精品解析：福建省福州市晋安区2025-2026学年八年级第二学期期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期期末适应性练习 八年级数学 （完卷时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则x的值不可以取（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 近代函数概念诞生于世纪对运动变化规律的研究，是刻画变量间对应关系的重要数学模型．下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖，称为平面镶嵌（也叫平面密铺）．若只选用下列边长相等的正多边形中的同一种单独进行平面镶嵌，则不能进行平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 5. 下列统计量中，能够反映一组数据分散程度的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 众数 6. 某校八年级甲、乙、丙、丁四位同学参加1分钟跳绳测试，每人10次成绩的平均数（单位：次）及方差（单位：次）如表格所示，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 统计量 甲 乙 丙 丁 平均数 186 227 208 227 方差 4.5 7.6 6.8 4.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（ ） A. B. C. D. 9. 有一组被墨水污染了两个数值的数据：4，4，10，15，17，★，★，4，10，11，15，18．该组数据的箱线图如图所示，下列说法中，不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的第三四分位数是15 C. 这组数据的平均数是10.5 D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是14 10. 已知函数，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，三个函数值中的最小值，则y的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 写出一个比例系数为具体数值的y关于x的正比例函数解析式：_______． 12. “湖光入牖，花影叠窗”，福州西湖公园开化寺的古典廊庑中，雅致的冰裂纹花窗蕴含着许多数学元素．下图①是冰裂纹花窗的窗棂图案，图②为该窗棂的局部几何图案．其中，，，为四边形的四个外角．若，，，则______． 13. 中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为5，6，7，则的面积为______． 14. 如图，小红把相同的纸杯竖直整齐地叠放在一起，根据图中的信息，个纸杯叠放后的总高度为，个纸杯叠放后的总高度为．若按此方式把个纸杯叠放在一起，则总高度为______． 15. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，若，，，则的长度为______． 16. 在气温为到范围内，声音在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）呈一次函数关系，下表是几组气温与对应声速的实验数据： 气温（） 声速（） 已知声速（单位：），声音频率（单位：）与波长（单位：）满足关系式．若国际通用钢琴标准音（中音）的频率为，则气温为时，该标准音在空气中的波长约为______（结果精确到）． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知y关于x的一次函数（m为常数，）的图象过点 （1）求m的值； （2）当时，求y的最大值． 19. 为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． （1）为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ （2）为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 20. 为推进青少年网络保护工作，某校开展校园反诈与网络安全专题培训．为检验学生反诈防护能力，该校组织网络安全知识测评，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 组别 平均数 中位数 众数 第1小组 a 4 5 第2小组 3.5 3.5 b 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①请补全第1小组得分条形统计图； ②第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为_______度； （2）_______，_______，_______； （3）已知该校共有4000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生测评成绩不低于90分？ 21. 如图，在矩形中（）． （1）尺规作图：在矩形的边上找一点E，使平分（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，若，，求的长． 22. 北宋学者洪刍在《香谱·卷下》“百刻香”中记载：“近世尚奇者，作香篆，其文准十二辰，分一百刻，凡燃一昼夜已”．香篆（又称百刻香）是我国古代利用匀速燃烧的香体计量时间的重要发明，是中华传统科技与文化的结合． 某校数学实践小组仿照香篆计时原理，用一根粗细均匀的直线型计时线香进行实验，香沿长度方向匀速燃烧，每隔15分钟测量一次香的剩余长度，得到如下数据： 燃烧时间x（分钟） 0 15 30 45 60 75 剩余长度y（厘米） 30 24 18 12 6 0 （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示燃烧时间x，纵轴表示剩余长度y，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察所描各点的分布规律，判断y与x满足我们学过的哪类函数关系，并结合表格数据，求出该函数解析式； （3）应用上述规律计算：如果本次实验从上午8∶30开始点燃，那么当香的剩余长度为3厘米时是当天的什么时刻？ 23. 如图，在中，，、分别为、的中点，连接并延长至点，且，点为直线上的一个动点． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，菱形的面积为24，求的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，且满足． （1）求直线的解析式； （2）直线与x轴交于点D，与直线交于点E，交的延长线于点F，且； ①求k的值； ②若过点D的直线与直线，直线不能构成三角形，请直接写出所有满足条件的n值． 25. 综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． （1）某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 （2）为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 （3）有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末适应性练习 八年级数学 （完卷时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则x的值不可以取（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减，乘法，除法运算．根据二次根式的加减乘除运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不可以合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 近代函数概念诞生于世纪对运动变化规律的研究，是刻画变量间对应关系的重要数学模型．下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，对任意的一个值都存在唯一的值与之对应， 若为函数关系，其对应方式为一对一或多对一， 选项、、是对任意的一个值都存在2个或多个值与之对应，不符合函数的要求； 选项为一对一，符合函数的要求． 4. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖，称为平面镶嵌（也叫平面密铺）．若只选用下列边长相等的正多边形中的同一种单独进行平面镶嵌，则不能进行平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】同一种正多边形单独平面镶嵌的条件是，正多边形单个内角的度数能整除，先计算各选项正多边形的单个内角度数，再判断能否整除即可得到结果. 【详解】解：同一种正多边形单独进行平面镶嵌时，拼接点处所有内角的和需为，因此只有当能被正多边形的单个内角度数整除时，才能平面镶嵌， 选项：正三角形，，单个内角为，，结果为整数，可以镶嵌； 选项：正方形，，单个内角为，，结果为整数，可以镶嵌； 选项：正五边形，，单个内角为，，结果不是整数，不能镶嵌； 选项：正六边形，，单个内角为，，结果为整数，可以镶嵌． 5. 下列统计量中，能够反映一组数据分散程度的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：离差平方和是每个数据与该组平均数之差的平方和，它能够很好地反映一组数据的分散程度（即离散程度）． 6. 某校八年级甲、乙、丙、丁四位同学参加1分钟跳绳测试，每人10次成绩的平均数（单位：次）及方差（单位：次）如表格所示，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 统计量 甲 乙 丙 丁 平均数 186 227 208 227 方差 4.5 7.6 6.8 4.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定． 【详解】解：∵， ∴乙和丁的平均成绩更高，成绩更好， ∵， ∴丁的方差更小，波动更小，发挥更稳定， ∴应选择丁． 7. 中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 8. 如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由对折得，结合折叠知，，连接，通过证明是等边三角形，推出，进而推出，再在中利用角对边是斜边一半结合勾股定理求出长度． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，为中点，为中点，， 四边形为矩形， ， ， 由沿折叠得到， ， ，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， 解得， 故． 9. 有一组被墨水污染了两个数值的数据：4，4，10，15，17，★，★，4，10，11，15，18．该组数据的箱线图如图所示，下列说法中，不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的第三四分位数是15 C. 这组数据的平均数是10.5 D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是14 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图读取最小值、中位数、第一四分位数和第三四分位数，结合已知数据确定被污染数据的取值范围，进而逐一判断选项． 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的最小值为，第一四分位数，中位数为，第三四分位数，最大值为，A、B正确，不符合题意； 已知数据为，共个， 设被污染的两个数为， 最小值为，已知数据最小为， 中必有一个为，不妨设， 将数据从小到大排序，总个数， 中位数为第、个数的平均值，且中位数为， 第、个数的和为， 已知数据（含）中小于等于的有，共个， 第个数为，则第个数必须为， ， ∵，后个数包含及，后个数的中位数为第、个数，第、个数至少含有1个， ∴排序后第、个数均为，则， （或，，第、个数至少含有1个，可知排序后第、个数均为，则，） ∵， 另一个数可能是，故正确，不符合题意； 平均数， 当时，， 平均数不一定是，故不正确，符合题意． 10. 已知函数，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，三个函数值中的最小值，则y的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求三个函数两两相交的交点，把图像分成几段，再在每一段里找出位置最低的那条线，最后看这些“最低线”里的最高点，就是y的最大值． 【详解】解：如图，设与交于点A，设与交于点B，设与交于点C， 联立与的解析式，得， 解得 ，即交点 ； 联立与的解析式，得 ， 解得，即交点； 联立与的解析式，得 ， 解得，即交点； 当时，且，，此时随增大而增大，最大值为； 当时，且（验证时），，此时随增大而增大，最大值为； 当 时，且，，此时随增大而减小，值小于； 综上所述，的最大值为． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 写出一个比例系数为具体数值的y关于x的正比例函数解析式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】形如（是不为0的常数）的函数是正比例函数． 【详解】解：由题意得，比例系数为不为的具体数值，取，代入得解析式． 12. “湖光入牖，花影叠窗”，福州西湖公园开化寺的古典廊庑中，雅致的冰裂纹花窗蕴含着许多数学元素．下图①是冰裂纹花窗的窗棂图案，图②为该窗棂的局部几何图案．其中，，，为四边形的四个外角．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和等于，据此建立等式求解即可． 【详解】解：四边形的外角和为，，，， ． 13. 中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为5，6，7，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴ ． 14. 如图，小红把相同的纸杯竖直整齐地叠放在一起，根据图中的信息，个纸杯叠放后的总高度为，个纸杯叠放后的总高度为．若按此方式把个纸杯叠放在一起，则总高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】设个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是，列方程组求出每个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是，即可求出把个纸杯叠放在一起的总高度． 【详解】解：设个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是， 根据题意可得：， 解得：， 每个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是， 个纸杯的高度为． 15. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，若，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理证明出是直角三角形，从而得出是直角三角形，利用平行四边形性质以及勾股定理求出的长，从而得出结果． 【详解】解：在中，，，， ,， 是直角三角形， ， 是直角三角形， 四边形为平行四边形， ， 在中， ， ． 16. 在气温为到范围内，声音在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）呈一次函数关系，下表是几组气温与对应声速的实验数据： 气温（） 声速（） 已知声速（单位：），声音频率（单位：）与波长（单位：）满足关系式．若国际通用钢琴标准音（中音）的频率为，则气温为时，该标准音在空气中的波长约为______（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出关于的一次函数解析式，再代入气温的值求出对应声速，最后根据公式计算波长即可． 【详解】解：设关于的一次函数解析式为， 将，和，代入解析式， 可得， 解得， 故关于的解析式为， 当时，， 将，代入得， ， 故该标准音在空气中的波长约为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）分别用完全平方公式、平方差公式展开，去括号后合并化简． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知y关于x的一次函数（m为常数，）的图象过点 （1）求m的值； （2）当时，求y的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入函数解析式求解； （2）根据m的值得到解析式，根据一次项系数判断增减性，结合自变量取值范围求出的最大值． 【小问1详解】 解：∵一次函数（）的图象过点， ∴将，代入函数解析式得， 解得； 【小问2详解】 解：把代入原解析式得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值， 代入得 ， ∴的最大值为． 19. 为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． （1）为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ （2）为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【答案】（1）这条步道最短需要米 （2）该基地总共需要57.6立方米的种植土 【解析】 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据求出面积，然后求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 答：这条步道最短需要米； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：该基地总共需要57.6立方米的种植土． 20. 为推进青少年网络保护工作，某校开展校园反诈与网络安全专题培训．为检验学生反诈防护能力，该校组织网络安全知识测评，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 组别 平均数 中位数 众数 第1小组 a 4 5 第2小组 3.5 3.5 b 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①请补全第1小组得分条形统计图； ②第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为_______度； （2）_______，_______，_______； （3）已知该校共有4000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生测评成绩不低于90分？ 【答案】（1）① ∶ ② （2）；； （3）估计该校大约名学生测评成绩不低于90分 【解析】 【分析】（1）①根据总人数及各组人数求出得4分人数，补全条形统计图即可； ②根据百分比求出圆心角度数； （2）根据平均数、中位数、众数定义求解； （3）利用样本估计总体求解． 【小问1详解】 解：①第1小组总人数20人，得1分1人，2分2人，3分3人，5分有8人 可得4分有人，在条形统计图画出对应高度． ②第2小组中1分所占百分比：， 对应圆心角度数：． 【小问2详解】 解：； 第2小组5分在扇形统计图中占比最多，则； 第3小组得分依次：1分1人，2分3人，3分8人，4分6人，5分2人， 一共20人，中位数为第10、11个数平均数，第10、11个数都是3，． 【小问3详解】 解：第2组5分有人， 3个小组一共60人；其中5分人数：人， 全校一共4000人：名， 答：估计该校大约名学生测评成绩不低于90分． 21. 如图，在矩形中（）． （1）尺规作图：在矩形的边上找一点E，使平分（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，若，，求的长． 【答案】（1）如图，点E即为所求； （2）2 【解析】 【分析】（1）以C为圆心，的长为半径画弧交于E，点E即为所求； （2）设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 理由∶由作法得：， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 由作法得：， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， 即． 22. 北宋学者洪刍在《香谱·卷下》“百刻香”中记载：“近世尚奇者，作香篆，其文准十二辰，分一百刻，凡燃一昼夜已”．香篆（又称百刻香）是我国古代利用匀速燃烧的香体计量时间的重要发明，是中华传统科技与文化的结合． 某校数学实践小组仿照香篆计时原理，用一根粗细均匀的直线型计时线香进行实验，香沿长度方向匀速燃烧，每隔15分钟测量一次香的剩余长度，得到如下数据： 燃烧时间x（分钟） 0 15 30 45 60 75 剩余长度y（厘米） 30 24 18 12 6 0 （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示燃烧时间x，纵轴表示剩余长度y，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察所描各点的分布规律，判断y与x满足我们学过的哪类函数关系，并结合表格数据，求出该函数解析式； （3）应用上述规律计算：如果本次实验从上午8∶30开始点燃，那么当香的剩余长度为3厘米时是当天的什么时刻？ 【答案】（1）解：如图所示即为所画图象， （2） （3）当天上午9点37分30秒 【解析】 【分析】（1）先从表格提取六组对应坐标，在平面直角坐标系里逐一标出对应点，再用线段顺次连接所有描出的点，得到表示香燃烧过程的函数图象． （2）观察数据发现燃烧时间均匀增加时，剩余长度均匀减少，由此判定二者为一次函数关系；设一次函数一般式，代入表格两组坐标求出函数系数，同时结合香完全燃尽的时间确定自变量取值范围，得到完整解析式． （3）把剩余长度代入已求出的一次函数解析式，算出对应的燃烧总时长，再将起始点燃时间加上该时长，换算得出对应的具体时刻． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 观察可知香沿长度方向匀速燃烧，均匀增加15，均匀减少6，符合一次函数特征，故为一次函数． 设解析式： 代入，得 ； 再代入： 解得：； ∵香最多燃烧75分钟，超出无实际意义 ∴ 函数解析式： 【小问3详解】 令，代入解析式： 解得：， 燃烧时长分钟=1小时7分30秒． 起始时间上午，加1小时7分30秒，得到上午分30秒． 因此，当香剩余长度为3厘米时，是当天上午9点37分30秒． 23. 如图，在中，，、分别为、的中点，连接并延长至点，且，点为直线上的一个动点． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，菱形的面积为24，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是平行四边形，再利用三角形的中位线证明对角线互相垂直，得出是菱形； （2）根据菱形的性质求出，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：证明：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 、分别为、的中点， ，， ， ， 四边形为菱形； 【小问2详解】 四边形为菱形， 、关于轴对称， 当为与的交点时，最小，最小值为的长， 过作交的延长线于点， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵菱形的面积为24， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，最短路径问题，找到最小时的情形是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，且满足． （1）求直线的解析式； （2）直线与x轴交于点D，与直线交于点E，交的延长线于点F，且； ①求k的值； ②若过点D的直线与直线，直线不能构成三角形，请直接写出所有满足条件的n值． 【答案】（1） （2）①；②n的值为1或或6 【解析】 【分析】（1）首先求出，，然后根据得到，然后利用待定系数法求解； （2）①首先求出．然后分别联立方程组求出点E和点F的横坐标，然后根据点D是的中点列方程求解； ②根据题意分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B ∴当时， ∴ 当时， 解得 ∴，即 ∴ ∴ 设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵直线与x轴交于点D， ∴当时， ∴ 联立直线与得， 整理得， 解得 ∴点E的横坐标为， 联立直线与得， 整理得， 解得 ∴点F的横坐标为， 如图，连接， ∵ ∴，即点D是的中点 ∴ 解得； ②∵过点D的直线与直线，直线不能构成三角形， 当直线与直线平行时， ∴ ∴ 将代入得， 解得； 当直线与直线平行时， ∴ 将代入得， 解得； 当直线经过点时， 将代入得，； 综上所述，n的值为1或或6． 25. 综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． （1）某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 （2）为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 （3）有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 【答案】（1）米 （2）解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边​， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． （3）①②或 【解析】 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于​即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【小问1详解】 解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $