精品解析：贵州遵义市第十五中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

遵义市第十五中学2026年春季学期半期考试试题 年级：高二学科：数学 试卷总分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知离散型随机变量的期望，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则. 2. 在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③ 【答案】D 【解析】 【分析】由独立性检验相关概念可得答案. 【详解】①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性，故①不正确； ②独立性检验是用来考察两个分类变量是否具有关联性，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度， 而不是给出事件的概率，故②不正确； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误，③正确。 故选：D 3. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】按两类情况分组讨论即可. 【详解】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 4. 在等差数列中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，结合充分不必要条件的判定判断即可． 【详解】解：等差数列中，若，则， 等差数列中，当公差，，可以为任意正整数， 综上，“”是“”的充分不必要条件． 5. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 6. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件 根据题目条件可知，，，， 根据全概率公式，可得，解得. 7. 设等比数列的前项和为，满足，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助等比数列性质及完全平方公式计算可得、，再利用等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由等比数列性质可得，又， 则， 故，由，，则，故， 则，， 故，则（负值舍去），则， 故. 8. 甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为; 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 10. 已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的系数为560 C. 展开式中各项系数和为1 D. 展开式中二项式系数最大的项只有第4项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；结合二项式系数的通项分析判断B；令，求各项系数之和，进而判断C；对于D：根据二项式系数的性质分析判断. 【详解】对于A，由题知，，得，故A正确； 对于B，∵， 令，得，∴的系数为，故B错误； 对于C，令，得，故C正确； 对于D，∵，∴展开式中共有8项，根据二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，故D错误. 11. 设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若A与C互斥，则 C. 若A与C互斥，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式，求出积事件的概率，进而根据独立事件乘法公式，判断事件是否独立，判断选项A的正误，根据互斥事件的性质，求出互斥事件和事件的概率，判断选项B的正误；根据条件概率的定义，以及互斥事件的性质，判断选项C的正误；根据对立事件的性质，以及全概率公式，求出条件概率，判断选项D的正误； 【详解】对于A，因为， 所以，所以A与B相互独立，故A正确； 对于B，因为A与C互斥，则，所以，故B错误； 对于C，因为，若此时A与互斥，则，此时不存在，所以C错误； 对于D，因为，，所以， 又根据全概率公式，得， 所以，所以，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为随机变量，且， 所以. 13. 已知一个口袋中装有个红球和个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为，则的期望为_____. 【答案】 【解析】 【分析】计算出每次摸球中奖的概率，可知，然后利用二项分布的期望公式可求得结果. 【详解】由题意可知，每次摸球中中奖的概率，则， 因此，的期望为. 故答案为：. 14. 已知数列满足，，则数列的最小项为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由累加法求出​的通项，再化简，利用函数单调性结合​求最小值． 【详解】由得，当时， ， 当时：.(符合上式) 所以， 设函数， 易知在上单调递减，在上单调递增，结合，得 当时，数列是递减数列，当时，数列是递增数列， 当时，，当时，， 所以数列的最小项为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分；其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分；解答应在答题卡对应区域写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数列的项与前项和之间的关系求出的通项，注意分和时讨论；再利用等比数列的通项公式，列出关于和之间的方程组，求出的通项； （2）先求的通项，再用分组求和法求和. 【小问1详解】 ， 当时，， ， 将代入，满足 所以（）． 设等比数列的公比q， 由题意，即， 解得或（舍），所以． 【小问2详解】 ， 所以 . 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得  三棱锥​，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， ​ 令，得，，即； 平面​的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且． （1）求角B的大小； （2）若，求△ABC的面积S． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值； （2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S． 【小问1详解】 ∵，∴, ∴，即, 又∵ ∴,解得或， 又∵，∴角为钝角，∴角为锐角，∴，∴； 【小问2详解】 由（1）知，，，及已知条件, ∴,，， 又∵，∴，， ∴. 18. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】（1） （2）的分布列为： ​ 数学期望为. （3） 【解析】 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. 【小问2详解】 甲的总得分的可能取值为，  ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜：  ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜：  ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. 【小问3详解】 由定义， 代入得 由基本不等式​，当且仅当即​时取等号. 因此 ，即的最大值为. 19. 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． （1）求的方程． （2）求面积的最小值． （3）试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）6 （3）存在定点 【解析】 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求出，通过面积和离心率求出双曲线方程． （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，写出面积表达式，从而求得最值． （3）设，整理表达式，由分子分母系数比例关系可求出． 【小问1详解】 设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． 【小问3详解】 假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第十五中学2026年春季学期半期考试试题 年级：高二学科：数学 试卷总分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知离散型随机变量的期望，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2. 在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③ 3. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 4. 在等差数列中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 6. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设等比数列的前项和为，满足，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 10. 已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的系数为560 C. 展开式中各项系数和为1 D. 展开式中二项式系数最大的项只有第4项 11. 设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若A与C互斥，则 C. 若A与C互斥，则 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量服从正态分布，，则______. 13. 已知一个口袋中装有个红球和个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为，则的期望为_____. 14. 已知数列满足，，则数列的最小项为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分；其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分；解答应在答题卡对应区域写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且． （1）求角B的大小； （2）若，求△ABC的面积S． 18. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 19. 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． （1）求的方程． （2）求面积的最小值． （3）试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $