精品解析：浙江省宁波市北仑区长江中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题

长江中学2022-2023学年度八（下）第一次月考数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数是，不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合条件，是最简二次根式； B、的被开方数含有分母，不符合条件，不是最简二次根式； C、，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合条件，不是最简二次根式； D、，被开方数含有能开得尽方的因式，不符合条件，不是最简二次根式． 2. 某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如表所示： 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 2 1 3 工资数 16000 6000 5200 3400 则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（ ） A. 3400，5200 B. 5200，3400 C. 340，5600 D. 5600，3400 【答案】A 【解析】 【分析】众数是数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后位置居中的数，据此求解即可 【详解】解：∵工资为的员工有3人，出现次数最多， ∴众数为， 将所有员工工资从小到大排列为：， ∵共有7个数据，个数为奇数，中位数为排序后的第4个数据， ∴中位数为 3. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A 4. 化简二次根式得( ) A. B. C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的意义进行化简即可． 【详解】 = = ， 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的性质. 5. 如图，下列结论中，不正确的是（ ） A. a组数据的标准差较大 B. a组数据的方差较大 C. b组数据比较稳定 D. b组数据的标准差较大 【答案】D 【解析】 【分析】观察折线统计图，比较两组数据的波动程度．波动越大，方差和标准差越大，稳定性越差；波动越小，方差和标准差越小，稳定性越好． 【详解】解：由图象可知，组数据的波动幅度明显大于组数据的波动幅度， 方差和标准差是衡量数据波动大小的量，波动越大，方差和标准差越大， 组数据的方差和标准差较大，组数据的方差和标准差较小， 数据波动越小越稳定， 组数据比较稳定， 结论A、B、C正确，D错误． 6. 使有意义的的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足二次根式被开方数非负，分式的分母不为，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得， ，解得， ∴的取值范围是且． 7. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ， ∴. 故选C. 8. 关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 可能只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值，判断其符号即可得出结论，用到性质：对于一元二次方程，时方程有两个不等的实数根． 【详解】方程是关于的一元二次方程，，，，， ∴ ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 9. 某校2017年捐款2万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2019年三年共捐款9.5万元．若设该校捐款的平均年增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】2018年的捐款是2（1+x）万元，2019年的捐款数是2（1+x）2，本题首先由题意得出题中的等量关系即三年共捐款9.5万元，列出方程即可． 【详解】解：设该校捐款的平均年增长率为x． 则：2+2（1+x）+2（1+x）2＝9.5， 故选：B． 【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”． 10. 在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或或 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解k，再验证方程有两个实数根，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根为 ∴根据根与系数的关系得， ∵ ∴两边平方得 由完全平方公式变形得 代入得 整理得 解得 ∵方程有两个实数根， ∴判别式 当时，，符合要求 当时，，符合要求 ∴的值为或． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 当时，代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入代数式，再根据二次根式的化简法则计算即可得到结果． 【详解】当时， ． 12. 有一组数据：1，2，2，4，4，5，这组数据的方差是________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差即可． 【详解】解：这组数据的平均数为： ， 则这组数据的方差 ． 13. 一元二次方程的根的判别式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再根据一元二次方程根的判别式公式代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 则． 14. 若x，y满足条件：，化简代数式________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求得，，得到，再对原式化简即可求解． 【详解】解：在中， ∵，， ∴，则， ∴， ∴ ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 15. 在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】先整理方程得，解得，，分两种情况讨论：当为这个直角三角形的最短边时，求得直角三角形的面积是；当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是． 【详解】解：由方程，可整理得， 解得，， ∴当为这个直角三角形的最短边时，这个直角三角形的面积是； 当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是； ∴这个直角三角形的面积是或． 16. 关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义化简已知等式，得到关于的一元二次方程，求解后结合根的判别式判断即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， 根据根的定义，得，即，同理可得， 化简已知等式的两个因式：，， 代入，得：， 整理得：，解得或， 原方程有两个实数根， 根的判别式，即，解得， 满足题意，且符合等式的解为． 三、解答题（共7个大题，共66分） 17. 有一组数据：3，，5，，4，它们的平均数是4，求x的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平均数的定义，利用所有数据的和等于平均数乘以数据个数，列出一元二次方程，再求解一元二次方程即可得到x的值． 【详解】解：根据题意，这组数据共有5个，平均数为4，因此这组数据的总和为． 列方程得：， 整理方程得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得或． 18. 按要求解答下列各小题： （1）化简； （2）已知：，，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式分母有理化法则、二次根式的乘法法则，以及二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先求出，，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 19. 某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡B到地面的垂直距离的长； （2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据坡度，可设，则，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）连接，过点作于点，则米，，由题意可知此时，则有米，即可由线段的和差求得答案． 【小问1详解】 解：∵坡度， ∴， 设，则， 在中，米，， ∴， 解得， ∴米， 答：改造前坡B到地面的垂直距离的长为米； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵当坡角不超过时，可确保山体不滑坡， ∴， ∴， ∴米， 由（1）可知米， ∴（米）， 答：至少是米． 20. 已知关于的方程（为常数）． （1）该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时的值； （2）求时方程的解； （3）求出一个的值，使这个的值代入原方程后，所得的方程中有一个解与（）中方程的一个解相同．（本小题只需求一个的值即可） 【答案】（1）不一定是，； （2）x1=1，x2=3； （3）或 【解析】 【分析】（1）不一定，当时该方程为一元一次方程，解得k的值即可； （2）把k=1代入方程计算即可； （3）把（2）中解得的x的值代入原方程解得k的值即可． 【小问1详解】 解：不一定是． 当时该方程为一元一次方程， 解得：， 答：方程不一定是一元二次方程，当方程不是一元二次方程时k的值为； 【小问2详解】 解：当k=1代入得： 解得：x1=1，x2=3； 【小问3详解】 解：x=1代入得k=4， 或x=3代入得k＝， 答：k的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握定义与解法是解题的关键． 21. 某单位从内部招聘管理人员一名，对甲，乙、丙三名候选人进行笔试和面试两项测试，三人的措施成绩如表所示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 根据录用程序，单位组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只推荐一人），如图所示，每得一票记为1分． （1）直接写出民主评议的得分：甲得______分，乙得______分，丙得______分． （2）根据三人的三项平均成绩确定录用人选，谁将被录用？（平均成绩精确到0.01）． （3）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按的比例确定个人成绩，谁将被录用？ 【答案】（1）50，80，70；（2）乙；（3）丙 【解析】 【分析】（1）将总人数乘以各自的比例可得答案； （2）据平均数的概念求得甲、乙、丙的平均成绩，进行比较； （3）根据图表给出的数据和加权平均数的计算公式列式算式，求出三人的得分，然后判断录用的候选人即可． 【详解】解：（1）甲的得分为200×25%＝50分， 乙的得分为200×40%＝80分， 丙的得分为200×35%＝70分； 故答案为：50，80，70． （2）甲的平均分为=72.67（分）， 乙的平均分为=76.67（分）， 丙的平均分为=76.00（分）， ∴乙将被录用； （3）甲的最终成绩为=72.9（分）， 乙的最终成绩为=77（分）， 丙的最终成绩为=77.4（分）， ∴丙将被录用． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，要注意各部分的权重与相应的数据的关系，熟记运算方法是解题的关键． 22. 目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． （1）用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； （2）若a，b满足代数式，求； （3）若已知值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】（1）平方米； （2）； （3）原长方形的长为60米，宽为40米． 【解析】 【分析】（1）根据两条人行道的总面积等于两个长方形面积之和减去重叠部分的面积求解即可； （2）等式两边进行分母有理化即可解答； （3）由题意可列方程，结合（2）中的比值，设，，求解出即可解答． 【小问1详解】 解：∵两条人行道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴两条人行道的总面积为平方米； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知，四块草坪的面积之和为， ∵， ∴设，， 则， 解得（负值已舍去）， ∴（米），（米）， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 23. 如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． （1）用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． （2）连接，求使面积为时相应的t的值． （3）问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）当时， 的面积为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； 【小问3详解】 存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长江中学2022-2023学年度八（下）第一次月考数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如表所示： 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 2 1 3 工资数 16000 6000 5200 3400 则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（ ） A. 3400，5200 B. 5200，3400 C. 340，5600 D. 5600，3400 3. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 4. 化简二次根式得( ) A. B. C. D. 30 5. 如图，下列结论中，不正确的是（ ） A. a组数据的标准差较大 B. a组数据的方差较大 C. b组数据比较稳定 D. b组数据的标准差较大 6. 使有意义的的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 7. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 8. 关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 可能只有一个实数根 9. 某校2017年捐款2万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2019年三年共捐款9.5万元．若设该校捐款的平均年增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或或 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 当时，代数式的值为________． 12. 有一组数据：1，2，2，4，4，5，这组数据的方差是________． 13. 一元二次方程的根的判别式的值为________． 14. 若x，y满足条件：，化简代数式________． 15. 在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 16. 关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 三、解答题（共7个大题，共66分） 17. 有一组数据：3，，5，，4，它们的平均数是4，求x的值． 18. 按要求解答下列各小题： （1）化简； （2）已知：，，求代数式的值． 19. 某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡B到地面的垂直距离的长； （2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？ 20. 已知关于的方程（为常数）． （1）该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时的值； （2）求时方程的解； （3）求出一个的值，使这个的值代入原方程后，所得的方程中有一个解与（）中方程的一个解相同．（本小题只需求一个的值即可） 21. 某单位从内部招聘管理人员一名，对甲，乙、丙三名候选人进行笔试和面试两项测试，三人的措施成绩如表所示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 根据录用程序，单位组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只推荐一人），如图所示，每得一票记为1分． （1）直接写出民主评议的得分：甲得______分，乙得______分，丙得______分． （2）根据三人的三项平均成绩确定录用人选，谁将被录用？（平均成绩精确到0.01）． （3）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按的比例确定个人成绩，谁将被录用？ 22. 目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． （1）用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； （2）若a，b满足代数式，求； （3）若已知值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 23. 如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． （1）用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． （2）连接，求使面积为时相应的t的值． （3）问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $