专题07 反比例函数综合应用（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数核心考法，以题型分类构建知识网络，覆盖图像判断、函数综合及实际应用，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|4类20题|含位置判断（重）、一次/二次函数综合（重/高频）、实际应用（高频）|从图像性质到多函数综合，再到实际情境建模，形成“概念-综合-应用”递进逻辑| |综合攻坚·知能拔高|18题（单选8+填空4+解答6）|结合几何图形、跨学科情境及新定义问题|深化反比例函数与几何、代数的联系，提升推理能力与应用意识|

专题07反比例函数综合应用 常考题型·精准突破 题型1 反比例函数位置判断（重） 题型2 反比例函数与一次函数综合（重） 题型3 反比例函数实际应用（高频） 题型4反比例函数与二次函数的综合（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 反比例函数图像位置判断 1．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 3．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． ◆题型2 反比例函数与一次函数综合 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 7．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 9．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 10．如图，反比例函数和一次函数的图象交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)直接写出方程的解． ◆题型3 反比例函数实际应用 11．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 12．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 13．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 14．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 15．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ ◆题型4反比例函数与二次函数的综合 16．点，分别为反比例函数、的图象上一点，二次函数的图象经过点，，顶点为，，的横坐标分别为，，．    (1)如图，轴． 若，求的值； 试说明：当时，二次函数的函数值随增大而增大； (2)当，时，求直线与轴的交点坐标； (3)若，求证：． 17．定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数图象的“反点”．可以看成是函数图象与函数图像的交点坐标，联立方程组即可求解． (1)若一次函数的图像上“反点”坐标为，则b的值为______． (2)设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段的长度，求k的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若，是二次函数的图象上的两点，求的最小值． 18．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“硬核点”；二次函数的图象的顶点和反比例函数图象上的“硬核点”关于轴对称，且二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的函数解析式； (2)过点作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到直线的距离为，求的取值范围； (3)过点的直线交二次函数图象于另一点，点在二次函数的图象上且其横坐标为，点在直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，以为邻边作平行四边形， ①当时．点（包括点）右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为，求的值； ②当点在第一象限时，平行四边形的面积为3时，直接写出点的坐标． 19．我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过、，三个点，且点在第一象限． (1)求图象最高点的坐标及的值； (2)若时，对于的每一个值，函数（为常数，且）均同时满足两个条件： ①函数的值大于函数的值； ②函数的值小于2． 据此，请你求出的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C与原点O重合．已知点，点，点A在反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 4．若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 7．新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（    ） A．I随着m的增大而减小 B．电流I是可变电阻R的反比例函数 C．当物体质量为时，电流 D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 二、填空题 9．已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 10．如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 11．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 12．如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______． 三、解答题 13．写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 14．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数关系式： (2)直接写出关于的不等式的解集______； (3)连接、，则的面积为______． 16．如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 18．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07反比例函数综合应用 内容概览 目常考题型精准突破 题型1反比例函数位置判断（重） 题型2反比例函数与一次函数综合（重） 题型3反比例函数实际应用（高频） 题型4反比例函数与二次函数的综合（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6。【详解】(1)解：把42,6)代入反比例函数y= 6 2,解得k2=12, :反比例函数解析式：y=12 将B(-4m)代入y=12 m=2=3 -4 .B(-4,-3) 把A(2,6),B(4,-3)代入y=kx+b得方程组： 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [2k+b=6 -4k+b=-3, 解得 k2, 3 b=3 3 一次函数解析式：y=2+3。 (2)解：设直线AB与x轴交于点M，,如图所示， 3 令y=5x+3=0. 2 解得x=-2, ∴.M(-2,0) 设C点坐标(，0)，则CM=t-(-2)=t+2. △ACM的高为点A纵坐标6，△BCM的高为点B纵坐标的绝对值-3=3. 5x-5w+5w-3CM-6+3CM3-+2斗=15】 2 416 解得=3或3’ :c点标为仔0我50】 7.【详解】(1)解：一次函数y=ar+b的图像经过点A(4,0),B(0,2), 1 a= -4a+b=0,解得2 b=2. b=2 1 (2)解：由(1)有0=2，b=2' 2/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .一次函数为y=亏x+2, 1 “点P在一次函数y=2+2的图像上， 设点p的坐标为+2 :△PMN是腰长为3的等腰直角三角形， ∴.PM=PW=3. ∴点M的丝标为-3+2，点N的坐标为-】 :点MN在反比例两数y->0,x>0)的图像上， =-传*2列-侵- 解得t=4」 ∴点P的坐标为(4,4)，点M的坐标为(14). ∴.k=4 8。【详解】(1)解：将点4(2,3)代入y= x,得m=2x3=6: ·反比例函数解析式为y=6 将点B(-3,)坐标代入y= 6 ,得ns =-2 -3 点B(-3,-2), 将点A、B的坐标代入y=+b, 「2k+b=3 得1-3k+b=-2' (k=1 解得b=1’ ∴.一次函数的解析式为y=x+1; (2)解：如图，设直线AB与x轴交于点C, 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(2,3) 3.n 对于y=x+1, 当y=0时，0=x+1,解得x=-1, ∴点C(-1,0), 0C=1, .SA4oB=S△coB+S△co -c+b0c -*21+ 2: (3)解：观察图象得：不等式红+b>的解类为-34<0或>2 9.-1<x<0或x>1. 10,【详解】(1)解：把4-14代入y-m 中得：4= -1 解得m=-4, “反比例函数解析式为y=-4 把B(2,m)代入y=-4 中得：n=-4 -2 2 B(2,-2), 「-k+b=4 把A(-1,4)B(2,-2)代入2=+b得：12k+b=-2 「k=-2 1b=2 4/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.一次函数解析式为y=-2x+2 ②)解：~反比例函数=和一次函数2，三：+b的图象交于A14和B2,-2)两 方程贺=红+6的解为5=-15=2。 11.【详解】(1)解：根据题意可得，转速从100转/min加速到500转min时，所需时间为 500-100=4(mim)）, 100 在转速增加的过程中，设y关于x的函数解析式为y=x+100(k≠0)， 将点(4,500)代入，得4k+100=500, 解得k=100, 故启动阶段，y关于x的函数解析式为y=100x+100: 在转速下降过程中，设，关于，的两数解析式为=生，将点（450)代入，得k=4x50=20, 故下降阶段，y关于，的函数解析式为y=200 (2)解：在y=100x+100中，令y=200, 解得x=1, 在y=2000 中，令y=200,得200=2000 解得x=10 可得l0-1=9min, 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于200转/min的时间为9min. 12.【详解】(1)解：设=kx, 函数经过点(10,8). 4 ∴8=10k,k=53 4 y=5x: 根据函数图象可得0<x≤10 :药物燃烧时；y=50<x≤10 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设乃飞 函数经过点(10,8)， 8≤ 10·k2=80, 80 ∴.y2= x 根据函数图象可得x>10 药物燃烧后y=0(x>10) (2)解：：当每立方米空气中含药量低于l.6mg时，对人体方能无毒害作用， 0=1.6时，x=50' 当x 经检验，x=50是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过50分钟后学生才可以回教室. 13。【详解】(1)解：设反比例函数的关系式为y=《(20≤x≤45)。 由图知，反比例函数过点C(20,45), 代入解析式得45= 20: 解得k=900, 900 反比例函数的关系式为y= x 900 当x=45时，y= 45 =20 则A点对应的指标值为20： (2)解：能.理由： 设上升阶段的表达式为y=mx+n, n=20 将A(0,20)B10,45)代入得： 10m+n=45? [m=2.5 解得1n=20· 上升阶段解析式为y=2.5x+20(0≤x≤10) 当=36时，2.5x+20=36, 6/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=6.4, 在下降阶段： 900=36,解得x=25’ x 25-6.4=18.6>15, ∴能安排 14.【详解】解：设直线OA的解析式为y=mx(m≠0)， 4m=20, m=80, .直线OA的解析式为y=80x 当x= 2时，y=120 设双曲线的解析式为y= 将点A 20代入得： k=1801 y=s0 当y=20时，x=9, 从晚上22：00经过9小时到第二天早上7：00，即可以上班. 故选B 15.【详解】(1)解：由题意知m=8,n=6. (2),消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间×成正比例函数关系， 设y=, 把点（®6）代入y=众中，得6=8财，解得k 4 3 一药物燃烧时，y关于×的函数关系式为y=x(0≤x≤8)， ,当室内空气中的含药量不低于3mgm时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当y=3时，x=4, ∴.药物燃烧4min时，才开始对杀灭病毒起效： 7121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,药物燃烧完成后，y与×成反比例函数关系， 一设反比例函数式为y= 把点(8,6)代入y=中，得a=6×8=48' 反比例函数式为y=T(>8), 药物燃烧完成后，当y=3时，x=16, .16-4=12(min), ∴.本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟. (3)空气中的含药量不高于l.6mgm'时，学生方可回到教室， 无y=16代入-经中，解得=0 即从消毒开始，至少需要30mi学生才能回到教室. 16,【详解】(1)解：①m=2,即A的横坐标为2， 当=2时号1， A(2,1), AB‖x轴， ∴.AB的纵坐标相同，且为1，， 当y=1时，1=-3 ,解得：x=-3, .B(-3,1) :二次函数y=a(x-h)的图象经过点A,B, a(2-h)2=1 六a(3-=1解得：h= 2 @白题意得4m引.4心-别 :AB‖x轴， 23 ∴m元：(m-=(n-h: .3m+2n=0, 8/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 :m+n=2h=an, 3 ∴.h<0. “当x>0时，y=a(-h)的函数值随x的增大而增大； 2解：当60时，a-名听8 .am2n2=-6 mn' ,mn=-6, 1 .a= 6 设直线AB解析式为y=kx+b,把A(m,am),B(n,an)代入得， mk +b am2 k=a(m+n) (nk+6=an2解得： b=-amn ∴.AB解析式为y=a(m+n)x-amn, ∴.当x=0时，y=-amn=1, ∴.直线AB与y轴的交点坐标为(0,1)： (3)解：过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥x轴于E,如图， E OC D Am,a(m-h）,Bm,a(n-h）,C(h.,0), 1 六tan∠ACD=a(m-h),tan∠CBE= a(n-h) :ma(m-h)}=2,na(n-h)2=-3, mma2(m-h)'(n-h)}2=-6, :mm=-6a2, a2(m-h)(n-h)=-, 9/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .a(m-h)=- a(n-h)' .tan∠ACD=tan∠CBE, .∠ACD=∠CBE, ,LBCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， .∠ACB=90° 17.【详解】(1)解：由题意，：一次函数y=2x+b的图象上“反点”坐标为(-3,3)， .2×(-3)+b=3, ∴b=9: (2)解：由反比例函数：<0)的中心对称性质可知0=35， :反比例函数y=《(k<0)的图象上的“反点”分别为A,B, .设A(x,-x),x<0, 则402=x2+(←x}=(32, .x=-3(正值舍去)， ∴A的坐标是（-3,3)， k=-3×3=-9」 (3)解：①：函数y=x2-5x+C的图象存在唯一的一个“反点”， y=-x ∴联立=r-5x+c,可得：x2-5x+c=-x 方程整理，得x2-4x+c=0, 两个相等的实数根，则△=(4)2-4c=0, ∴.16-4c=0,解得c=4. ②由①可知该二次函数的表达式为y=x2-5x+4. =(t-1)2-5t-1)+4,为=2-5t+4, y+y2=(-12-5(t-1)+4+-51+4=22-121+14=2t-3)}2-4, 10/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .当t=3时，+y2的最小值是-4. 18.【详解】(1)解：根据硬核点的定义，设点B的坐标点为(m,2m), 8 将点B(m,2m)代入y=c(x>0)中， .2m=8 解得m=2’ 点B在第一象限， ∴点B的坐标为(2,4)， 又，点A与点B关于x轴对称， 二次函数顶点A的坐标为(2，-4)， 设二次函数解析式为y=a(x-2-4,将点C(0,-3)代入解析式中， 1 得-3=a(0-2}-4,解得a=4, 4二次函数解析武为y=-X-3。 4 (2)解：，平行于x轴的直线1过点B,且点B的坐标为(2,4)， ∴直线的解析式为y=4, 二次函数顶点距离直线1的距离为4-（4)=8， 当m≤8时，在直线1上方，二次函数图像上有2个点到直线的距离为m, 在直线1下方，二次函数图像上有1个或者0个点到直线l距离为m,不符合题意， .m<8, m抛物线上的点到直线的距离， .m≥0， 又，当m=0时，二次函数图像上有2个点到直线的距离为m,不符合题意： ∴.综上所述，m的取值范围为0<m<8: (3)解：①：二次函数的顶点坐标为(2，-4)， ∴.二次函数的对称轴为x=2, ,当之1时，在顶点处取得最小值，此时t=2, 又点P(包括点P)右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为t-5, t-5=-4,解得t=1,不符合题意： 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当t>2时，在点P处取得最小值， 2-1-3=-5,解得1=4±22 t>2. t=4+2W2: ②：点M,N在直线y=x-3上，且点M的横坐标为1，点N的横坐标为1-1， ∴点M的坐标为(，1-3)，点N的坐标为(-1，t-4), ,点P在二次函数图像上，且横坐标为， ∴点p的丝标为-1 :点P,M的横坐标相等， .PMIy轴， 又：以MP,MN为邻边作平行四边形NOPM, .N№∥y轴， ∴点Q的横坐标为t-1; 令y=0,则x-3=0,解得x=3, 点在第一象限， t>3, 当抛物线在直线cD的下方时，P=1-3(任-13+2x。 过点N作NK⊥MP交MP于点K,此时点K(,-4) NK=t-(t-1)=1, S0w=MP.NK=子+2=3，解得1=2或1=6 4 t>3, .t=6, ∴点M的坐标为(6,3)， 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M K 当抛物线在直线cD的上方时，MP-日1-3小--)--21。 如图所示，过点M作MH⊥N№交N№于点H, M E 衣 此时点H的坐标为(t-1,t-3), MH=t-(t-1)=1, So=MP-MH--21=3,解得1=4士27 t>3, .t=4+27, 则点M的坐标为4+2W7,1+2V7): 综上所述，点M的坐标为(6,3)或(4+2V7,1+27） 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [y=2x-4 19.【详解】(1)解：联立=x-2x,得x-4x+4=0' △=(-4)2-4×1×4=0. 方程有两个相等解为七=x2=2, ∴直线y=2x-4是抛物线y=x2-2x的“亲密线”，“亲密点”为(2,0)， (2)解：可设直线1为y=a+b(k≠0)， 女+b-受变形为公+加-8=0 由题知，△=b2-4×k×(-8)=0, 即b2+32k=0, 直线y=+6分别5，销、y轴交于点M会0，N0.)】 2k1 .b2+32k=0, .b2=-32k, 2_-32k=16 .S0w=-2k-2k (3)解：①设4：y=k(x-m)+n=kx-km+n,:y=k(x-m)+n=k2x-km+n, 令-x2+4x=kx-km+n, 得方程x2+(k-4)x-km+n=0, .a=1,b=(k-4),c=-km+n, 由“亲密线”可知：△=(k-4)}2-4(-km+n)=0, 即+(4m-8)k+16-4n=0, 方程的解=b生瓜，44，女，《1) 2a22 同理可得：号+(4m-8)k+16-4n=0, a=645, 由(i)(i)知k,k是关于x的一元二次方程r2+(4m-8)x+16-4n=0的两个根， 14/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .k+k3=8-4m,kk2=16-4n, +5-4,+4,68-6+）_8-84m）-2m, 22 2 2 3 当m=2时，x+x=3 ②由抛物线y=-x2+4x知P(2,q), 设直线8y=k(x-2)+9, 令k(x-2)+q=-x2+4x, 即x2+(k-4)x+9-2k=0, 由韦达定理得x+3=4-k,x2=9-2k, 又知+x3=2m, .4-k=2m, 即k=4-2m, 0=4生，。-4空代入55=g-2, 4-k.4-k=q-2k, 得22 即16-4(k+k)+kk=4g-8k, 把k+k3=8-4m,kk2=16-4n,'k=4-2m代入上式中， 得16-4(8-4m)+16-4n=4g-8(4-2m), 整理可得：n+9=8」 「-3=-4-2b+c 20.【详解】(1)解：把点4-2，-3)和B0,5)代入y=-x2+br+c得5=c 解之，得b=2,c=5」 .y=-x2+2x+5=-(x-1)2+6 图象（抛物线）最高点的坐标为（山，6） 令y=(x-)2+6=2,解得x=-1或3. 又点C(m,2)在第一象限，则m>0. .m=3. 15/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：函数y=k>0)的图象是双曲线。 :点C(3,2)在抛物线上， 由①知，双曲线在第一象限的那一支经过点C或在点C的上方： 由②知，双曲线在第一象限的那一支经过点C或在点C的下方. :双曲线y=x经过点C(3,2》:即k=y=3×2=6: 此时，双曲线y=经过抛物线顶点(1,6)和点C(3,2), 6 满足两个条件. 综合攻坚知能拔高 一、选择题 题号 2 心 又 5 6 7 8 答案 D A A D A D B 二、填空题 9.-1(答案不唯一，k<0即可) 10.x<-4或0<x<2 11.6.5 12.5 三、解答题 13.【详解】(1)解：S=2”, 1 2S ∴y= x(x>0): S是常数且S≠0， .2S是常数且2S≠0， ·y是x的反比例函数， (2)解：t=100, 16/21 F 6 6/S?@- Al 6W- 6348 B N A 6 Al1& z6 5 68 C- D$% 6/SE B B- C /SE 8 3S/9 8 8 8 y 0 86g ).8 86g ）8 8 d 0 N = 8 9 9n 9 ILO d 0 8 L N 8698 B 8V V V 5 -348 V V V B$%68 N C BO P B- 6348 6 6 6 A/S^O P$%6<￥，6< C 6/S@ B ⊙ B C B B b89-b 189 8」v s/yo / Jn9 d O vS/8 A 0 ⊥ dd 0 仑 0 8 %$ 0 8%$8 日 B.8 N A BO B 6F N & j W6 ^8 68 Al BD j W6 ^8 专题07反比例函数综合应用 常考题型·精准突破 题型1 反比例函数位置判断（重） 题型2 反比例函数与一次函数综合（重） 题型3 反比例函数实际应用（高频） 题型4反比例函数与二次函数的综合（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 反比例函数图像位置判断 1．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 2．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 3．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 4．在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 5．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． ◆题型2 反比例函数与一次函数综合 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 7．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出直线与x轴交点的坐标，利用求出结果； （3）即一次函数在反比例函数的上方，根据图象直接得到不等式的解集． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数解析式为， 将点坐标代入，得， ∴点， 将点A、B的坐标代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ； （3）解：观察图象得：不等式的解集为或． 9．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 10．如图，反比例函数和一次函数的图象交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)直接写出方程的解． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数的表达式为 (2)， 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的解析式求得的值，得到反比例函数的解析式，然后将点的坐标代入可求得的值，然后利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）根据反比例函数与一次函数的图象交点的横坐标为方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵反比例函数和一次函数的图象交于和两点． ∴方程的解为，． ◆题型3 反比例函数实际应用 11．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【答案】(1)启动阶段：，下降阶段： (2) 【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． （2）解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 12．为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 13．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为20 (2)能，见解析 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 14．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 15．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． ◆题型4反比例函数与二次函数的综合 16．点，分别为反比例函数、的图象上一点，二次函数的图象经过点，，顶点为，，的横坐标分别为，，．    (1)如图，轴． 若，求的值； 试说明：当时，二次函数的函数值随增大而增大； (2)当，时，求直线与轴的交点坐标； (3)若，求证：． 【答案】(1)；见解析； (2)； (3) 解：过作轴于，过作轴于，如图，    ∵，，， ∴，， ∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（）由反比例函数的性质求出，，然后通过待定系数法求解析式即可； 由题意得，，则有，，所以，则，得，从而求证； （）当时，，，所以，求得，再求出解析式为 ，则当时，，从而求解； （）过作轴于，过作轴于，所以，，，则，，求得，又，所以，从而可得． 【详解】（1）解：∵，即的横坐标为， ∴当时，， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标相同，且为， ∴当时，，解得：， ∴， ∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得：； 由题意得，， ∵轴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴当时，的函数值随的增大而增大； （2）解：当时，，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为，把，代入得， ，解得： ∴解析式为 ， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； （3）略 17．定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数图象的“反点”．可以看成是函数图象与函数图像的交点坐标，联立方程组即可求解． (1)若一次函数的图像上“反点”坐标为，则b的值为______． (2)设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段的长度，求k的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若，是二次函数的图象上的两点，求的最小值． 【答案】(1) (2)； (3)①；②的最小值是 【分析】（1）将点代入一次函数中即可求出b的值． （2）由反比例函数的中心对称性质可知，由“反点”的定义设，，则，求出点A的坐标进而可求出k值． （3）①根据题意联立方程组得出关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式为0即可求出c的值． ②表示出和，，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，∵一次函数的图象上“反点”坐标为， ∴， ； （2）解：由反比例函数的中心对称性质可知， ∵反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B， ∴设，， 则， ∴（正值舍去）， ∴A的坐标是， ∴． （3）解：①∵函数的图象存在唯一的一个“反点”， ∴联立，可得：， 方程整理，得， 两个相等的实数根，则， ∴，解得． ②由①可知该二次函数的表达式为． ，， ∴， ∴当时，的最小值是． 18．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“硬核点”；二次函数的图象的顶点和反比例函数图象上的“硬核点”关于轴对称，且二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的函数解析式； (2)过点作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到直线的距离为，求的取值范围； (3)过点的直线交二次函数图象于另一点，点在二次函数的图象上且其横坐标为，点在直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，以为邻边作平行四边形， ①当时．点（包括点）右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为，求的值； ②当点在第一象限时，平行四边形的面积为3时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)① ②或 【分析】（1）根据硬核点的定义将点设出来，代入反比例函数中求出点的坐标，再根据对称性求出二次函数顶点的坐标，利用二次函数顶点式求解； （2）利用抛物线上有4个点到直线的距离相等，则距离应在顶点到直线之间且不包含端点求解即可； （3）①根据二次函数的增减性求解即可； ②根据点所在的位置，将点表示出来，因为点在第一象限，求出的取值范围，再利用平行四边形的面积求解． 【详解】（1）解：根据硬核点的定义，设点的坐标点为， 将点代入中， ∴，解得， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， 又∵点与点关于轴对称， ∴二次函数顶点的坐标为， 设二次函数解析式为，将点代入解析式中， 得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵平行于轴的直线过点，且点的坐标为， ∴直线的解析式为， 二次函数顶点距离直线的距离为， 当时，在直线上方，二次函数图像上有个点到直线的距离为， 在直线下方，二次函数图像上有个或者个点到直线距离为，不符合题意， ∴， ∵抛物线上的点到直线的距离， ∴， 又∵当时，二次函数图像上有个点到直线的距离为，不符合题意； ∴综上所述，的取值范围为； （3）解：①∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的对称轴为， ∵当时，在顶点处取得最小值，此时， 又点（包括点）右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为， ∴，解得，不符合题意； 当时，在点处取得最小值， ∴，解得， ∵， ∴； ②∵点在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点在二次函数图像上，且横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点的横坐标相等， ∴轴， 又∵以为邻边作平行四边形， ∴轴， ∴点的横坐标为； 令，则，解得， ∵点在第一象限， ∴， 当抛物线在直线的下方时，， 过点作交于点，此时点 ， ∴，解得或， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ， 当抛物线在直线的上方时，， 如图所示，过点作交于点， , 此时点的坐标为， ， ∴，解得， ∵， ∴， 则点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 19．我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 【答案】(1)直线是抛物线的亲密线，亲密点为． (2) (3)①；② 【分析】（1）联立函数表达式，求解交点坐标即可判断是否为“亲密线”，得出“亲密点”； （2）设直线为，由交点问题得出方程，转成一元二次方程后由得出与的关系，再计算出面积表达式，代入求解即可； （3）①由交点假设出与的函数表达式，由“亲密线”概念得出、的表达式，结合方程的概念以及韦达定理得出，再代入求解即可；②设直线，故得方程，由韦达定理得，，结合①中，得，把，代入，化简后得方程，把，，代入方程，可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：联立，得， ∴， 方程有两个相等解为， ∴直线是抛物线的“亲密线”，“亲密点”为． （2）解：可设直线为， 变形为， 由题知，， 即， 直线分别与轴、轴交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：①设，， 令， 得方程， ∵，，， 由“亲密线”可知：， 即， ∴方程的解，（ⅰ） 同理可得：， 且，（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）知，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 当时，； ②由抛物线知， 设直线， 令， 即， 由韦达定理得，， 又知， ∴， 即， 把，代入， 得， 即， 把，，代入上式中， 得， 整理可得：． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过、，三个点，且点在第一象限． (1)求图象最高点的坐标及的值； (2)若时，对于的每一个值，函数（为常数，且）均同时满足两个条件： ①函数的值大于函数的值； ②函数的值小于2． 据此，请你求出的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，将二次函数解析式化为顶点式即可得出图象最高点的坐标，令，解得或3，结合函数图象即可得出的值； （2）由①知，双曲线在第一象限的那一支经过点或在点的上方；由②知，双曲线在第一象限的那一支经过点或在点的下方，再结合二次函数和反比例函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：把点和代入，得， 解之，得，． ． 图象（抛物线）最高点的坐标为． 令，解得或3． 又点在第一象限，则． ． （2）解：函数的图象是双曲线． 点在抛物线上， 由①知，双曲线在第一象限的那一支经过点或在点的上方； 由②知，双曲线在第一象限的那一支经过点或在点的下方． 双曲线经过点，即． 此时，双曲线经过抛物线顶点和点，满足两个条件． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 2．某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据y随x的变化趋势确定比例系数的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：∵x是设定温度，故，又x增大时y随之减小，对于反比例函数，当时，y随x增大而减小. 本题中比例系数， ∴， 解得， 选项中只有，符合要求． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C与原点O重合．已知点，点，点A在反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】首先得到，然后由平行四边形的性质得到，，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ ∴． 4．若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的两个交点也关于原点中心对称，利用中心对称点的坐标特点即可求解． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个函数的交点，关于原点中心对称， ∵关于原点中心对称的点的横纵坐标均互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标是． 5．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 7．新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（    ） A．I随着m的增大而减小 B．电流I是可变电阻R的反比例函数 C．当物体质量为时，电流 D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量 【答案】D 【分析】根据图象可判断A，B，C选项，求出，然后结合得到，求出当时，m有最大值1.5，进而判断D． 【详解】解：由图2可知，R随m的增大而减小，由图3可知，I随R的增大而减小， 随着m的增大而增大，A选项错误； 由图3可知，I与R之间的函数图象与y轴有交点，故I不是R的反比例函数，B选项错误； 当时，由图2可知，； 当时，由图3可知，，C选项错误； 由题意，设， 将，代入，得 解得 ． 又， ． 随着m的增大而增大， 当时，m有最大值1.5． 而，故该电子托盘秤不能称出物体的质量，D选项正确． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 二、填空题 9．已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据题意得到正比例函数的图象分布在第二，四象限，得到，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，比例系数， ∴反比例函数的图象分布在第一，三象限， ∵正比例函数与反比例函数的图象没有交点， ∴正比例函数的图象分布在第二，四象限， ∴， ∴符合条件的可以为（答案不唯一）． 10．如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 【答案】或 【分析】结合函数图象，可以得到当在的左边或者在和之间时，满足不等式，求解即可． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， 又∵点的坐标是，点的坐标是， ∴根据函数的图象得：关于的不等式的解集为或． 11．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 12．如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数的几何意义，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 则， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 则， 解得，， ， ， 故答案为：5． 三、解答题 13．写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，是反比例函数 (2) 函数关系式为，是反比例函数 【分析】本题考查函数关系式的建立以及函数类型的判断： （1）根据三角形面积公式列函数关系式，再判断即可； （2）根据路程、速度和时间的关系列函数关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：， ， 是常数且， 是常数且， 是的反比例函数． （2）解：， ， 是常数且， 是的反比例函数． 14．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ 由题意得，轴， ∵ ∴ ∵的中点的坐标为， ∴ ∴ ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得 ∴ ∵ ∴平移的距离为． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数关系式： (2)直接写出关于的不等式的解集______； (3)连接、，则的面积为______． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入反比例函数关系式，可得答案； （2）根据图象的位置，即反比例函数图象在直线上方时自变量的取值，可得答案； （3）先求出直线的关系式，进而得出点C的坐标，可知，再根据可得答案． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）将不等式整理为， 当或时，． 所以不等式的解集是或． 故答案为：或； （3）当时，， ∴点． 设直线的关系式为，将点A，B代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点， ∴， 则． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式，求一次函数关系式，求三角形的面积，观察图象求不等式的解集，理解由观察图象的位置确定函数值的大小是解题的关键． 16．如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； (2)点C的坐标为：，的面积为6； (3)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【详解】（1）解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 18．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $