河北承德市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

绝密★启用前 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则 A． B． C． D． 2．二项式展开式的中间一项的二项式系数为 A． B． C． D． 3．若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则 A． B． C． D． 4．已知函数，则 A． B． C． D． 5．已知随机变量满足，若，则随机变量的数学期望为 A．96 B．100 C．104 D．116 6．已知函数的最大值为1，则 A． B． C． D． 7．已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数 （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 8．将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中“好数”个数为 A．219 B．220 C．285 D．286 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，在单调递增，则下列说法正确的是 A． B．为奇函数 C． D． 10．已知复数，其共轭复数分别为，，则下列说法正确的是 A． B．若，则 C．若，则（为虚数单位） D．若，其中，则 11．已知函数，下列说法正确的是 A．可能为偶函数 B．曲线不可能有对称轴 C．当时，函数有极值 D．当时，若为函数的极大值点，则在单调递增 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12．命题“，”的否定是________． 13．“算两次原理”（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想方法，核心是：对同一个量，从两个不同角度或采用两种不同方法分别计算一次，根据结果相同建立等量关系，从而解决问题．请你结合二项式定理，利用等式，计算 ________．（结果用组合数表示） 14．已知函数（为自然对数的底数）在恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分） 某农业科研课题组探究土壤有机物含量对某蔬菜单株产量的影响，收集到了5组观测数据： 1 4 6.25 9 16 5.5 4 4 3.5 3 （1）通过散点图分析，选用模型拟合与的相关关系，请利用最小二乘法求和； （2）为进一步探究与之间的关联性，课题组扩大了样本量，整理得到下面列联表． 产量 有机质 合计 达标 不达标 高产 18 低产 23 合计 30 30 60 （i）补全上述列联表； （ii）依据小概率值的独立性检验，能否认为土壤有机质达标与该蔬菜高产有关联？ 附1：对于一组数据，，⋯，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别是，，，． 附2：，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 17．（本题满分15分） 某生物实验室做真菌培育试验，每次试验投放6个真菌，假设每个真菌存活率均为． （1）记单次试验中菌种恰好存活3个真菌的概率为，若当时，取得最大值，求的值； （2）以（1）中的作为的值，连续独立再做5次培育试验，记这5次培育试验中菌种存活数大于等于4的试验次数为，求的期望和方差． 18．（本题满分17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 19．（本题满分17分） 已知集合共有个元素． （1）当时，求集合的子集中不含有3的子集个数； （2）当时，从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记为所取的非空子集的元素最大值，求的分布列和数学期望； （3）从集合中随机取一个数记为，再从，，，⋯，中随机取一数记为，求的数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案与解析 L.A【解析】当x=0时，f(-1)=2,故选A 2.B【解析】展开式共有7项，中间一项是第4项，其二项式系数为C=20,故选B. 3.D【解析】易得切点坐标为1，日，故c=。,而南线y=心在1，日)处的切线方程为y-。(x+1), 即y=合+2，故a=6=名，所以3，故选D 4.C【解析】226+1=4oB+1=(3+1)03=C9o3×31o3+Co3×3o2+…+C8船×3+C188×3°+1， 所以206+1被3整除余数为22m+1)=f(2)=3,故选C. 5.C【解析】由题意知E(X)=10,D(X)=4,所以E(Y)=E(X2)=D(X)+E2(X)=104,故选C 6.C【解析1由题意知(x)=2+l血≤1)=l,所以1为画数x)极大值点，所以f'(1)=0,而∫(x)= x+1 glt ta-2 (x+1)2 ，所以由f'(1)=0得a=l,经验证a=1满足题意，故选C 7.A【解析】r=cos<a,b>=a.1b= a·b 芝(x-0(0- 芝(x-0(0.- √(，-)2·含- x-4(到·层-14 1932 =0.92,故选A. √34020-14×(·√2706-14x 【命题说明】本题改编人教A版教材选择性必修三第98,99页 8.A【解析】设四位数为abcd,则a+b+c+d=10(1≤a≤9，a,b,c,deN),令x=b+1,y=c+1,z=d+1, 则问题转化为：求方程+x+y+z=13的正整数解的个数，由“隔板法”得共有C2=220个， 其中当a=10,b=c=d=1不合题意，故共有219个.故选A 9.AB【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数且f(x)在[0，+)单调递减，所以f(x)在R上单调递减且 f(0)=0,故f几f(0)]=f(0)=0,故A正确； 令h(x)=f代-x)g(-x),则h(x)定义域为R,且h(x)=-f(x)g(x),而h(-x)=f(x)g(x)=-h(x), 所以h(x)为R上的奇函数，故B正确； g[f-1)]<g[Uf2)]台g[-f1)]<g[f2)]台g[f1)]<g[f2)],而f(2)<f1)<0且g(x)在(-∞，0)单 调递减，所以g[f1)门<g[f2)],故C错误： 几g(-1)]>[g(子)]台1g(1)]>1g(子)]曰g(1)<g(子)，而g(x)在[0，+)单调通增，故D错误 综上故选AB. 10.ABD【解析】因为1z=12,所以12|=lz121=,1121,故A正确： 国为运=，所以=户=1，故好=，故B正确： 当z1=i,2=1时，满足+号=0，但不满足1=-z2i,故C错误 由1=|2尸得1a=|2=222,而2≠0，所以=2，即=2，故D正确.综上故选ABD. 【高二数学答案第1页（共4页）】 1l.BD【解析】由f(-x)=f八x)恒成立得a=c=0,而a≠0，故A错误： 当a>0时，若x→+0，则f(x)→+：若x-0,则f(x)→-0，故当a>0时，曲线y=f(x)无对称轴； 当a<0,若x一+0，则f(x)-0;若x一-0，则f八x)一+0，故当a<0时，曲线y=fx)无对称轴，故B正确： f'(x)=3ax2+2bx+c,△=4b2-12ac=4(b-3ac),当B-3ac=0时f'(x)无变号零点，所以此时函数f(x) 无极值，故C错误； 易得当a>0时，若f八x)存在极大值点，则曲线y=f八x)先单调递增，后单调递减，再单调递增，故D正确。 综上故选BD. 12.3x住Z,x3-2x+1≥0（或3x0￥Z,x号-2x。+1≥0） 13.C(或C)【解析】当n=2026时，(x+1)m6·(x+1)m=(x+1),等式左侧x的系数为 C6C+CC+C5C+…+CCms:等式右侧x的系数为C,故所求的值为C(或C). l4.(l,+）【解析】由f(x)=e--lnx-a=0得e-"=nx+a,即e=e(lnx+a), 即xe=e(lnr+a)=(lnx+a)e",令g(x)=xe,则g(x)=g(lnr+a)(x>0). 易得g(x)在(-0，-1)单调递减，在(-1，+×)单调递增，且当x<0时，g(x)<0: 当x>0时，g(x)>0,所以当x>0时，g(x)=g(nx+a)x=lnx+a曰a=x-lnx, 所以y=a与y=x-lnr在(0，+0)恰好有两个不同的交点，易得a>1,故实数a的取值范围为(1，+0) 15.解：(1)因为x>0,y>0,所以4x+y≥24=4写，…(2分) 所以9灯≥4厅，即y≥ ……(4分） 当且仅当4x=y,即x 号y=音时等号成立…（5分） (2)由4x+y=9y得+4 x+y =9,…(6分)） 所以+y=x++)5++≥5+2=， …(9分） 当且仅当2：=y,即x=行y=号时等号成立 所以x+y的最小值为1.… (10分) 由2m2-m≤1得(2m+1)(m-1)≤0，… (11分) 解得-方≤m≤1，所以实数m的取值范围为-子，小 …(13分)） 16.解：(1)令1=x,则y=bi+a,…(1分) 所以1=+2+2,5+3+4=2.5，y-55+4+4+35+3 4 …(3分) 5 5 故b=1-2.5)×(5.5-4)+(2-2.5)x(4-4)+(2.5-2.5)×(4-4)+(3-2.5)x(3.5-4)+(4-2.5)x(3-4 (1-2.5)+(2-2.5)2+(2.5-2.5)2+(3-2.5)+(4-2.5) =-08,…(5分） a=y+bt=4-(-0.8)×2.5=6:……(7分) (2)(i) 产量 有机质 达标 不达标 合计 高产 18 7 25 低产 12 23 35 合计 30 30 60 0+40◆g004400440+年00440+：404404 …(9分) 【高二数学答案 第2页（共4页）】 (ⅱ)零假设为H。:土壤有机质达标与该蔬菜高产相互独立.… (10分) 根据列联表中的数据，经计算得到X-60×18X23,2X7-8.297<10.828=m,……(13分) 30×30×25×35 根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分的证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即认为土 壤有机质达标与该蔬菜高产没有关联。…(15分) 17.解：(1)f八p)=C63(1-p)3=20p(1-p)(0<p<1)…(3分) f'(p)=60p(1-p)3-60p3(1-p)2=60p2(1-p)2(1-2p) … (4分) 所以p)在0,2)单调递增，在（分，单调递减。 故当p=2时p)取得最大值，所以Po=之 (6分) (2)当P=)时，设单次培育试验中菌种存活数大于等于4的概率为q, 则=c(2分(-)+c心（分）-+（分）1-=贵 ……(9分)》 由题意知~5，) …(11分） 所以以)=5×贵-2 …(13分) 0)=5×号×-岁-盟 (15分) 18.解：(1)当a=1时fx)=2x3-9x2+6x(1-nx)f1)=-13,…(1分) f(x)=6x2-18x+6lnx∫'(1)=-12，…(3分) 由y-(-13)=-12(x-1)得y=-12x-1, 故曲线y=f代x)在(1，f(1))处的切线方程为12x+y+1=0,…(5分) (2)f(x)=6x2-18ar+6a2lnx=6(x2-3ax+a2lnx). 由题意知f(x)≥0在[e2,+0)上恒成立.…(7分) 令g(x)=x2-3ax+alnx,则g(x)≥0在[e2,+o)上恒成立， g(x)=2x-3a+2.2父-3r+d-x-@2x-a …(9分）》 当a≤0时，g(x)在[e2,+∞)上单调递增，所以g(x)m=g(e2), 由a-c(2a-e)会n 得a≤0，故a≤0，满足题意。…(10分) 当0<a≤e2时，g(x)在[e2,+∞)上单调递增，所以g(x)m=g(e2), 化a得0<a写或u故0a需n清足题道 …(12分)》 当e2<a≤2e2时，g(x)在[e2,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增， 所以g(x)m=g(a)=a2lna-2a2=a2(lna-2)≥0， 由/0cas2e 得e2<a≤2e2, a2(lna-2)≥0 故e2<a≤2e2满足题意。 …(14分)》 当a>2e时，g(x)在[，受)上单调递增，在（号，上单调递减，在(a,+如）上单调递增。 【高二数学答案第3页（共4页）】 a>2e2 要使g()在[e,+)上恒成立，只需要c)≥0 由(a-e2)(2a-e2)≥0得a>2e2, lg(a)≥0 a2(lna-2)≥0 故a>22满足题意.…(16分） 综上所述，实数a的取值范围为(0，引U[c,+.…(1们分) 19.【命题说明】本题改编人教A版教材选择性必修三第34页练习4和第38页复习参考题第2题 解：(1)集合A=1,2,3,…,n的子集共有C+C+C2+…+C0=2”个，…(1分) 当n=6时，A={1,2,3,4,5,6, 集合A的不含有3的子集个数等于集合{1,2,4,5,6}的子集个数，而集合{1,2,4,5,6}共有2=32个， 故集合A的子集中不含有3的子集有32个；…(3分) (2)当n=6时，从集合A的所有非空子集共有2-1=63个， X可取1,2,3,4,5,6 PX--(X-2)高后K-3)需-者 …(5分）》 Pr=4若嘉=-)着总r-6-后器 …(7分) 故X的分布列为 X 1 2 3 5 6 P 6 6363 63 所以数学期望(0=1×右+2×后+3×有+4×器+5×治+6×器-界： 1 2 4 16 32107 …(9分)》 (3)由题意知当Z=k(k=1,2,…,n)时，Y需要从1~k这k个整数中取， 不妨设Y=i(1≤i≤k), 此时P(Z=k|Y=i)= 1 n-i+1' …(10分) 从面P(Z=)=宫P(Z=kY=)·P(Y=,而PY=)= 所以P(Z=k)=⊥克1 n台n-i+了 …(12分)》 故(0=1xx+2x×日+)+3xx+++*nx×片++2++列 …(14分) =+2x片++3x日+++mx分+点+2*刃 -+2+…+卫+2+3+…+n+3+4+2+”+…+ n-1 n-2 =当n++nmt2+n,2a+3》+…+n nl 2n 2(n-1) 2(n-2) 2 2 =3n+1 4 …(17分） 【高二数学答案第4页（共4页）】