1.4.1 线段垂直平分线的性质巩固练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 以基础巩固-综合应用-拓展探究为梯度，覆盖线段垂直平分线性质的判定、计算、证明及实际应用，适配新授课分层教学需求，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质判定与简单计算|选择填空（如1-5题），聚焦作图痕迹分析、基本判定条件，强化概念理解| |中档|性质综合应用|证明题（如6题）、网格作图（如7题），结合图形变换与几何推理，发展逻辑思维| |提升|拓展探究与实际应用|实际问题（如7题中转站选址）、动态最值（如17题），关联生活情境，培养创新意识与模型观念|

1.4 线段垂直平分线与角平分线 1.4.1 线段垂直平分线的性质 1. 如图，是求作线段中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是________（ ） A. C. 2. 下列条件中，不能判定直线是线段不在上)的垂直平分线的是（ ） A. B. C. D. 平分 3. 如图，在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 4. 如图，线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点恰好在上，且，则点到点的距离为________. 5. 如图，在Rt中，是的垂直平分线，交于点，交于点.已知，则的度数为________°. 6. 如图，与相交于点，连接点是下方一点，连接，若.求证：垂直平分. 7. (1) 小明在生活中遇到了这样一个问题：如图①，，表示三个村庄，现在要建一个货物中转站，要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置.你能帮助小明解决这个问题吗?(简要说明你的思路，不要求作图) (2) 通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺(不能使用圆规)，在下列正方形网格(如图②，③)中找到一点，使它到三点的距离相等.(注意保留作图痕迹) 8. 已知，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） 9. 如图，于点，，点在线段的垂直平分线上，若，则的长为（ ） A. 10. 如图，在中，，点在的内部，，的垂直平分线分别交于点，若恰好经过点，则为(用含的代数式表示)（ ） A. B. 11. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有________个. 12. 一个三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内，那么这个三角形是________三角形；如果三角形有两条边的垂直平分线的交点恰是第三条边的中点，那么这个三角形是________三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”) 13. (1) 在中，，且点到的距离为8，点到的距离为3，则的长为________. (2) 在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点，，且，则________. 14. 如图，线段的垂直平分线相交于点0.若，则________°. 15. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接. (1) 若的周长为的周长为6，求的长； (2) 若，，求的度数. 16. 如图，在Rt中，，点分别在边上，，且. (1) 求证：； (2) 连接，如果.求证：点在的垂直平分线上. 17. 已知：如图①，，垂足为点，，点是直线上任意一点. 求证：. 分析：图①中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得. (1) 请结合以上分析，利用图①写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程. (2) 定理应用：如图②，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，的周长是18cm. ①求的长. ②点是直线上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $1.4线段垂直平分线与角平分线 1.4.1线段垂直平分线的性质 1.如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 () A.∠B=45°B.AE=EBC.AC=BCD.AB⊥CD 知 答案：A 2.下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M,N不在AB上)的垂直平分 线的是（) A.MA=MB,NA=NB B.MA=MB,MN⊥AB C.MA=NA,MB=NBD.MA=MB,MN平分AB 答案：C 3.如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心， 大于AB的长为半径作孤，两孤交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接 BD,则△BCD的周长为() A.7B.8C.10D.12 1/9 答案：C 4.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且 AC=10cm,则B点到P,点的距离为 cm. 答案：5 5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D, 交BC于点E已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 BE 答案：40 6.如图，AD与BC相交于点O,连接AB,CD,BD,点E是BD下方一点，连接 OE,BE,DE,若0A=0C,∠A=∠C,BE=DE.求证：OE垂直平分BD (LA=LC, 0A=0C, 答案：在△A0B与△00D中，∠A0B=∠C0D, △AOB兰△COD(ASA),·OB=OD,·点0在线段BD的垂直平分线上， :BE=DE,点E在线段BD的垂直平分线上，OE垂直平分BD: 2/9 7.(1)小明在生活中遇到了这样一个问题：如图①，A,B,C表示三个村庄， 现在要建一个货物中转站P,要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置.你能 帮助小明解决这个问题吗？（简要说明你的思路，不要求作图） 4 B c ① (2)通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题， 那么请你利用手中的直尺（不能使用圆规），在下列正方形网格（如图②，③）中找 到一点0，使它到A,B,C三点的距离相等.（注意保留作图痕迹） ② ③ 答案： (I)构造线段AB,AC,分别作两条线段的垂直平分线，交于点P,此时P为所 作的货物中转站，原理是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 (2)如图①②即为所求.（合理即可） ① ② 8.已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得 PA十PC=BC,则下列选项正确的是（) 3/9 答案：B 解析：：PB+PC=BC,PA十PC=BC,:PA=PB,根据线段垂直平分线定理 的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，故可判断B选项正确故选B. 9.如图，AD⊥BE于点D,BD=DE,点E在线段AC的垂直平分线上，若 AB=6cm,BD=3cm,则DC的长为（) A.3 cm B.6 cm C9 cm D.12 cm 答案：C 解析：由AD⊥BE,BD=DE,易得AE=AB=6Cm:点E在线段AC的垂直平 分线上，÷AE=EC=6cm,÷DC=DE+EC=3+6=9(cm).故选C. 10.如图，在△ABC中，∠A=a(40°<Q<60),点M在△ABC的内部， BM,MC的垂直平分线分别交AB,AC于点P,Q,若PQ恰好经过点M,则∠BMC为（用 含α的代数式表示)（) A.90°+aB.135°-号C2aD.90°+号 答案：D 解析：：BM,MC的垂直平分线分别交AB,AC于点 4/9 P,Q,·PBM=∠PMB,∠QMC=∠QCM.180°-∠BMC=∠BMP+∠CMQ=∠PBM+∠QCM=∠MB 且∠A=a(40°<a< 60),180°-2(180°-LBMC)=C,∴∠BMC=90°+号. 故选D. 11.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A,B是方 格纸中的两个格点（即正方形的顶点）.在这张5×5的方格纸中，找出格点C,使 AC=BC,则满足条件的格点C有 个 B 答案：5 解析：如图，满足AC=BC,在AB的垂直平分线上且在格点上的点C有5个 5 12.一个三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内，那么这个三角形是 三角形：如果三角形有两条边的垂直平分线的交点恰是第三条边的中点， 那么这个三角形是 三角形.（填“锐角钝角”或“直角） 答案：锐角直角 13.(1)在△ABC中，AB=AC,0B=0C,且点A到BC的距离为8，点0到 BC的距离为3，则AO的长为 5/9 (2)在△ABC中，BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于 点D,E,且DE=4,则AD十AE= 答案： (1)5或11 解析：分两种情况讨论；当，点0在△ABC内时，如图①， :AB=AC,OB=OC,AM为BC的垂直平分线，÷AMLBC, A0=AM-0M=8-3=5;当点0在△ABC外时，如图②， :AB=AC,OB=OC,·AM为BC的垂直平分线，·AM⊥BC, ÷A0=AM+0M=8+3=11. (2)6或14 解析：：AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E, ÷AD=BD,AE=CE,÷AD+AE=BD+CE,:BC=10,DE=4,·如图③， AD十AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6;如图④， AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14.综上所述，AD+AE=6或14. ③ ④ 14.如图，线段AB,BC的垂直平分线山1,12相交于点0.若∠1=39°，则 ∠AOC= 6/9 答案：78 解析：如图，连接B0,并延长B0到P.:线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交 于点 0,÷A0=0B=0C,∠BD0=∠BE0=90°，÷∠D0E+ABC=180°，：∠D0E+∠1=180°，·∠ABC= 易证 ∠A=∠AB0,∠0BC=∠C:∠A0P=∠A+∠AB0,∠COP=∠C+∠0BC,·∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A 一题多解： 连接0B,:线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点0，·A0=OB=0C.易 证∠A0D=∠B0D,∠B0E=∠C0E:∠D0E+∠1=180°，∠1=39°，∠D0E=141°， 即 ∠B0D+∠B0E=141°，·∠A0D+∠C0E=141°，：∠A0C=360°-（∠B0D+∠B0E)-(∠A0D+∠C0E 15.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分AE, 垂足为F,交AC于点D,连接DE (I)若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长； (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数 答案： (I):BD是线段AE的垂直平分线，AB=BE,AD=DE,:△ABC的周长为 18,△DEC的周长为 6,AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE=CD+EC+AD=6,.AB+BE=18-6=12,AE (2):∠ABC=30°，∠C=45°，÷∠BAC=180°-30°-45°=105°.在△BAD和 7/9 BA=BE, △BED中， BD=BD,÷△BAD兰△BED(SSS, DA=DE, :∠BED=∠BAC=105°，·∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60° 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别在边AB,BC上， AC=AD,DF⊥AB,AE=AF,且EF⊥BC (I)求证：CE=DF; (2)连接CF,如果∠ACF=∠ABR.求证：点F在BC的垂直平分线上 答案： (I):DF⊥AB,∠ACB=90°，·△ADF,△ACE是直角三角形.在Rt△ACE和 Rt△ADF中，ACA,ARt△A@Rt△ADPL),CE=D明 (2):EF⊥BC,DF⊥AB,÷∠CEF=90°，∠BDF=90°，÷∠BFD+∠ABF=90° 又：∠ACB=∠ACF+∠ECF=90°，∠ACF=∠ABF,·∠BFD=∠ECF.在△FCE和 I∠ECF=∠DFB, CE=FD, △BFD中， ∠CEF=∠FDB=90° :△FCE≌△BFD(ASA),:FC=FB.又：EFL BC,:点F在BC的垂直平分 线上 17.已知：如图①，MNLAB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上任 意一点 求证：PA=PB. 分析：图①中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等， 便可证得PA=PB (I)请结合以上分析，利用图①写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证 明过程， 8/9 (2)定理应用：如图②，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点 N,交AC于点M,连接MB,若AB=10cm,△MBC的周长是18cm ①求BC的长 ②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？ 若存在，标出点P的位置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由 ② 答案： (I):MN⊥AB,·ACP=∠BCP=90°.在△ACP和△BCP中， (AC=BC. ∠ACP=∠BCP,·△ACP≌△BCP(SAS),.PA=PB. PC=PC. (2)①：MN垂直平分AB,·MB=MA:△MBC的周长是18Cm, MB+MC+BC=MA+MC+BC=AC+BC=18 cm. AC=AB=10 cm,BC=8 cm. ②存在如图所示，：AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点 M,·PA=PB,·△PBC的周长=PB+PC+BC=PA十PC+BC,·当A,P,C三 点共线，即点P与点M重合时，PA十PC的值最小，即此时△PBC的周长最小，最 小值为PA+PC+8=AC+8=18Cm 9/9