第一章 三角形 第二章 特殊三角形 暑假预习综合测试 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 以几何图形性质与全等判定为核心，整合定理应用、尺规作图与实际问题，通过分类讨论、转化思想培养推理能力与空间观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何基础|10题（如第1、7题）|等腰三角形分类讨论、全等判定条件辨析|三角形性质→特殊三角形→全等判定的逻辑递进| |定理应用|6题（如第11、15题）|垂直平分线/角平分线/三线合一定理直接应用与迁移|定理文字表述→图形性质→距离/长度计算的应用链| |综合解答|9题（如第20、25题）|实际情境建模（伞结构）、尺规作图与证明结合|几何直观→逻辑推理→数学表达的素养落地|

2026年八年级综合测试 考试时间：90分钟 总分：100分 姓名： 学号： 班级： 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（　　） A． B． C． D．或 2．（本题3分）如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是(　　) A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 4．（本题3分）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 5．（本题3分）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 6．（本题3分）一幅三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，已知图中的两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）在一个等边△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC边上的中点，若AD上有一点F使得EF＋FC的值最小，则此时∠ECF的大小为（ ） A．45º B．60º C．30º D．22.5º 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）（1）默写垂直平分线定理：_______________________________________ （2）默写角平分线定理：____________________________________________________ （3）默写三线合一定理：____________________________________________________ 12．（本题3分）如图，已知，，则 度． 13．（本题3分）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数为 ． 14．（本题3分）影院入场券上的“12排8座”可记为有序数对，则4排5座可表示为 ． 15．（本题3分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，的周长为18，则的长为 ． 16．（本题3分）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 三、解答题（共52分） 17．（本题4分）计算 (1)； (2)． 18．（本题4分）因式分解： (1)． (2)． 19．（本题4分）解答下列各题： (1)解分式方程：． (2)先化简，再求值：，其中． 20．（本题6分）我区的崧厦素有“中国伞城”之誉称．伞业公司所制作的纸伞，其工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，如果伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，就能保证伞圈能沿着伞柄滑动．已知．求证：△AED≌△AFD． 21．（本题6分）求证：等腰三角形两腰上的高线长相等。（自己画图进行证明） 22．（本题7分）如图，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（本题6分）如图，在中，，CD是的平分线，，交AC于点E，且．求，的度数． 24．（本题7分）如图，在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 25．（本题8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1． (1)画出△ABC关于A点所在直线的轴对称图形； (2)画出的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《综合测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C B A D B C 1．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况进行分析，分别根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：当腰长是时，三边为，，，能构成三角形，故周长为． 当腰长是时，三边为，，，能构成三角形，故周长为． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，作角平分线；根据作图得出符合全等三角形的判定定理，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 在和中， ， ， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识．由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了角的和差，根据求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴． 故选B． 7．A 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据三角形的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：当时， 不能判断三角形全等，故符合题意， 当时， 满足边角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意， 当时， 满足角角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意， 当时， 满足角边角判定，能判断三角形全等，故不符合题意， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：根据题意得：边b所对的角度为：， ∵图中的两个三角形全等， ∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ∴． 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了三角形折叠．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质，平角性质，是解题的关键． 根据轴对称知，由三角形外角性质得，由轴对称得，由平角性质即得． 【详解】解：由轴对称知，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． （修改）10．C 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键． 根据多项式除以单项式可直接进行求解． 【详解】解：原式． 故选：B． 11．2 【分析】本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线．由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得． 【详解】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线， ，，， ， ， ． 故答案为：2． 12．55 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得，结合已知角可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：55． 13．15°/15度 【分析】因为三角板的度数为45°，30°，所以根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，∵∠BAC=45°，∠F=30°， ∴∠ABF=∠BAC-∠F=45°-30°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角板度数的常识和三角形的外角性质，熟练掌握定理是解题的关键． 14． 【分析】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．由于将“12排8座”简单记作，根据这个规定即可确定4排5座表示的点坐标． 【详解】解：∵“12排8座”简单记作， ∴“4排5座”可以表示为． 故答案为：． 15．12 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而可得． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， ，的周长为18， ， ， 故答案为：12． 16． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出，的值是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，的值进而得出答案． 【详解】解：一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、， ，， ∴． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，乘法公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 19．(1) (2)； 【分析】本题考查了解分式方程、多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则及合并同类项的法则的运用，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先去分母，等号两边同时乘，在去括号移项，求出，最后检验即可． （2）先利用多项式和多项式相乘，单项式和单项式相乘，再合并同类项，最后将代入原式即可求出结果． 【详解】（1）解：对分式方程去分母，等号两边同时乘， 得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：， ， ， 当时，原式． 20．见解析 【分析】本题考查全等三角形的应用，理解题意确定出全等三角形以及全等的条件是解题的关键，根据确定全等的条件进行判定，即可得解． 【详解】解：证明，如下： 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角， ∴点必定在上． 21．证明见解析 【分析】根据SAS可知△AOB≌△COD，从而得出∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行的判定可得结论． 【详解】解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴∠A=∠C． ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查了1．全等三角形的判定和性质；2．平行线的判定． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由“”可证，再根据全等三角形的性质即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，再根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，利用“”证明是本题的关键． 23．， 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义求得，再根据等腰三角形的性质求得、即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵CD是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质求角的度数是解答的关键． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，BE=BF，即可利用SAS证得△ABE≌△CBF； （2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由△ABE≌△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90° 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， 又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-20°=25°， 由（1）知：△ABE≌△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=25°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+25°=70°． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 25．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查的是平移作图，作角平分线，熟练掌握作图步骤是解题的关键； （1）利用点B和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C的对应点，，然后顺次连结个对应点即可； （2）以B为圆心以任意长为半径作弧，交，于点E，F，以E，F为半径以大于为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，即为所求； 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求 （2）解：如图所示：即为所求； 答案第8页，共2页 答案第9页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $