真．逆命题是将原命题的条件和结论互换，需逐一验证其正确性． 【详解】A． 原命题：“两直线平行，内错角相等”．逆命题：“内错角相等，两直线平行”．根据平行线判定定理，内错角相等则两直线平行，逆命题成立，故本题符合题意； B． 原命题：“ 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．逆命题：“绝对值相等的两个实数相等”．反例：但，逆命题不成立，故本题不符合题意； C． 原命题：“全等三角形的对应角相等”．逆命题：“对应角相等的两个三角形全等”．对应角相等仅说明相似，不全等，逆命题不成立，故本题不符合题意； D． 原命题：“等边三角形是锐角三角形”．逆命题：“锐角三角形是等边三角形”．锐角三角形只需三个角均小于90°，未必等边，逆命题不成立，故本题不符合题意； 故选：A． 9. 如图，在中，，，，若将绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质以及勾股定理，注意掌握数形结合思想的应用，由在中，，，，可求得的长，然后由绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，可得是等腰直角三角形，继而求得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转后，点A对应点为D， ∴， ∴， 故选：D． 10. A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键在于列出相应的不等式，解相应的不等式． 根据收费方式A和B的计费规则，分别建立费用与上网时间的函数关系式，通过比较确定满足的x范围． 【详解】收费方式： 月使用费30元，包时上网时间，超时费元，即元， 当时，； 当时， ． 对于收费方式： 月使用费50元，包时上网时间，超时费元，即元 当时，； 当时， ． 分情况讨论时x的取值范围 当时： ，，此时，即，不满足． 当时： ，，若，则， 解得 ． 结合前提，此时的取值范围是 ． 当时： ，， ， 即恒成立 ． 综上，的取值范围是， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是甲、乙两名射由运动员的10次射击训练成绩的折线统计图观察图形，比较甲、乙这10次射击成绩的方差、的大小：_____ （填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】利用折线统计图可判断乙运动员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得乙运动员的成绩波动较大， 所以． 故答案为＜ 【点睛】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．也考查了方差的意义． 12. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握：关于原点对称的点坐标，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．由题意知，，再解方程求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 13. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若，，则菱形ABCD的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：菱形的两条对角线相交于，，，由菱形对角线互相垂直平分， ，， 菱形的周长 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，根据勾股定理计算的长是解题的关键． 14. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力两个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则综合成绩最高的选手是______． 选手 演讲内容 演讲能力 甲 90 85 乙 85 95 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数． 利用加权平均数的公式计算比较即可． 【详解】解：由已知可得， 甲的综合成绩：（分） 乙的综合成绩：（分） ∵， ∴乙选手的综合成绩高于甲选手的综合成绩， 故答案为：乙． 15. 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量／（人／辆） 45 30 租金／（元／辆） 400 280 设租用辆甲种客车，则租车费用（单位：元）关于的表达式为______（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．根据题意可得保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6，再由要使每辆汽车上至少要有1名教师，可得汽车总数不能大于6，即可得到共需租6辆汽车，设租甲型辆，费用共元，根据题意，列出函数的关系式即可． 【详解】解：（辆）……15（人），（辆）， ∴保证名师生都有车坐，汽车总数不能小于6， ∵只有6名教师， ∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6， 综上可知：共需租6辆汽车． 设租用辆甲种客车，则租车费用（单位：元）关于的表达式为， 即， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘法和除法法则计算，再合并同类二次根式； （2）先根据二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，一木杆在点处折断，离地面的距离，木杆顶端点落在地面，离木杆底端的距离，，求木杆折断之前有多高？ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用勾股定理解决实际问题，正确理解题意中的数量关系构建勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ． ． 木杆折断之前高为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴分别交于点，点为直线上的一点，请根据函数图象回答下列问题： （1）求的面积； （2）由函数图象可知，当时，______，当时，的取值范围是______，当时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，与坐标轴围成三角形面积，利用图象解不等式，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）分别令和求出，，得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）将将代入求得，然后利用图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线的图象与轴、轴分别交于点 ∴当时，；当时，，即 ∴， ∴， ∴的面积； 【小问2详解】 将代入，得 ∴ ∴由图象可得，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是． 19. 某校为了解八年级一班、二班学生的体质健康情况，从两个班级中各随机抽取10名学生进行体质健康测试．根据《国家学生体质健康标准》规定的学生体质健康等级标准：优秀：，良好：，及格：，不及格：，对每班各10名学生的成绩（单位：分）进行数据的整理与分析．绘制的统计图表如下： 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 一班 85 85 60 二班 85 45 根据以上统计信息，解答下列问题． （1）请直接写出______分，______分，求的值； （2）请你选择适当的统计量，评价一班和二班学生的体质健康情况； （3）若一班和二班人数均是50人，请你估计哪个班级体质健康等级是优秀的学生更多，说明理由． 【答案】（1）85，80，82.5 （2）见解析 （3）两个班级体质健康等级是优秀的学生一样多 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数，众数和中位数，样本估计总体，解题的关键是从图表中获取信息，正确进行计算． （1）根据平均数，众数和中位数的定义求解即可； （2）从方差，中位数和众数分析判断即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 ； 二班10名学生的成绩中80的人数最多 ∴； 这组数据按由小到大排序，中位数为处于中间的两个数80，85的平均数， 即中位数（分）． 【小问2详解】 一班的方差比二班的大，说明二班的体质健康成绩比一班的更稳定． 或：一班的中位数比二班高，说明一班中等水平比二班中等水平体质健康成绩高． 或：一班的众数比二班高，说明一班出现次数最多的成绩比二班高． 【小问3详解】 ，， ， 两个班级体质健康等级是优秀的学生一样多． 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线AC上，连接BE、BF、DE、DF，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明四边形EBFD是平行四边形即可； 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠BAF=∠DCE， ∵， ∴BF∥DE，△BFA≌△DEC（AAS）， ∴BF=DE， ∴四边形EBFD是平行四边形； ∴ 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明四边形EBFD是平行四边形是解题的关键． 21. 甲、乙两人沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲骑自行车出发后，乙乘汽车出发去B地，甲、乙两人先后到达B地．甲、乙两人行驶的路程（单位：）与甲行驶时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）请直接写出______； （2）求甲、乙两人行驶路程与甲行驶时间之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）甲出发后，在乙未追上甲之前，当两车之间的路程为时，请直接写出甲行驶的时间为______． 【答案】（1） （2）． （3）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，求一次函数表达式，一元一次方程的应用， （1）根据甲骑自行车出发后，乙乘汽车出发去B地求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意分两种情况，分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 ∵甲骑自行车出发后，乙乘汽车出发去B地 ∴由图象可得，； 【小问2详解】 设 将代入得， 解得 ∴； 设 将，代入得， 解得 ∴； 【小问3详解】 当乙还没出发时， 解得； 当乙出发后， 解得 综上所述，甲行驶的时间为或． 22. 【发现问题】 在学习菱形的时候，小明发现菱形符合八年级上学期学过的筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，菱形是一种特殊的筝形． 【初步应用】 （1）如图1，在菱形中，点是边中点，点是射线上一点，连接，，将沿所在直线翻折到，点恰好落在上．求证：四边形和四边形都是筝形． 【类比迁移】 （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并证明． 【解决问题】 （3）将（1）中的“菱形”改为“矩形”，增加“，，且”，其他条件不变，请直接写出______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠得到，即可证明四边形是正方形；如图所示，连接，首先得到，由菱形得到，等量代换得到，得到，即可证明四边形是筝形； （2）由（1）得，设，，表示出，，然后根据勾股定理得到，代入整理得到，进而表示出，即可得到； （3）由矩形得到，，由筝形得到，，设，然后根据题意分两种情况讨论：当G在线段上时，当G在射线上时，根据勾股定理得到，进而分别求解即可． 【详解】解：（1）∵将沿所在直线翻折到 ∴， ∴四边形是筝形； 如图所示，连接 ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 由折叠得， ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是筝形； （2），证明如下： 由（1）得，四边形和四边形都是筝形 设， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴解得 ∴ ∴； （3）∵四边形是矩形，， ∴， 由（1）得，四边形和四边形都是筝形 ∴， 设 如图所示，当G在线段上时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图所示，当G在射线上时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 综上所述，或． 【点睛】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图1，已知直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点，直线与交于点． （1）求点的坐标； （2）直线与分别交于点，关于直线的对称直线为，直线与轴交于点． ①直线上分别取点，，当时，求证：； ②当时，在四边形中，若，请直接写出此时的值______； ③，与组成新函数，其中与轴交点为，当时，点是新函数图象上的一点，当点是图象的最低点时，的面积记为，当点是图象的最高点时，的面积记为，当时，求的取值范围． 【答案】（1），， （2）①见解析；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，平行线的性质，等边对等角，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）对于，分别令求得的坐标，联立求得点的坐标； （2）①设，根据题意得出，待定系数法求得，根据点，分别在直线上，得出，，进而得出，根据，，即可得证； ②根据轴对称的性质，以及平行线的性质可得，进而可得，根据三线合一可得关于轴对称，得出，代入，即可求解； ③根据题意得，点关于对称，得出，则，进而求得，可得，当点是图象的最低点时，，即点，根据，求得，根据得出，当点是图象的最高点时，得出，代入得出，代入得出，即可得出的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵当时，，解得：， 当时，， ∴，， ∵直线与交于点． ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ①证明：设， ∵关于直线的对称直线为，直线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵点，分别在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴即； ②如图， ∵关于直线的对称直线为，直线与轴交于点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴对称， ∵， ∴， 又∵在上， ∴， 解得：， 故答案为：． ③根据题意得，点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵当时，， 解得：， ∴， 又∵， ∴， 设点的纵坐标为， ∵当点是图象的最低点时，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当点是图象的最高点时， ， ∴， 当点在直线上时，， ∴， 当点在直线上时，， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $