1.4.1 线段垂直平分线的性质 基础练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练通过课堂即时反馈与课后三级分层（基础、进阶、拓展），构建线段垂直平分线性质从概念理解到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（课堂+课后）|性质定理及逆定理直接应用|选择、填空为主，结合图形求长度，即时夯实基础| |进阶练|性质定理与几何综合|证明题、分类讨论、尺规作图（如确定医疗点位置），提升推理能力| |拓展练|多线段垂直平分线交点性质|综合证明题，发展创新意识与空间观念|

1.4线段垂直平分线与角平分线 1.4.1线段垂直平分线的性质 知识梳理 1线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到 的距离 相等 2线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的 上 3线段的垂直平分线是到线段两端距离 的点的集合 课堂练 1若P是△ABC的边AC的垂直平分线上的点，则一定有（) A.PA=PB B.PA=PC C.PB=PC D.PA=PB=PC 2如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D, 1/7 E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为（） A.5B.6C.7D.8 3如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CB=2BD,且点E在BC的延长 线上，CF垂直平分AE,交AE于点F.若AB=4,CB=6,则DE的长为 4如图，在△ABC中，BC=15,AC=8,分别以，点A,B为圆心，大于 AB的长为半径画孤，两孤相交于点M,N,作直线MN,交边BC于点D, 接AD,则△ACD的周长为 D 5如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E, 连接CE,求证：AD垂直平分线段CE. 217 课后练 一、基础练 1如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点.若线段 P4的长为5，则线段PB的长为（) A.8B.7C.6D.5 B D 2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于，点D,连 接AD.若△ACD的周长为50cm,则AC十BC的长为（) A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm 3/7 3如图，，点D在△ABC的边BC上.如果DB=DA,那么，点D在线段 的垂直平分线上：如果BC=BD十AD,那么，点D在线段 的垂直平分线 上 D 4如图，线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交，点P恰好在AC 上，且AC=10cm,则点B到点P的距离为 cm H 5如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE//AC,交AD的延 长线于点E (I)求证：△BDE≌△CDA: (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE 4/7 二、进阶练 6如图，若AC=AD,BC=BD,则下列结论正确的是() A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB D 7在△ABC中，BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC 于点D,E,且DE=4,则AD十AE的长为() A.6B.10C.6或14D.6或10 8如图，∠AOB内有一点P,分别作出点P关于OA,OB的对称点P1,P2, 连接P,P2,交OA于，点M,交OB于，点N,连接PM,PV.当PP2=12Cm时， 5/7 △PMW的周长为 cm. P M 0 9在△ABC中，∠A=90',若BD是△ABC的角平分线，且ED是BC的垂 直平分线，垂足为E,则∠ABD的度数为 10为了推进农村新型合作医疗改革，某镇准备新建一个医疗点P,使，点P 到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A村、B村、C村不在同一条直线上， 地理位置如图所示)请你用尺规作图的方法确定点P的位置（不写作法，保留作图 痕迹)。 B村 特 C村 1Ⅱ如图，D是线段BC的中点，分别以点B,C为圆心，大于号BC的长为 半径画孤，两孤相交于点A,连接AB,AC,AD,E为AD上一，点，连接BE, CE求证：BE=CE. 617 D 三、拓展练 12如图，AB=CD,AC,BD的垂直平分线EM,EN相交于点E,连接 BE,DE,BC.求证：∠ABE=∠CDE 7/71.4线段垂直平分线与角平分线 1.4.1线段垂直平分线的性质 知识梳理 1线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到 的距离 相等 2线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的 上 3线段的垂直平分线是到线段两端距离 的点的集合 答案：1.线段两端 2.垂直平分线 3.相等 1/10 课堂练 1若P是△ABC的边AC的垂直平分线上的点，则一定有() A.PA=PB B.PA=PC C.PB=PC D.PA=PB=PC 答案：B 2如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D, E?AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为（) A.5B.6C.7D.8 答案：C 3如图，在△ABC中，AD1BC于，点D,CB=2BD,且点E在BC的延长 线上，CF垂直平分AE,交AE于点F.若AB=4,CB=6,则DE的长为 答案：7 4如图，在△ABC中，BC=15,AC=8,分别以点A,B为圆心，大于 2/10 上AB的长为半径画孤，两孤相交于点M,N,作直线MN,交边BC于点D,连 接AD,则△ACD的周长为 答案：23 5如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E, 连接CE.求证：AD垂直平分线段CE 答案：，AD平分 ∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD.,DE⊥AB,∴.∠AED=90°..∠ACB=90°，.∴.∠ACD=∠AED ∠ACD=∠AED, 在△ACD和△AED中， ∠CAD=∠EAD,∴.△ACD≈△AED(AAS), AD=AD, AC=AE,CD=ED,.点A,D都在线段CE的垂直平分线上，AD垂直平 分线段CE 3/10 课后练 一、基础练 1如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点.若线段 PA的长为5，则线段PB的长为（) A.8B.7C.6D.5 答案：D 2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D,连 接AD.若△ACD的周长为50cm,则AC十BC的长为() A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm C/D 答案：C 4/10 3如图，点D在△ABC的边BC上.如果DB=DA,那么点D在线段 的垂直平分线上；如果BC=BD十AD,那么，点D在线段 的垂直平分线 上 答案：ABAC 4如图，线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点P恰好在AC 上，且AC=10cm,则，点B到点P的距离为 cm B 答案：5 5如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE/1AC,交AD的延 长线于点E (1)求证：△BDE≌△CDA; 5/10 (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE 答案：(I):D为BC的中点， .BD=CD.:BE//AC,.∠EBD=∠C,∠E=∠CAD在△BDE和△CDA中， ∠EBD=∠C, E=∠CAD,.∴.△BDE≈△CDA AAS BD=CD, (2)D为BC的中点，AD⊥BC,·直线AD为线段BC的垂直平分线， BA=CA(I)得△BDE≈△CDA,.BE=CA,.BA=BE 二、进阶练 6如图，若AC=AD,BC=BD,则下列结论正确的是() A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB 6/10 答案：A 7在△ABC中，BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC 于点D,E,且DE=4,则AD十AE的长为（) A.6B.10C.6或14D.6或10 答案：C 8如图，∠AOB内有一点P,分别作出，点P关于OA,OB的对称，点P1,P2, 连接P1P2,交OA于点M,交OB于点N,连接PM,PN.当PP2=12Cm时， △PMW的周长为 cm. M 答案：12 9在△ABC中，∠A=90°，若BD是△ABC的角平分线，且ED是BC的垂 7/10 直平分线，垂足为E,则∠ABD的度数为 答案：30° 解析：如图，：ED是BC的垂直平分线， ∴.CE=BE,∠CED=∠BED=90在△CDE和△BDE中， CE=BE, ∠CED=∠BED,.∴.△CDE≈△BDE SAS, DE=DE, ·.∠C=∠DBE.BD是△ABC的角平分线， .∠DBE=∠ABD,.∴.∠C=∠DBE=∠ABD..∠A=90°，∴.∠C+∠DBE+∠ABD=90°，.∴. B E 10为了推进农村新型合作医疗改革，某镇准备新建一个医疗点P,使，点P 到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A村、B村、C村不在同一条直线上， 地理位置如图所示)请你用尺规作图的方法确定点P的位置（不写作法，保留作图 痕迹)。 B村 A村 C村 8/10 答案：如图，点P即为所求 A村 C村 1如图，D是线段BC的中点，分别以点B,C为回心，大于BC的长为 半径画孤，两孤相交于点A,连接AB,AC,AD,E为AD上一点，连接BE, CE求证：BE=CE. B D 答案：.D是线段BC的中点，∴.BD=CD根据画图过程，得AB=AC,在 △ABD和△ACD中， AB=AC, BD-CD,△ABD=△ACDJsss,)∠ADB=∠ADC=×180=90,AD1BC, AD=AD, 直线AD是BC的垂直平分线.点E在AD上，..BE=CE 9/10 三、拓展练 12如图，AB=CD,AC,BD的垂直平分线EM,EN相交于点E,连接 BE,DE,BC.求证：∠ABE=∠CDE 答案：如图，连接AE,CE.:AC,BD的垂直平分线EM,EN相交于，点 E,.AE=CE,BE=DE在△ABE和△CDE中， AB=CD, BE=DE,∴.△ABE≈△CDE(SSS),∴.∠ABE=∠CDE AE=CE, 10/10