第二章 特殊三角形 单元巩固 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦特殊三角形，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合《周髀算经》文化素材与蚂蚁路径等现实情境，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|等腰/直角三角形性质、勾股定理、轴对称|第9题结合《周髀算经》体现文化传承，第4/7题最短路径问题考察空间观念| |填空题|6|逆命题、等腰三角形分类、准内心定义|第11题“等高点”新定义考察抽象能力，第16题准内心分类培养推理意识| |综合题|7|角平分线综合、动态几何、全等证明|第18题内外角平分线综合应用模型意识，第20题等腰三角形分类讨论提升创新思维|

第二章 特殊三角形 单元巩固 一、单选题 1.下列定理中逆定理不存在的是（　　） A. 全等三角形的对应角相等                  B. 如果在一个三角形中，两边相等，那么它们所对的角也相等 C. 同位角相等，两直线平行                  D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2.如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为(    ) A.                                       B.                                       C. 8                                      D. 9 3.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B。下列结论中不一定成立的是(    ) A. PA=PB                       B. PO平分∠APB                       C. OA=OB                       D. AB垂直平分OP 4.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A. 140°                                     B. 100°                                     C. 50°                                     D. 40° 5.如图，在3×3的网格中，与ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（    ） A. 5个                                       B. 6个                                       C. 7个                                       D. 8个 6.如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（   ） A. 当∠B为定值时，∠CDE为定值                             B. 当∠α为定值时，∠CDE为定值 C. 当∠β为定值时，∠CDE为定值                             D. 当∠γ为定值时，∠CDE为定值 7.如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（   ） A. 40°                                       B. 45°                                       C. 50°                                       D. 55° 8.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（    ） A. 15                                         B. 30                                         C. 45                                         D. 60 9.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(    ) A. 直角三角形的面积                                              B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积                       D. 最大正方形与直角三角形的面积和 10.如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（    ） A.                                    B. 17                                   C.                                    D.  二、填空题 11.定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2 时，称点M为PQ的等高点”，称此时MP+MQ的值为PQ的“等高距离”.已知P（1，2），Q（3，4），当PQ的“等高距离”最小时，则点M的坐标为________. 12.在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个. 13.如图，在四边形ABCE中，∠ABC=45°，AE=CE，连接AC，∠ACB=30°，过A作AD⊥AE交BC于D，若AD=AE，则  =________。 14.下列命题中，逆命题是真命题的是 ________（只填写序号）。 ①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； ②等腰三角形两腰的高线相等； ③若三条线段a，b，c是三角形的三边，则这三条线段满足a+b>c ④角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ⑤全等三角形的面积相等； 15.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则底角∠B的大小为________． 16.定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P是△ABC的准内心(不包括顶点)，且点P在△ABC的某条边上，则CP的长为________。 三、综合题 17.已知：如图，△AOB的顶点O在直线 上，且AO=AB. （1）画出△AOB关于直线 成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C； （2）在(1)画出的图形中，AC与BD的位置关系是________； （3）在(1)画出的图形中连接AD，如果∠ABD=2∠ADB. 求证：△AOC是等边三角形，并直接写出∠DAO∶∠DAB的值. 18.已知，△ABC，AD⊥BD于点D，AE⊥CE于点E，连接DE. （1）如图1，若BD，CE分别为△ABC的外角平分线，求证：DE＝ (AB+BC+AC). （2）如图2，若BD，CE分别为△ABC的内角平分线，(1)中的结论成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请猜想出新的结论并证明； （3）如图3，若BD，CE分别为△ABC的一个内角和一个外角的平分线，AB＝8，BC＝10，AC＝7，请直接写出DE的长为________. 19.如图，在 中， ， ， 交 于点 .动点 从点 出发，按 的路径运动，且速度为 ，设出发时间为 . （1）求 的长. （2）当 时，求证： . （3）当点 在 边上运动时，若 是以 为腰的等腰三角形，求出所有满足条件的 的值. （4）在整个运动过程中，若 （ 为正整数），则满足条件的 的值有________个. 20.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG． （1）求∠DFG的度数； （2）设∠BAD＝θ， ①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形； ②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由． 21.请阅读下列材料 问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小，小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A'，使点A'、B分别位于直线l的两侧，再连接A'B，根据“两点间线段最短”可知A'B与直线l的交点P即为所求． （1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP=1，AC=1，PD=2，求出AP+BP的值： （2）将(1)中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值： （3）请结合图形，求 的最小值． 22.把三根长为3cm、4cm和5cm的细木棒首尾相连，能搭成一个直角三角形. （1）如果把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a倍（a>1），那么所得的三根细木棒能不能搭成一个直角三角形， 为什么？ （2）如果把这三根细木棒的长度分别延长x cm（x>0），那么所得的三根细木棒还能搭成一个三角形吗？为什么？如果能，请判断这个三角形的形状（锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形），并说明理由. 23.在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N. （1）如图①，若△AMN是等边三角形，则∠BAC=________°； （2）如图②，若∠BAC=135°，求证：BM2+CN2=MN2. （3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H.若AB=4，CB=10，求AH的长. 答案解析部分 一、单选题 1. A 考点：命题与定理 解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等，两三角形全等，是假命题，即其逆定理不存在，故此选项正确； B、如果在一个三角形中，两边相等，那么它们所对的角也相等，其逆命题为：两角对应相等，则其对应边相等，此定理存在，故此选项错误； C、同位角相等，两直线平行，其逆命题为：两直线平行，同位角相等，此定理存在，故此选项错误； D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，其逆命题为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，其逆定理存在，故此选项错误； 故选：A． 分析：分别得出各定理的逆定理，进而判断得出答案．　 2. A 考点：等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线 解：如图，连接FE、FD， ∵BD⊥AC，在Rt△BEC中，F为斜边BC的中点， ∴EF=BC=9， 同理，DF=BC=9， ∴EF=FD， ∵G为ED的中点， ∴FG⊥ED， ∴FG=. 故答案为：A. 分析：连接FE、FD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得EF=FD，然后再利用等腰三角形的性质求得EG⊥ED，最后根据勾股定理即可求得FG的长. 3. D 考点：直角三角形全等的判定，角平分线的性质 解：A、∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA=PB，正确，不符合题意； BC、在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP(HL)，∴∠APO=∠BPO，OA=OB，故B，C正确，不符合题意； D、由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，错误，符合题意. 即不一定成立的是选项D. 故答案为：D. 分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB，再利用斜边直角边定理证明△AOP和△BOP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOP=∠BOP，对应边相等可得OA=OB． 4. B 考点：轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题 解：如图，分别作出点P关于直线OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD， ∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM。 ∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40° ∴∠COD=2∠AOB=80° 在△COD中，OC=OD ∴∠OCD=∠ODC=50° 又∵OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON ∴△CON≌△PON  （SAS） ∴∠OCN=∠NPO=50° 同理可得 ∠OPM=∠ODM=50° ∴ ∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°. 故答案为：B. 分析：先作图确定出当△PMN周长取最小值时点M、N在射线OA和射线OB上的位置，并连接OC、OD、PM、PN、MN。利用轴对称的性质得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM，进而求出∠COD=2∠AOB=80°；继而分别在△COD中，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证得△CON≌△PON，利用全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得 ∠OPM=∠ODM=50°，则可利用 ∠MPN=∠NPO+∠OPM计算求解。 5. D 考点：轴对称的性质 解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有： 故答案为：D 分析：把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形；利用方格纸的特点，轴对称图形的概念，首先确定出对称轴，即可一一的做出满足条件的三角形。 6. B 考点：三角形的外角性质，等腰三角形的性质 解： A∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∠ADC=∠α+∠B， ∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠α+∠B-∠CDE， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠γ=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B， ∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B， ∴∠1=2∠CDE， ∴当∠α为定值时，∠CDE为定值， 故答案为：B． 分析：本题主要考查等腰三角形的性质和外角的性质，掌握等边对等角和三角形的外角等于不相邻两内角的和是解题的关键．根据等边对等角，可找到角之间的关系，再利用外角的性质可找到∠CDE和∠1之间的关系，从而得到答案． 7. A 考点：等腰三角形的性质，轴对称的性质 解：作P关于OA，OB的对称点P1 ， P2.连接OP1 ， OP2.则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O， ∵PP1关于OA对称， ∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50° 同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2 ， ∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP， ∴△P1OP2是等腰三角形. ∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°， ∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°， ∴∠AOB＝40°， 故答案为：A. 分析：作P关于OA，OB的对称点P1 ， P2.连接OP1 ， OP2.则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M＝∠OPM＝50°，OP1＝OP2＝OP，根据等腰三角形的性质即可求解. 8. B 考点：等边三角形的判定与性质，轴对称的性质 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD， ∵△PMN周长的最小值是6cm， ∴PM+PN+MN=6， ∴DM+CN+MN=6， 即CD=6=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°， 故答案为：B. 分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果. 9. C 考点：勾股定理的应用 解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。 由勾股定理得c2=a2+b2 ， 阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)， 较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a， 则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)， ∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。 分析：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2 ， 然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。 10. A 考点：平面展开﹣最短路径问题 解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离如图1： H′E＝ ， ②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过， 则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2： H′E＝ ∵17＞ ∴蚂蚁到达饼干的最短距离是 ， 故答案为：A． 分析：做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 二、填空题 11. （4，1）或（0，5） 考点：轴对称的应用-最短距离问题 解：如图，由题意：点M在直线EF或直线E′F′上运动. 作点P关于直线EF的对称点P′，连接QP′交直线EF于点M（4，1），此时PM+MQ的值最小， 作点P关于直线E′F′的对称点P″，连接QP″交直线E′F′于点M′（0，5）.此时 的值最小， 综上所述.满足条件的点M坐标为（4，1）或（0，5）. 故答案为（4，1）或（0，5）. 分析：如图，由题意：点M在直线EF或直线E′F′上运动.作点P关于直线EF的对称点P′，连接QP′交直线EF于点M（4，1），此时PM+MQ的值最小，作点P关于直线E′F′的对称点P″，连接QP″交直线E′F′于点M′（0，5）.此时PM+MQ的值最小. 12. 4 考点：等腰三角形的性质 解：如图所示，共有6种情况，∠C的度数有4个，分别为80°，40°，35°，20°. ①当AB＝AP，BQ＝PQ，CP＝CQ时； ②当AB＝AP，BP＝BQ，PQ＝QC时， ③当AB＝PB，PB＝BQ，PQ＝CQ时； ④AP＝PB，PB＝PQ，PQ＝QC时. ⑤AP＝PB，QB＝PQ，PQ＝CC时. ⑥BP＝AB，PQ＝BQ，PQ＝PC时. 故答案：4. 分析：如图所示，共有6种情况①当AB＝AP，BQ＝PQ，CP＝CQ时；②当AB＝AP，BP＝BQ，PQ＝QC时，③当AB＝PB，PB＝BQ，PQ＝CQ时；④AP＝PB，PB＝PQ，PQ＝QC时.⑤AP＝PB，QB＝PQ，PQ＝CC时.⑥BP＝AB，PQ＝BQ，PQ＝PC时，分别根据三角形的内角和定理外角性质及等边对等角的性质解答求出∠C的值即可. 13. -1 考点：全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质 解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DM⊥AC于M，过点N作EN⊥AC于N，则∠BHD=∠AHB=∠AMD=∠ANE=90°  ∴∠ADM+∠DAM=90° ∵AD⊥AE ∴∠DAE=90° ∴∠EAN+∠DAM=90° ∴∠ADM=∠EAN 又∵∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE ∴△DAM≌△AEN(AAS) ∴DM=AN ∵AE=CE,EN⊥AC ∴AC=2AN=2DM 在Rt△CDM中,∠DCM=30° ∴CD=2DM ∴AC=CD ∴∠ADC=∠DAC=(180-∠ACB)=(180-30°)=75° 又∵∠BHD=90°，∠ABC=45° ∴BH=DH，∠HDB=45° ∴∠ADH=180°-∠HDB-∠ADC=60° ∴∠DAB=30° 设DH=a,则BH=DH=a，AD=2a，AH=a ∴AB=AH+BH=(+1)a ∴. 分析：作DH⊥AB,DM⊥AC，EN⊥AC,先证明△DAM≌△AEN得到DM=AN,再利用等腰三角形三线合一的性质得AC=2AN,然后利用直角三角形30°角的性质得到CD=2DM，等量代换得AC=CD，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理可计算出∠ADC=∠DAC=75°。再利用三角形内角和定理得∠HDB=45°，进而利用平角的定义计算出于是可计算出∠ADH=60°，进而得∠DAB=30°，设DH=a,表示出BH、AD、AH，即可求出. 14. ①②③④ 考点：三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，命题与定理 解： ① 逆命题是， 两条直角边的平方和等于斜边的平方是直角三角形，正确，是真命题 ； ②逆命题是两边的高线相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，理由如下，如图， ， ∵CD=BE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形； ③逆命题是，如果三条线段满足a+b>c，则三条线段a，b，c是三角形的三边，正确，是真命题； ④角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 正确，是真命题，理由如下，如图， ∵AC=BC，OC=OC，∴△CAO≌△CBO（HL），∴∠AOC=∠BOC，即点C在∠AOB的角平分线上； ⑤逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，错误，为假命题，如等底同高的一个锐角三角形和一个钝角三角形面积相等，但是两个三角形不全等.  故答案为： ① ② ③ ④ . 分析： ① 由勾股定理的逆定理即可判断；②根据三角形的面积公式列式即可求得两边相等，则可判断是等腰三角形；③如果三条线段满足a+b>c，则这三条线段可以组成三角形；④利用斜边直角边定理证明三角形全等，则可得出点C在∠AOB的角平分线上；⑤根据等底同高两三角形面积相等，列举一个反例说明即可. 15. 68°或22° 考点：三角形的外角性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质 解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时， ∵∠AMD=90°， ∴∠A=90°-46°=44°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C= =68°；   ；（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时， ∴∠DAB=90°-46°=44°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C= ∠DAB=22°． 故答案为68°或22°． 分析：此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答． 16. 或 或3 考点：三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理 解：如图，当点P在AB边上时，  ∵点P是△ABC的准内心 ∴∠ACP=∠BCP=45°， 过点P作PE⊥AC于点E， ∴∠PEC=90° ∴∠PCE=∠EPC=45°， ∴PE=CE， 设点P到BC的距离为x，则点P到AC的距离也为x， ∴ 解之： ∴PE=CE= 在Rt△PCE中， PC2=PE2+CE2 ， PC2=（）2+（）2 ， ； 当点P在AC上时，过点P作PE⊥AB于点E， AB= ， ∵点P是△ABC的准内心， ∴PE=PC 在Rt△BPC和Rt△BPE中，    ∴Rt△BPC≌Rt△BPE（HL） ∴BC=BE=8 设PE=PC=x， ∴AE=10-8=2，AP=AC-CP=6-x， 在Rt△AEP中， AE2+PE2=AP2 ∴22+x2=（6-x）2 解之：； 当点P在BC上时，过点P作PE⊥B于点E ∵点P是△ABC的准内心， ∴PC=PE， 设PC=PE=x， ∴S△ABC=S△ABP+S△APC ∴ ，      解之：x=3 所以PC=3. ∴PC为或或3. 故答案为：或或3. 分析：分情况讨论：当点P在AB边上时，点P是△ABC的准内心，可得到∠ACP=∠BCP=45°，过点P作PE⊥AC于点E，易证PC=PE，设点P到BC的距离为x，则点P到AC的距离也为x，利用三角形的面积公式求出x的值，即可得到PE，CE的长，然后利用勾股定理求出PC的长；当点P在AC上时，过点P作PE⊥AB于点E，利用勾股定理求出AB的长，利用点P是△ABC的准内心，可证得PE=PC，利用全等三角形的判定和性质，可证得BC=BE=8，设PE=PC=x，用含x代数式表示出AP，然后利用勾股定理求出x的值，即可得到PC的长；当点P在BC上时，过点P作PE⊥B于点E，利用准内心的定义，可证得PC=PE，利用S△ABC=S△ABP+S△APC ， 建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到PC的值，综上所述可得到符合题意的PC的长。 三、综合题 17. （1）解：如图 （2）平行 （3）设∠ABO=x, ∵OA=AB， ∴∠AOB=∠ABO， 则∠BAO=180°-2x=180°-2x=2(90°-x), ∵∠COD=∠AOB=x， ∠DOB=360°-∠AOC-∠COD-∠AOB=360°-60°-2x=300°-2x, ∵OD=OB， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠OBD==x-60°， ∴∠ABD=∠ABO+∠OBD=x+x-60°=2x-60°， ∴∠ADB=∠ABD=x-30°， ∴∠DAB=180°-∠ADB-∠ABD=180°-（3x-90°）=270°-3x=3(90°-x)., ∴∠DAO=∠DAB-∠BAO=3(90°-x)-2(90°-x)=90°-x， ∴∠DAB=3∠DAO，即∠DAO∶∠DAB=1:3 . 考点：三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质 解：（2）∵AC与BD是对应点的连线， ∴AC∥BD. 故答案为：平行. 分析：（1）分别作出A、O、B关于l的对称点C、O、D，然后顺次连接三点即可； （2）根据对称的性质，由于l垂直平分AC和BD，由两条直线同时垂直一条直线，则AC和BD平行； （3） 根据对称的性质，得出 ∠ABO=∠CDO, ∠OBD=∠ODB，结合∠ABD=2∠ADB ，推出DA是∠CDB的平分线，结合AC平行BD ，可得CD=AD，再结合△ABO和△COD对称且AB=AO，从而可得 CA=CO=AO，则△AOC是等边三角形；设∠ABO=x, 设而不求，运用统一量的思想，通过等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理，分别把∠BAO、∠DOB、∠OBD、∠ABD和∠DAO全部用含x的代数式表示，最后求 ∠DAO和∠DAB的比值即可. 18. （1）证明：如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K， 在△BAD和△BKD中， ∵ ， ∴△BAD≌△BKD(ASA)， ∴AD＝KD，AB＝KB， 同理可证，AE＝HE，AC＝HC， ∴DE＝ HK， 又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC， ∴DE＝ (AB+AC+BC) （2）结论不成立.DE＝ (AB+AC﹣BC). 理由：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K， 在△BAD和△BKD中， ∵ ， ∴△BAD≌△BKD(ASA)， ∴AD＝KD，AB＝KB， 同理可证，AE＝HE，AC＝HC， ∴DE＝ HK， 又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC， ∴DE＝ (AB+AC﹣BC). （3）4.5. 考点：全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质 解：(3)解：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K， 在△BAD和△BKD中， ∵ ， ∴△BAD≌△BKD(ASA)， ∴AD＝KD，AB＝KB 同理可证，AE＝HE，AC＝HC， ∴DE＝ KH 又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB. ∴DE＝ (BC+AC﹣AB)， ∵AB＝8，BC＝10，AC＝7， ∴DE＝ (10+7﹣8)＝4.5， 故答案为4.5. 分析：(1)根据全等三角形的判定与性质，可得AB与BK，AC与CH的关系，根据等腰三角形的性质，可得AD与DK的关系，AE与EH的关系，根据三角形中位线的性质，可得答案；(2)都是内角平分线时，可根据等腰三角形三线合一的特点来求解，由于DB平分∠ABC，且AD⊥BD，如果延长AD交BC于K，那么三角形ABK就是个等腰三角形，AD＝DK，如果延长AE到H，那么同理可证AG＝GH，AC＝CH，那么DE就是三角形AHK的中位线，DE就是HK的一半，而HK＝BK﹣BH＝BK﹣(BC﹣CH)，由于BK＝AB，CH＝AC，那么可得出DE＝ (AB+AC﹣BC)；(3)证法同(1)，先根据题目给出的求法，得出GD是AC的一半，然后按(2)的方法，通过延长AF来得出DF是(BC﹣AB)的一半，由此可得出DE＝ (BC+AC﹣AB)，由此即可解决问题. 19. （1）解：过点 作 交 于点 . ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：当 时， 此时点 在 边上，且 由（1）可得 ∴ ∵ .        ∴ ∴ ∴ （3）解：当点 在 边上运动时， ①当 时， 是等腰三角形 ∵ ∴ ∴ ②当 时， 是等腰三角形 ∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ 为 中点 ∴ ∴ ∴ ∴当 是以 为腰的等腰三角形时， 的值为6.2或6.5. （4）无数 考点：全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质 解： （4）解：由（1）得知 ∴ 又∵n为正整数， ∴ 的值有无数个 ∴满足条件的 的值无数个. 分析：(1)利用等腰三角形的性质和勾股定理求三角形的高AH的长度，然后根据三角形的面积法求BD的长；（2）根据题意计算出AP=AD，然后利用SAS定理证明 ，从而利用全等三角形的性质进行证明；（3）分情况讨论当CP=CD或CP=DP时，分别求此时CP的长度，从而求t的值；（4）根据题意求出 ，从而确定三角形面积的值有无数个，所以t的值有无数个. 20. （1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠C＝40°． ∵△ABD和△AFD关于直线AD对称， ∴△ADB≌△ADF， ∴∠B＝∠AFD＝40°，AB＝AF∠BAD＝∠FAD＝θ， ∴AF＝AC． ∵AG平分∠FAC， ∴∠FAG＝∠CAG． 在△AGF和△AGC中， ， ∴△AGF≌△AGC（SAS）， ∴∠AFG＝∠C． ∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG， ∴∠DFG＝∠B+∠C＝40°+40°＝80°． （2）解：①当GD＝GF时， ∴∠GDF＝∠GFD＝80°． ∵∠ADG＝40°+θ， ∴40°+80°+40°+θ+θ＝180°， ∴θ＝10°． 当DF＝GF时， ∴∠FDG＝∠FGD． ∵∠DFG＝80°， ∴∠FDG＝∠FGD＝50°． ∴40°+50°+40°+2θ＝180°， ∴θ＝25°． 当DF＝DG时， ∴∠DFG＝∠DGF＝80°， ∴∠GDF＝20°， ∴40°+20°+40°+2θ＝180°， ∴θ＝40°． ∴当θ＝10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形； ②当∠GDF＝90°时， ∵∠DFG＝80°， ∴40°+90°+40°+2θ＝180°， ∴θ＝5°． 当∠DGF＝90°时， ∵∠DFG＝80°， ∴∠GDF＝10°， ∴40°+10°+40°+2θ＝180°， ∴θ＝45°， 综上所述，当θ＝5°或45°时，△DFG为直角三角形 考点：全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质 分析：（1）根据题目条件，证明△ABD≌AFD，根据三角形全等的性质即可判断△AFG≌△ACG，得出∠DFG的度数即可。 （2）①根据题意可知，利用等腰三角形的性质即可得到以下几种情况，GD=GF，DF=GF，DF=DG进行求解即可。 ②若三角形为直角三角形，根据题意则∠GDF或者∠DGF等于90°，根据所设的角的情况，求出角的数值即可。 21. （1）解：过点B作BE⊥l，过点A＇作A＇E⊥BE于点E。 由题意可知四边形CA＇ED是矩形 ∴CD=A＇E ∵PC=1，PD=2 ∴A＇E=CD=PC+PD=1+2=3             ∵AC=CP=1 ∴△ACP是等腰直角三角形， ∵点A关于直线l的对称点A'， ∴△PCA＇是等腰直角三角形，AP=A＇P，AC=A＇C=DE=1 ∴∠CPA＇=∠BPD=45° ∴AP+BP=A＇B ∴△BPD是等腰直角三角形， ∴PD=BD=2 ∴BE=BD+DE=2+1=3 ∴A＇B=； ∴AP+BP的值为; （2）解：过点A＇作A＇E⊥BD交BD的延长线于点E， ∴A＇E=CD=PC+PD=1+2=3，DE=AC=A＇C ∵BD=4-AC ∴BD+AC=4=BD+DE=BE=4       在Rt△A＇BE中 ； ∴ AP+BP的值为5； （3）解：∵△ACP和△BPD是直角三角形，  设AC=1，CP=m-3， ∴AP= 设BD=2，DP=9-m ∴ ∵AP=A＇P ∴的最小值就是A＇E的长， 过点A＇作A＇E⊥BD交BD的延长线于点E， ∵A＇E=CD=PC+PD=m-3+9-m=6，BE=BD+DE=BD+AC=2+1=3 ∴的最小值= 考点：勾股定理，轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题 分析：（1）过点B作BE⊥l，过点A＇作A＇E⊥BE于点E。 易证四边形CA＇ED是矩形，可得到CD=A＇E，就可求出A＇E的长，利用已知条件易证△PCA＇和△BPD是等腰直角三角形，从而可求出BE的长，然后利用勾股定理求出A＇B的长，继而可求解。 （2）过点A＇作A＇E⊥BD交BD的延长线于点E，先求出A＇E的长，由BD=4-AC，可得到BE的长，再利用勾股定理求出A＇B的长，即可得到AP+BP的值。 （3）利用已知条件可设AC=1，CP=m-3，BD=2，DP=9-m，可得到AP和BP的值，因此可得的最小值就是A＇E的长即的值，过点A＇作A＇E⊥BD交BD的延长线于点E，就可得到A＇E和BE的长，然后代入计算可求值。 22. （1）解：把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a倍（a>1）， ∴ ， ， ∴ ， ∴边长扩大为原来的a倍，仍能搭成一个直角三角形 （2）解：把这三根细木棒的长度分别延长x cm， ∵（3+x）+（4+x）=7+2x， ∵x>0， ∴7+2x>5+x， ∴（3+x）+（4+x）>5+x； ∴以（3+x）、（4+x）、（5+x）为边，能搭成一个三角形； ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴这个三角形为锐角三角形 考点：三角形三边关系，勾股定理的逆定理 分析：（1）利用勾股定理的逆定理，即可得到结论；（2）根据三角形的三边关系，即可判断等搭成一个三角形，由三角形两短边的平方和大于最长边的平方，可判断是锐角三角形，即可得到结论. 23. （1）120 （2）解：如图②，连接AM、AN ∵∠BAC=135° ∴∠B+∠C=45°， 又∵点M在AB的垂直平分线上 ∴AM=BM ∴∠BAM=∠B， 同理AN=CN，∠CAN=∠C ∴∠BAM+∠CAN=45° ∴∠MAN=90°， ∴AM2+AN2=MN2； ∴BM2+CN2=MN2； （3）解：如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E ∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC ∴PH=PE ∵点P在AC的垂直平分线上 ∴AP=CP 在Rt△APH和Rt△CPE中 ∴Rt△APH≌Rt△CPE ∴AH=CE， ∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC ∴∠HBP=∠CBP，∠BHP=∠BEP=90° ∵BP=BP ∴Rt△BPH≌Rt△BPE ∴BH=BE， ∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH ∴AH=（BC-AB）÷2=3. 考点：全等三角形的性质，直角三角形全等的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理 解：（1）如图①，∵△AMN是等边三角形， ∴∠AMN=60°， ∵MG是AB的垂直平分线， ∴AM=AM， ∴∠B=∠BAM=30° 同理：∠C=30°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120° 故答案为120； 分析：（1）利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，易证AM=BM，AN=NC根据等边对等角就可求出∠B，∠C的度数，然后利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数。 （2）利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C的值，再利用垂直平分线的性质，可证得AM=BM，AN=CN，再证明∠BAN=∠B，∠CAN=∠B，就可求出∠BAM+∠CAN=45° ，然后利用角的和差就可求出∠MAN=90°，利用勾股定理，可推出结论。 （3）利用角平分线定理和线段垂直平分线定理，可证得PH=PE，AP=PC，再利用HL证明Rt△APH≌Rt△CPE，利用全等三角形的性质，易证AH=CE，再根据垂直的定义和角平分线的定义，可得到∠HBP=∠CBP，∠BHP=∠BEP=90°，然后Rt△BPH≌Rt△BPE，可得到BH=BE，从而可推出BC=AB+2AH，代入相关线段的长即可求出AH的值。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $