精品解析：浙江省杭州市西湖区之江实验中学2022-2023学年八年级下学期3月份月考数学试题

杭州市之江实验中学八年级（下）阶段自查 数 学 试 题 卷 考生须知： 1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，必须在答题卷的指定区域内填写班级、姓名和座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（10小题，每题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则x的值可以为（ ） A. 2 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 2. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中正确的是（ ） A. 平均数为，众数是 B. 平均数为，众数是 C. 平均数为，众数是 D. 平均数为，众数是 3. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是( ) A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形 6. 已知时，则代数式的值（　　） A. 1 B. 4 C. 7 D. 3 7. 有一人患了新冠流感，经过两轮传染后共有400人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A. 18人 B. 19人 C. 20人 D. 21人 8. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 9. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ） A. B. C. D. 10. 有两个一元二次方程，，其中，下列四个结论： ①如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根； ②如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数； ③如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根是1或； ④如果，是方程M的两个根，，是方程N的两个根，那么．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（6小题，每题4分，共24分） 11. 计算的结果是__________． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 13. 某青年排球队有12名队员，队员年龄情况如图所示，那么该球队队员年龄的中位数是 _______． 14. 如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 15. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是_______． 16. 已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 三、解答题（共7题，共66分） 17. 计算： （1） （2）． 18. 用适当的方法解方程： （1） （2）． （3） （4） 19. 6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 90 90 39 八年级 90 90 90 b （1）请直接写出表格中a，b的值； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩更稳定？请说明理由； （3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？ 20. 按要求解答下列各题： （1）已知x，y为实数，且，求的值． （2）设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 22. 某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． （1）求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； （2）在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 23. 如图，在边长为的正方形中，现有一动点P，从点A出发，以秒的速度，沿正方形的边经到达点D．设运动时间为t秒． （1）当点P运动3.5秒时，点P到达什么位置？ （2）连结始点A，动点P，终点D形成，当t为多少时，的面积为6？ （3）当点P运动多少秒时，点P到点A的距离为？ （4）如图，另有一动点Q，以秒的速度从点B出发，沿射线运动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止．当t为多少时，为等腰三角形？（请直接写出t的值） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市之江实验中学八年级（下）阶段自查 数 学 试 题 卷 考生须知： 1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，必须在答题卷的指定区域内填写班级、姓名和座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（10小题，每题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则x的值可以为（ ） A. 2 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】根据题意知x﹣1≥0， 解得x≥1， 四个选项中，只有选项A满足题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键． 2. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中正确的是（ ） A. 平均数为，众数是 B. 平均数为，众数是 C. 平均数为，众数是 D. 平均数为，众数是 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量，然后对各选项进行判断． 【详解】解：这组数据的众数为6吨， 平均数为=5吨， 故选：B． 【点睛】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数． 3. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，是一元一次方程，不符合题意； B、，方程中含有两个未知数，不符合题意； C、，符合一元二次方程的定义，符合题意； D、，当时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 4. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质分别计算，即可判断． 【详解】解：A．，因此选项A不正确； B．，因此选项B不正确； C．，因此选项C不正确； D．，因此选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的化简方法是正确计算的前提． 5. 一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是( ) A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可． 【详解】解：∵多边形的各个内角都等于144°， ∴每个外角为36°， 设这个多边形的边数为n，则 36°×n=360°， 解得n=10． 故选：B． 【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是360°这一关键． 6. 已知时，则代数式的值（　　） A. 1 B. 4 C. 7 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先把变形得到，再两边平方可得到，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴.. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 7. 有一人患了新冠流感，经过两轮传染后共有400人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A. 18人 B. 19人 C. 20人 D. 21人 【答案】B 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有400人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 9. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的几何解法，根据题目给出的条件、找出合适的等量关系、列出方程是解答本题的关键．根据题意将x的方程 化为，即长方形的长为，宽为x ，再依据大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，用代数式表示出边长即可． 【详解】解：∵ 大正方形的面积为14，小正方形的面积为4， ∴关于 x的方程 化为， ∴图中长方形的长为，宽为x ， ∴图中小正方形的边长是 ， 大正方形的边长是 ， ∴ ， ∴ ， 故 ， ，   故选：D． 10. 有两个一元二次方程，，其中，下列四个结论： ①如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根； ②如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数； ③如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根是1或； ④如果，是方程M的两个根，，是方程N的两个根，那么．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，逐个验证四个结论即可得到答案. 【详解】① 对于方程，判别式，若有两个相等的实数根，则，方程的判别式，因此也有两个相等的实数根，①正确； ② 设是的一个根，则， ， ，两边同除以得，即是的根，与互为倒数，因此②正确； ③ 设相同根为，则，整理得，当时，两个方程完全相同，所有根都相同，存在相同根不是或，因此③错误； ④ 根据一元二次方程根与系数的关系，方程中，方程中，因此，④正确； 综上，①②④正确. 二、填空题（6小题，每题4分，共24分） 11. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的计算及化简方法，即可求出答案． 【详解】解：= 故答案为： 【点睛】熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：把代入方程得： 解得. 13. 某青年排球队有12名队员，队员年龄情况如图所示，那么该球队队员年龄的中位数是 _______． 【答案】19 【解析】 【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若数据是奇数个，则中位数是最中间的那个数，如果数据是偶数个，则中位数是最中间两个数的平均数，据此求解即可． 【详解】解：由条形统计图可知， 将这支青年排球12名队员的年龄按从小到大的顺序排列，第六位和第七位的平均数为， 所以中位数是19， 故答案为：19． 【点睛】本题考查中位数的定义，解答的关键是熟知中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），注意先进行排序． 14. 如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 15. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分两种情况：当时，根据一元二次方程的根的判别式求解；当，原方程即为，即可求解． 【详解】解：当时，∵关于x的方程有实数根， ∴， 即且， 解得：且； 当时，原方程即为，有实数根； 综上，实数k的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，属于常考题型，熟知时，一元二次方程有两个实数根是解题的关键． 16. 已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 三、解答题（共7题，共66分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 用适当的方法解方程： （1） （2）． （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 或， 解得； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：， ，即， ， 或， 解得； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得. 19. 6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 90 90 39 八年级 90 90 90 b （1）请直接写出表格中a，b的值； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩更稳定？请说明理由； （3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？ 【答案】（1）， （2）八年级的成绩更稳定，理由如下： 八年级的方差小于七年级的方差，故八年级的成绩更稳定； （3）390名 【解析】 【分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）； 答：估计这两个年级共有390名学生达到“优秀”. 20. 按要求解答下列各题： （1）已知x，y为实数，且，求的值． （2）设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而可得的值，再代入计算即可； （2）根据三角形的三边关系定理可得，据此化简绝对值和二次根式，再计算整式的加减即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵一个三角形的三边长为， ∴，即， ∴，， ∴ ． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题． 【小问1详解】 解： ； 又， ， 原方程有两个实数根； 【小问2详解】 原方程可变为， 则方程的两根为，， 直角三角形三边为2，3，； ， ①若为直角三角形的斜边时，则： ， ； ②若3为直角三角形的斜边时，则： ． 综上，或． 【点睛】此题考查利用根的判别式探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透． 22. 某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． （1）求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； （2）在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【答案】（1） （2）①米；②米；③， 【解析】 【分析】（1）设平均每年降低的百分率为，根据“游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万”列方程求解即可； （2）①由题意可知垂直于墙的边总长为，上有两个宽1米的门，根据总篱笆长列方程求解即可； ②根据花圃面积列方程求出x的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可； ③先求出x的取值范围，根据花圃面积求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可． 【小问1详解】 解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； 【小问2详解】 解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 23. 如图，在边长为的正方形中，现有一动点P，从点A出发，以秒的速度，沿正方形的边经到达点D．设运动时间为t秒． （1）当点P运动3.5秒时，点P到达什么位置？ （2）连结始点A，动点P，终点D形成，当t为多少时，的面积为6？ （3）当点P运动多少秒时，点P到点A的距离为？ （4）如图，另有一动点Q，以秒的速度从点B出发，沿射线运动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止．当t为多少时，为等腰三角形？（请直接写出t的值） 【答案】（1）点P位于边上，距离B点处； （2）秒或秒； （3）秒或秒； （4）秒或秒或秒． 【解析】 【分析】（1）求出点P运动路程，根据正方形的性质作答即可； （2）分三种情况根据三角形面积公式求解即可； （3）分三种情况根据勾股定理求解即可； （4）分三种情况根据勾股定理及等腰三角形的定义求解即可． 【小问1详解】 解：已知正方形边长为， ∴全长，全长，全长， 点P运动路程：， 全长，剩余路程：， 全长，，因此点P位于边上，距离B点处； 【小问2详解】 解：分三种位置讨论： 如图，当P在上时， 可知，，为直角三角形， ∴， 解得； 如图，当P在上时， 以为底，高恒等于正方形边长， 面积：； 如图，当P在上时， 可知，以为底，高为， ∴， 解得， 综上，秒或秒； 【小问3详解】 解：分三种位置讨论： 如图，当P在上时， ，无解； 如图，当P在上时，连接， 可知，为直角三角形， 由勾股定理：，即， 解得（负值舍去）； 如图，当P在上时，连接， 可知，， 由勾股定理： 解得（负值舍去）； 综上，秒或秒； 【小问4详解】 解：∵Q速度， ∴， 分P的位置讨论： 如图，当P在上时， 根据勾股定理可知，， 若即，则，解得， 若即，则，解得或（舍去）， 若即，则，解得（舍去）或（舍去）； 如图，当P在上时， 由图可知，当时P、Q重合，，，不存在t使为等腰三角形； 如图，当P在上时， 由勾股定理得，，， 由图可知，， 若即，则， 解得或（舍去）； 综上，秒或秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $