14.2 三角形全等的判定 第4课时 用三角形全等的判定解决尺规作图问题 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦用全等三角形判定解决尺规作图问题，核心包括作一个角等于已知角、作平行线及已知两边夹角或两角夹边作三角形。通过复习已知三边作三角形（SSS）和作线段，自然引出作角问题，搭建知识支架衔接前后内容。 此资料以“动手操作与理性思考统一”为特色，用SSS证明作角原理培养推理能力，通过作平行线、三角形实例强化几何直观，建立“作图—判定”模型提升应用意识。助力学生理解原理，为教师提供系统教学思路，有效提升课堂效率。

14.2 全等三角形的判定 第4课时 用三角形全等的判定解决尺规作图问题 课题 14.2 全等三角形的判定 第4课时 用三角形全等的判定 解决尺规作图问题 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十四章 教学方法 动手操作、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十四章"全等三角形"第二节"全等三角形的判定"第4课时。本节课以已学的基本尺规作图——作一条线段等于已知线段为基础，学习作一个角等于已知角这一基本作图，再将基本作图的知识应用于作平行线和作三角形。本节课是尺规作图与三角形全等判定的综合应用课，体现了"用全等三角形的判定解释尺规作图的合理性"这一核心思想。通过本节课的学习，学生不仅掌握了几个重要的尺规作图方法，更重要的是理解了尺规作图背后的数学原理——全等三角形判定，实现了"动手操作"与"理性思考"的统一。 学情分析 学生在本章前几节课已经系统学习了SAS、ASA、AAS、SSS四种三角形全等判定方法，在第3课时中学习了"已知三边作三角形"的尺规作图。学生已经具备了三角形全等的知识基础，掌握了全等判定中的SSS和SAS等基础知识。本节课将全等判定知识应用于尺规作图，对学生的知识迁移能力和综合应用能力有一定要求。学生需要理解"为什么尺规作图是合理的"——即用全等判定来解释作图依据，这对学生的逻辑推理能力是一次提升。 教学重点：掌握基本尺规作图：作一个角等于已知角；理解"作一个角等于已知角"的作图原理——利用SSS证明全等；能利用基本作图作三角形：已知两边及其夹角、已知两角及其夹边作三角形；能利用"作一个角等于已知角"解决过直线外一点作已知直线的平行线问题。 掌握基本尺规作图：作一个角等于已知角；理解"作一个角等于已知角"的作图原理——利用SSS证明全等；能利用基本作图作三角形：已知两边及其夹角、已知两角及其夹边作三角形；能利用"作一个角等于已知角"解决过直线外一点作已知直线的平行线问题。 教学难点：理解"作一个角等于已知角"的作图原理——为什么这样作出来的角等于已知角（SSS）；在"作一个角等于已知角"、作平行线、作三角形等各种尺规作图问题中，准确识别所依据的全等判定方法，理解作图与判定的对应关系；能根据题目要求，灵活运用基本作图方法完成复杂作图任务。 理解"作一个角等于已知角"的作图原理——为什么这样作出来的角等于已知角（SSS）；在"作一个角等于已知角"、作平行线、作三角形等各种尺规作图问题中，准确识别所依据的全等判定方法，理解作图与判定的对应关系；能根据题目要求，灵活运用基本作图方法完成复杂作图任务。 一、核心素养目标 1. 几何直观 通过基本尺规作图（作一个角等于已知角）的操作，直观感受到尺规作图是利用圆规和直尺构建几何图形，借助"全等"这一核心概念来实现作图目标。在作平行线、作三角形的过程中，通过作图轨迹的直观显示，深化对三角形全等判定方法的几何直观理解。 2. 推理能力 理解"作一个角等于已知角"的作图原理——利用SSS证明两个三角形全等，从而对应角相等。能用三角形全等判定方法（SAS、ASA、SSS等）解释各类尺规作图的合理性，实现"动手操作"与"理性思考"的统一。在尺规作图与全等判定之间建立逻辑联系，培养演绎推理能力。 3. 应用意识 能利用"作一个角等于已知角"这一基本作图解决实际问题：过直线外一点作已知直线的平行线，已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形。体会数学知识（全等判定）在工具操作（尺规作图）中的应用价值，增强数学应用意识。 4. 模型观念 建立"尺规作图——全等判定"的对应模型：已知三边作三角形→SSS，作一个角等于已知角→SSS，已知两边及其夹角作三角形→SAS，已知两角及其夹边作三角形→ASA。理解每种尺规作图背后的全等判定依据，建立作图方法与判定定理的对应关系，形成系统的知识网络。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握基本尺规作图"作一个角等于已知角"的作法步骤，理解其原理。 2. 能利用基本作图作三角形：已知两边及其夹角（SAS）、已知两角及其夹边（ASA）作三角形。 3. 能利用"作一个角等于已知角"解决作平行线问题。 4. 理解每种尺规作图背后的全等判定依据。 教学难点 1. 理解"作一个角等于已知角"的作图原理——构造全等三角形（SSS），从而得到对应角相等。 2. 在作平行线时，理解"同位角相等，两直线平行"与"作一个角等于已知角"的结合。 3. 灵活运用基本作图方法完成复杂作图任务，准确把握作图步骤的先后顺序。 三、教学过程 环节一：复习导入（3分钟） 【教师活动】同学们，在前面的学习中，我们已经掌握了两种基本尺规作图：作一条线段等于已知线段，以及已知三边作三角形。请同学们回忆一下，已知三边作三角形的依据是什么？ 【学生活动】已知三边作三角形的依据是SSS基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。因为三边长度确定了，三角形的形状和大小就唯一确定了。 【教师活动】回答得很好！线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素。我们已经学会了作一条线段等于已知线段，那么如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？这节课我们就来学习如何用三角形全等的判定解决尺规作图问题。 【设计意图】从已学的基本作图（作线段）出发，自然引出本节课的核心问题——作一个角等于已知角。通过回顾已知三边作三角形的SSS原理，为后续理解"作一个角等于已知角"的SSS原理做好铺垫，体现了知识的连贯性。 【过渡语】让我们先来探究如何作一个角等于已知角。 环节二：探究新知（13分钟） 一、思考：如何作一个角等于已知角？ 【教师活动】如图，已知∠AOB。利用直尺和圆规，求作∠A'O'B' = ∠AOB。注意，这里的直尺指的是无刻度的直尺，也就是说，直尺只能用来连线，不能用来测量线段的长度。 【教师活动】想一想：我们学过的知识中，什么条件下两个角相等？ 【学生活动】全等三角形的对应角相等！可以把∠AOB放在某个三角形中，然后作出与这个三角形全等的三角形，那么新三角形的对应角就等于∠AOB了。 【教师活动】思路非常清晰！我们要构造一个三角形，然后用SSS判定两个三角形全等，从而得到对应角相等。关键在于：如何构造一个三角形，使得它的三边与已知三角形对应相等？ 【教师活动】具体步骤：在∠AOB的两边上任取两点C、D（以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D），这样就得到了△COD。只要再作出一个与△COD全等的三角形，就能得到相等的角。 【知识点】核心思路：作一个角等于已知角 基本思路：将已知角放在一个三角形中，再作出这个三角形的全等三角形。 关键步骤：在角的两边上取两点，构造一个以O为顶点的三角形。 再按照SSS方法作出全等三角形，新三角形的对应角就等于已知角。 二、作法步骤 【教师活动】我们来看具体的作图步骤： 【知识点】基本尺规作图：作一个角等于已知角 已知：∠AOB。求作：∠A'O'B' = ∠AOB。 作法： (1) 以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点C、D； (2) 作一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径作弧，交O'A'于点C'； (3) 以点C'为圆心，CD长为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D'； (4) 过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B' = ∠AOB。 原理：OC = O'C'，OD = O'D'，CD = C'D' △COD ≌ △C'O'D'（SSS），∴ ∠A'O'B' = ∠AOB。 【教师活动】请同学们思考：为什么这样作出来的∠A'O'B'就等于∠AOB呢？ 【学生活动】因为连接CD和C'D'后，OC = O'C'（作法中取了相同的半径），OD = O'D'（O'C'半径 = OC半径，OD = OC，所以O'D' = OD），CD = C'D'。所以△COD ≌ △C'O'D'（SSS），因此∠A'O'B' = ∠AOB。 【教师活动】分析得非常到位！这就是用SSS来解释尺规作图合理性的典型案例。尺规作图之所以能作出相等的角，本质上是利用了三角形全等的判定方法。 【知识要点】尺规作图原理总结作一个角等于已知角的本质：构造全等三角形（SSS），利用全等三角形对应角相等。步骤简记：取弧(OC)→作射线(O'A')→截弧(O'C')→画弧交D'→连线(O'B')。证明依据：OC = O'C'，OD = O'D'，CD = C'D' → △COD ≌ △C'O'D' (SSS)。尺规作图口诀：截弧取点，等弧得点，连线得角。 【设计意图】通过"作一个角等于已知角"这一基本尺规作图，让学生体会到尺规作图不是凭空操作的，而是有严密的数学原理支撑的。通过SSS来解释作图合理性，实现了"动手操作"与"理性思考"的统一，培养了学生的逻辑推理能力。 【过渡语】掌握了"作一个角等于已知角"这一基本作图，接下来我们来看它的应用——作平行线。 环节三：例题精讲（10分钟） 一、例4：过直线外一点作已知直线的平行线 【教师活动】请同学们看教材例4。如图，已知直线AB及直线AB外一点C。利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD。 【教师活动】分析：我们知道"同位角相等，两直线平行"。可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD。为此需要先作出截线，再作出相等的同位角。 【教师活动】具体思路：过点C作一条直线，与AB相交于点E，得到∠CEB。然后在点C处作出∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD = ∠CEB。这样，CD就平行于AB了。 【知识点】例4：过直线外一点作已知直线的平行线 已知：直线AB及直线AB外一点C。 求作：过点C作直线AB的平行线CD。 作法： (1) 过点C作一条直线，与直线AB相交于点E； (2) 在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD = ∠CEB； (3) 反向延长CD，得直线CD。 即直线CD ∥ AB。 原理：∠FCD = ∠CEB（同位角相等）→ 两直线平行。 思考：还可以利用"内错角相等，两直线平行"来作图。 例4：过点C作AB的平行线CD 【方法归纳】作平行线的两种思路思路一（同位角法）：作一条与已知直线相交的截线，在目标点处作出相等的同位角。思路二（内错角法）：在目标点处作出相等的内错角。两种方法的本质都是利用平行线判定定理，通过"作一个角等于已知角"来实现。关键步骤：找到截线 → 确定参考角 → 在目标点处作等角。 【设计意图】例4是"作一个角等于已知角"的直接应用，通过构造同位角相等来实现作平行线。学生体会到了"基本作图→组合应用"的数学思想，即复杂的作图任务可以通过基本作图的组合来完成。同时，学生也复习了平行线的判定定理。 练习1：过三角形顶点作平行线 【教师活动】请同学们完成练习1。如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC的顶点A，并且与边BC平行。 【学生活动】作法：作射线BA，在点A处作∠DAF = ∠ABC（同位角相等），然后反向延长AF，则直线AF就是所求作的直线，AF ∥ BC。 【教师活动】非常好！与例4的思路完全一致，只是把"过直线外一点"变成了"过三角形顶点"，截线自然就是BA，参考角是∠ABC。 【解答】作法：(1) 作射线BA；(2) 作∠DAF = ∠ABC；(3) 反向延长AF，则直线AF ∥ BC。 【过渡语】"作一个角等于已知角"这一基本作图，不仅能用来作平行线，还能用来作三角形。接下来我们学习如何利用基本作图作三角形。 二、例5：已知两边及其夹角作三角形 【教师活动】请同学们看例5。如图，已知线段a、b和∠α，求作△ABC，使AB = a，AC = b，∠A = ∠α。 【教师活动】分析：这道题给了两条边和一个角，而且这个角是两条边的夹角。这正好对应SAS判定定理。思路是：先画出这个角，然后在角的两边上截取给定的线段长度，最后连接两个端点。 【知识点】例5：已知两边及其夹角作三角形（SAS） 已知：线段a、b和∠α。 求作：△ABC，使AB = a，AC = b，∠A = ∠α。 作法： (1) 作∠DAE = ∠α； (2) 在射线AD上截取AB = a，在射线AE上截取AC = b； (3) 连接BC，则△ABC就是所求作的三角形。 依据：SAS判定定理 —— 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 【设计意图】例5是"作一个角等于已知角"与"作一条线段等于已知线段"两种基本作图的组合。学生体会到，复杂的作图往往是通过基本作图的组合来实现的，体现了"从简单到复杂"的数学思想。同时，SAS判定定理为作图提供了理论依据。 练习2：已知两角及其夹边作三角形 【教师活动】请同学们完成练习2。已知∠α、∠β和线段c，求作△ABC，使∠A = ∠α，∠B = ∠β，AB = c。 【教师活动】分析：这道题给的是两个角和一个夹边，对应ASA判定定理。思路是：先作线段AB = c，然后分别以A、B为顶点作∠α和∠β，两射线的交点就是C。 【学生活动】作法：(1) 作∠DAF = ∠α；(2) 在射线AF上截取AB = c；(3) 以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE = ∠β，BE交AD于点C。则△ABC就是所求作的三角形。 【教师活动】步骤完全正确！这道题对应的是ASA判定定理——两角及其夹边确定，三角形就确定了。 【解答】作法：(1) 作∠DAF = ∠α；(2) 在射线AF上截取AB = c；(3) 以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE = ∠β，BE交AD于点C。则△ABC即为所求。 【规律总结】尺规作图与全等判定的对应关系已知三边作三角形 → SSS已知两边及其夹角作三角形 → SAS已知两角及其夹边作三角形 → ASA已知两角及一角对边作三角形 → AAS作一个角等于已知角 → SSS（构造全等三角形）作平行线 → 同位角相等（利用"作一个角等于已知角"）核心思想：每种尺规作图都有对应的全等判定依据，实现"作图"与"原理"的统一。 【设计意图】通过例5和练习2，学生分别练习了SAS和ASA对应的尺规作图。通过"规律总结"表格，帮助学生建立"尺规作图——全等判定"的对应关系，形成系统的知识网络。 【过渡语】同学们已经掌握了基本作图方法，接下来通过练习来巩固。 环节四：课堂练习（15分钟） 一、随堂演练1 —— 选择题（能唯一画出三角形） 【教师活动】第1题。根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）。 A. ∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4 B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C. AB＝3，BC＝4，CA＝1 D. ∠C＝90°，AB＝6 【学生活动】A选项：∠A = 36°，∠B = 45°，AB = 4，这是两角及夹边，满足ASA，能唯一确定三角形。B选项：AB = 4，BC = 3，∠A = 30°，这是两边及其中一边的对角（SSA），不能判定三角形全等，因此不能唯一确定三角形。C选项：AB = 3，BC = 4，AC = 1，但3 + 1 = 4，不满足三角形三边关系，不能构成三角形。D选项：∠C = 90°，AB = 6，只有一个直角和一条斜边，不能唯一确定三角形。所以正确答案是A。 【教师活动】分析得非常全面！你不仅判断了每个选项，还说明了理由，特别是对C选项三角形三边关系的分析非常到位。 【答案】正确答案：A。解析：A选项满足ASA，能唯一确定三角形。B选项为SSA，不能判定全等。C选项3+1=4，不满足三角形三边关系。D选项条件不足，不能唯一确定三角形。 二、随堂演练2 —— 选择题（尺规作图痕迹识别） 【教师活动】第2题。如图，用尺规作出∠OBF = ∠AOB，作图痕迹弧MN是（ ）。 A. 以点B为圆心，OD为半径的弧 B. 以点B为圆心，DC为半径的弧 C. 以点E为圆心，OD为半径的弧 D. 以点E为圆心，DC为半径的弧 【学生活动】回顾"作一个角等于已知角"的作法步骤：第(3)步是以C'为圆心，CD长为半径作弧。在图中，弧MN的交点M和N，对应的是以E为圆心，DC为半径的弧（因为E相当于C'，DC是之前取的弦长）。所以选D。 【教师活动】判断正确！这道题考查了大家对"作一个角等于已知角"作图步骤的深入理解，不仅要会作图，还要能识别每一步的痕迹。 【答案】正确答案：D。解析：在"作一个角等于已知角"的步骤中，第(3)步是以C'为圆心，CD长为半径作弧。图中E相当于C'，所以弧MN是以点E为圆心、DC为半径的弧。 三、随堂演练3 —— 作等腰三角形 【教师活动】第3题。已知线段a、b，求作△ABC，使AB = AC = a，BC = b。 【学生活动】已知三边长度，这是SSS作图。作法：(1) 作线段BC = b；(2) 分别以B、C为圆心，a为半径作弧，两弧交于点A；(3) 连接AB、AC。则△ABC即为所求。 【教师活动】作法完全正确！这道题是已知三边作三角形（SSS），而且AB = AC，所以是等腰三角形。 【解答】作法：(1) 作线段BC = b；(2) 分别以B、C为圆心，a为半径作弧，两弧交于点A；(3) 连接AB、AC。则△ABC即为所求。 四、随堂演练4 —— 综合作图题 【教师活动】第4题。如图，已知△ABC，AC > AB，∠C = 45°。请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC = 45°。（保留作图痕迹，不写作法） 【教师活动】分析：要在AC边上找到一点P，使得∠PBC = 45°，而∠C = 45°。也就是说，∠PBC = ∠C，如果能在BP上作一个角等于∠C...换个思路，∠PBC = 45°，∠C = 45°，所以∠PBC = ∠C。如果作∠PBC = ∠C，那么BP交AC于P，P就是所求的点。 【学生活动】我明白了！作法：以B为顶点，BC为一边，作∠PBC = ∠C = 45°，BP交AC于点P，点P即为所求。 【教师活动】思路完全正确！这道题的关键是发现∠PBC = ∠C = 45°，然后利用"作一个角等于已知角"的基本作图来实现。 【答案】点P即为所求作。作法：以B为顶点，BC为一边，作∠PBC = ∠C = 45°，BP交AC于点P。 【易错防范】尺规作图中常见错误错误一：混淆"作一个角等于已知角"的步骤顺序，特别是第(3)步的圆心和半径。错误二：作三角形时弄错边的对应关系，导致作出的三角形不满足条件。错误三：忘记保留作图痕迹——尺规作图必须保留弧线痕迹，不能只画最终图形。错误四：不理解作图原理，只是机械记忆步骤，遇到变化就不会灵活应用。提示：每次作图后，都用全等判定方法检验一下，确保作图正确。 【设计意图】四道练习题从不同角度考查了尺规作图与全等判定的综合应用。第1题考查了不同条件下三角形能否唯一确定（对应SSS/SAS/ASA判定）；第2题考查了对"作一个角等于已知角"作图步骤痕迹的识别；第3题是已知三边作三角形（SSS）的变式练习；第4题是综合题，需要分析条件后灵活运用基本作图。练习题由浅入深，覆盖了本节课的重点知识。 【过渡语】同学们通过练习已经巩固了尺规作图的方法，现在我们来回顾本节课的主要内容。 环节五：课堂小结与作业（4分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了用三角形全等的判定解决尺规作图问题。请同学们回顾一下，本节课你有哪些收获？ 【学生活动】我学会了基本尺规作图——作一个角等于已知角，知道了作图步骤和原理：利用SSS构造全等三角形，得到对应角相等。 【学生活动】我学会了利用"作一个角等于已知角"作平行线，还可以利用同位角相等或内错角相等来作平行线。 【学生活动】我学会了已知两边及其夹角（SAS）作三角形，以及已知两角及其夹边（ASA）作三角形。 【学生活动】我明白了尺规作图与全等判定之间的对应关系：SSS、SAS、ASA分别对应不同的作图方法，每种作图背后都有全等判定作为理论依据。 【学生活动】我知道了尺规作图不仅要会操作，还要理解原理，保留作图痕迹，每一步都要有依据。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的核心就是"用全等判定解释尺规作图"。尺规作图不是凭空乱画，每一步都有数学原理支撑。请同学们课后完成以下作业： 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 【设计意图】课堂小结采用学生自主回顾的方式，从基本作图、作平行线、作三角形、对应关系、注意事项五个方面梳理本节课的知识体系。学生通过自主表述，将"尺规作图"与"全等判定"两个看似独立的知识点有机联系起来，形成完整的认知结构。 四、板书设计 14.2 全等三角形的判定 第4课时 尺规作图 一、基本作图：作一个角等于已知角 步骤：(1)截弧取C,D (2)作射线O'A' (3)截弧O'C' (4)画弧交D' (5)连线O'B' 原理：△COD ≌ △C'O'D' (SSS) ∴ ∠A'O'B' = ∠AOB 二、例4：作平行线 三、例5：已知两边夹角作三角形 过点C作直线AB平行线CD (1)作截线CE交AB于E (2)作∠FCD = ∠CEB (3)反向延长CD 原理：同位角相等 → 两直线平行 已知线段a,b,∠α，作△ABC (1)作∠DAE = ∠α (2)截取AB=a, AC=b (3)连接BC 依据：SAS 四、练习：已知两角夹边作三角形 五、尺规作图与全等判定对应 已知∠α,∠β,线段c，作△ABC (1)作∠DAF = ∠α (2)截取AB = c (3)作∠ABE = ∠β 依据：ASA 作角等于已知角 → SSS 已知三边 → SSS 已知两边夹角 → SAS 已知两角夹边 → ASA 六、课堂练习 七、课后作业 练习1：能唯一画三角形 → A 练习2：作图痕迹 → D 练习3：作等腰三角形 练习4：综合作图(∠PBC=45°) 教材课后习题 练习册本课时习题 五、教学反思 1. 复习导入环节，从"已知三边作三角形（SSS）"出发，引出"作一个角等于已知角"，这种从已知到未知的引入方式是否自然？学生是否能快速想到"把角放到三角形中，再构造全等三角形"这一思路？ 2. 在讲解"作一个角等于已知角"的步骤时，是否每一步都讲清楚了，学生是否能理解"为什么以C'为圆心、CD为半径作弧"？SSS原理的讲解是否到位，学生是否能独立说出证明过程？ 3. 例4（作平行线）是将"作一个角等于已知角"与"同位角相等，两直线平行"结合，学生是否能理解这种"组合应用"的思路？是否掌握了两种作平行线的方法（同位角法、内错角法）？ 4. 例5（已知两边及其夹角作三角形）和练习2（已知两角及其夹边作三角形）的讲解是否清晰？学生是否能区分SAS和ASA对应的不同作图方法？"尺规作图与全等判定对应关系"的总结表是否帮助学生建立了系统的知识网络？ 5. 四道练习题中，第2题（作图痕迹识别）和第4题（综合作图）是否对学生来说难度较大？学生是否能准确识别"作一个角等于已知角"的步骤痕迹？综合题中"∠PBC = ∠C = 45°"这一关键条件学生是否能发现？ 6. 本节课强调"用全等判定解释尺规作图"，学生是否真正理解了这一核心思想，而不仅仅是机械记忆作图步骤？是否能在新的作图问题中自主运用全等判定来指导作图？ 7. 本节课从基本作图→作平行线→作三角形→练习巩固，教学脉络是否清晰？板书设计是否清晰呈现了"尺规作图——全等判定"的对应关系？课后作业布置是否合理，是否需要增加作图练习？ 学科网（北京）股份有限公司 $