8抽象函数的性质与应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦抽象函数核心考点，按一次、二次、幂、指对、三角函数类型系统梳理模型，建立具体函数与抽象表达式的对应联系。通过考点梳理、方法指导、真题讲解（含2023新高考I卷题）及分层练习（单选、多选、填空、解答），帮助学生突破抽象函数性质应用难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义以“具体函数抽象化”为主线，创新采用公式推导（如三角函数和差化积）培养数学思维，结合真题实例强化模型识别能力。分层练习覆盖不同难度，助力学生提升抽象能力与解题效率，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

8抽象函数模型汇总 1、一次函数 ① 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 。 ② 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 。 2、二次函数 ③ 对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 3、幂函数 ④ 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 。 ⑤ 对于幂函数 ，其抽象函数还可以是 4、对数函数 ⑥ 对于对数函数 ，与其对应的抽象函数为 。其中 ⑦ 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 。其中 ⑧ 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 。其中 5、三角函数 ⑨ 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式： ⑩ 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式： 对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式： ⑪ 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 到此，常见的初等函数和与其对应的抽象函数已经总结完毕，关于如何证明，对于三角函数部分已经给出其对应构造恒等式；对于一二次函数、幂函数、指对函数证明时类似的。 ⑫ 对于反正切函数 与其对应的抽象函数为 其中 分别为 和 。 ⑬ 对于双曲正切函数 与其对应的抽象函数为 补充： 双曲正切和角公式： 二倍角公式： 差角公式： 恒等式： 注意：双曲正切函数和正切函数的和差角公式是不同的，原因在于双曲正弦和正弦是相同的，双曲余弦和余弦的和差角公式正负号是相反的，取比值之后双曲正切函数和正切函数的和差角公式就是不同的。 例1.(多选) 定义在 的函数 满足：任意 ， 则( ) A. 恒成立 B. 可能是周期函数，且没有最小正周期 C. 若 在 上单调，则 一定是奇函数 D. 若 在 上单调，则存在 ，使得 例2 (多选) 定义在(- 1,1)的函数 满足 ，且当 时， ，则( ) A. 是奇函数 B. 在(-1,1)上单调递减 C. D. (3) 基本归类：抽象函数模型总结 抽象函数 特殊函数模型 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数 超越函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 例3 已知 是定义在 上且不恒为零的函数， 对于任意实数 满足 ， 若 ， 则 A. B. C. D. 例4(2023年新高考全国I卷11题) 已知函数 的定义域为 ， ，则( ) A. B. C. 是偶函数 D. 为 的极小值点 例5 已知函数 的定义域为 ，且 ，则 A.- 3 B.- 2 C.0 D.1 例6 (多选) 已知函数 满足，对 ，都有 ，且 ，以下选项正确的是( ) A. B. C. D. 例7 函数 的定义域为 ， ， ， 若 ， 则 ( ) A.- 2 B.- 4 C.2 D.4 例8已知函数 的定义域为 ，对于任意实数 满足 ，且 ，则 ( ) A.1012 B.2023 C.2024 D.4046 例9 已知函数 对 ，都有 ，若 在[- 2022,2022]上存在最大值 和最小值 ，则 ( ) A.8 B.4 C.2 D.0 巩固训练 一、单选题 1．已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 2．对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 3．已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 6．已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 8．已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若存在使得，则的最小正周期为 C．为偶函数 D．的值域为 9．已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上的最小值为-6 10．若函数的定义域､值域分别为，函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的值域为 D．的值域为 11．若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（   ） A． B．为奇函数 C．函数在区间上为“凹函数” D．若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 12．对于定义域的函数，定义函数方程为“柯西方程”，其通解为．下列说法中正确的有（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．定义域为的函数满足，且，若正数满足，则 13．对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．直线是曲线的切线 14．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 15．已知是定义在上的函数，且满足，．则（   ） A． B．为奇函数 C． D．为偶函数 16．已知函数是定义在上的可导函数，，且，则（    ） A．曲线关于点中心对称 B．在R上单调递增 C． D．函数的所有零点之和为 17．已知是定义域为的偶函数，当时，.若对，，则（   ） A．与有相同的零点 B．的图象有无数条对称轴 C．当时， D．与的图象仅有一个交点 18．函数满足：，则（   ） A． B． C．图象不关于对称 D．的解析式可以是 19．已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 20．函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（     ） A． B． C． D．对于任意，点到直线与的距离之积为 21．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 三、填空题 22．定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 23．已知函数的定义域为，且，，．写出满足条件的一个函数解析式_____． 24．函数满足，且，则___________． 25．已知函数满足：，对任意非零实数，都有成立，且，则_____. 26．设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 四、解答题 27．是定义在上的连续可导函数，是的导函数，，且，有． (1)求与； (2)求的解析式； (3)关于的方程有两个不同的实数根，，证明：． 28．设函数定义域为，对一切，均满足：，且（实数、为非0常数）. (1)求的值； (2)求证：为周期函数，并求出其一个周期； (3)求函数解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 8抽象函数模型汇总 1、一次函数 ① 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 。 ② 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 。 2、二次函数 ③ 对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 3、幂函数 ④ 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 。 ⑤ 对于幂函数 ，其抽象函数还可以是 4、对数函数 ⑥ 对于对数函数 ，与其对应的抽象函数为 。其中 ⑦ 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 。其中 ⑧ 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 。其中 5、三角函数 ⑨ 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式： ⑩ 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式： 对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式： ⑪ 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 到此，常见的初等函数和与其对应的抽象函数已经总结完毕，关于如何证明，对于三角函数部分已经给出其对应构造恒等式；对于一二次函数、幂函数、指对函数证明时类似的。 ⑫ 对于反正切函数 与其对应的抽象函数为 其中 分别为 和 。 ⑬ 对于双曲正切函数 与其对应的抽象函数为 补充： 双曲正切和角公式： 二倍角公式： 差角公式： 恒等式： 注意：双曲正切函数和正切函数的和差角公式是不同的，原因在于双曲正弦和正弦是相同的，双曲余弦和余弦的和差角公式正负号是相反的，取比值之后双曲正切函数和正切函数的和差角公式就是不同的。 例1.(多选) 定义在 的函数 满足：任意 ， 则( ) A. 恒成立 B. 可能是周期函数，且没有最小正周期 C. 若 在 上单调，则 一定是奇函数 D. 若 在 上单调，则存在 ，使得 解: A. 令 则 ，于是 恒成立 B. 符合题意， 是周期函数，且没有最小正周期 C. 令 ，则 解得 或 ， 时，令 于是 ，这与 在 上单调矛盾，所以 ，同理 ，所以 ，令 则 所以 ，则 一定是奇函数 D. 由 B，若 在 上单调，则 ，若 ，则 ，令 ，则 这与 在 上单调矛盾，所以不存在 ，同理，不存在 。故本题选：ABC. 例2 (多选) 定义在(- 1,1)的函数 满足 ，且当 时， ，则( ) A. 是奇函数 B. 在(-1,1)上单调递减 C. D. 解析: 因为 ，令 ，可得 ，令 ，则 ，可得 ，所以 为奇函数，故A正确。令 ，则 ，可得 且 即 可得 ，则 ，即 ，所以 在(- 1,1)内单调递增，故B错误。令 则 所以 故C正确 ，D错误。综上，选AC。 (3) 基本归类：抽象函数模型总结 抽象函数 特殊函数模型 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数 超越函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 例3 已知 是定义在 上且不恒为零的函数， 对于任意实数 满足 ， 若 ， 则 A. B. C. D. 解析: 不妨令 ， 满足题意， 故选 A 例4(2023年新高考全国I卷11题) 已知函数 的定义域为 ， ，则( ) A. B. C. 是偶函数 D. 为 的极小值点 解析: 方法一：赋值法：因为 ，对于A，令 ， ，故A正确。对于B，令 ， ，则 ，故B正确。对于C，令 ， 则 ，令 ，又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故C正确，对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故D错误。方法二：常见抽象函数模型因为 ，对于A，令 ， ，故A正确。对于B，令 ，则 ，故B正确。对于C，令 ， ，则 ，令 ，又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故C正确，对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 故可以设 ，则 当 时， ，则 令 ，得 ；令 ，得 ；故 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，显然，此时 是 的极大值，故D错误。故选：ABC 例5 已知函数 的定义域为 ，且 ，则 A.- 3 B.- 2 C.0 D.1 解析: 由余弦函数抽象函数模型可得，函数 ，则 满足题意。于是， 周期为6，且 ，进一步 ，故选A。 例6 (多选) 已知函数 满足，对 ，都有 ，且 ，以下选项正确的是( ) A. B. C. D. 解:考虑到形式有些类似：，(为什么不考虑sin(x- y)？)而 和 将余弦和正弦反转，可以考虑配个系数凑诱导公式。考虑 那么 ，当然这里可以用 待定系数做，不过很容易看出，如此求出 完全符合题中条件，则易得 ACD 正确。 例7 函数 的定义域为 ， ， ， 若 ， 则 ( ) A.- 2 B.- 4 C.2 D.4 解析: 考虑到 ，那么可以先考虑 ，但是前面系数对不上，可以待定，令 则： ，故 ，所以，故答案选A. 例8已知函数 的定义域为 ，对于任意实数 满足 ，且 ，则 ( ) A.1012 B.2023 C.2024 D.4046 解析: 构造 ，经计算选C 例9 已知函数 对 ，都有 ，若 在[- 2022,2022]上存在最大值 和最小值 ，则 ( ) A.8 B.4 C.2 D.0 解析: ，故 关于(0,2)对称，故 巩固训练 一、单选题 1．已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数图像中心对称的坐标性质推导与的解析式关系，结合的定义域求出的定义域，再根据抽象函数“同一对应法则作用对象范围一致”的规则，令落在的定义域范围内，解不等式得到的定义域，最终计算的值. 【详解】设函数图象上任意一点的坐标为. ∵ 的图象与的图象关于点成中心对称， ∴ 点关于点的对称点为，且该点在的图象上， ∴ ，即. ∵ 的定义域是，∴ ， 即 ，解得 ，故的定义域为. 对于函数，则需满足， 即 ，解得 ∴ 的定义域为，即，， ∴ .故选C. 2．对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 3．已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令求出，由题中所给等式通过取特殊值可分别求出、，相加即可. 【详解】令，得，解得， 令，得，所以， 由题意知，所以， 所以. 4．已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值. 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 5．已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 【答案】D 【分析】根据题意，利用赋值法，求得，可判定A错误，利用叠加法，求得的解析式，列出方程，可判定B错误；结合二次函数的性质，可判定C错误，D正确. 【详解】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 6．已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 二、多选题 7．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 8．已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若存在使得，则的最小正周期为 C．为偶函数 D．的值域为 【答案】AC 【分析】选项A赋值求解；选项B赋值，利用周期函数的定义推导；选项C赋值，根据偶函数的定义推导；选项D取函数验证. 【详解】选 项 A，令，则有， 又因为，所以； 选 项 B，令，则有， 因为，从而，则， 所以， 故是的一个周期，但不一定是最小正周期； 选 项 C，令，则有， 所以，故为偶函数； 选 项 D，取，满足抽象方程， 但是其值域为，不符题意. 故选：AC. 9．已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上的最小值为-6 【答案】BCD 【分析】令，得到，再令，求得，令，求得，可判定A错误；令，结合奇偶性的定义，可判定B正确；令，得到，递推得到， ， 进而推得，可判断C正确；根据单调性的定义，证得在上为减函数，得到在上的最小值为，结合递推关系，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A，令，可得，可得， 令，可得，即， 因为，令，可得，所以， 令，可得， 所以，所以A错误； 对于B，令，则， 因为，所以， 所以函数为奇函数，即为奇函数，所以B正确； 对于C，令，可得，即（*）， 由，可得， 将（*）代入上式，整理得（**）， 又由，可得， 将（**）代入上式，整理得，所以C正确； 对于D，设且，则， 因为当时，，所以， 又由， 则，即， 所以函数在上为减函数，所以在上的最小值为， 则 ， 因为，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10．若函数的定义域､值域分别为，函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】BD 【分析】根据的范围可求的范围，则的定义域可知；根据的范围可知的值域. 【详解】由，得，则的定义域为， 由，得，则的值域为， 故选：BD. 11．若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（   ） A． B．为奇函数 C．函数在区间上为“凹函数” D．若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】先通过赋值法求解抽象函数的解析式，再结合题目给出的“凹函数”定义，利用导数逐一分析各选项即可. 【详解】∵ 函数的定义域为，满足，且， 令，得，即， ∵ ，∴ . 令，得，即， 代入原式验证：左边，右边，等式成立， 故. 对选项A：∵ ，∴ A正确. 对选项B：∵ ，，故，故不是奇函数，B错误. 对选项C：， 则，设函数的导函数为 则， 当时，，， 故，即在上为减函数，不符合凹函数定义，C错误. 对选项D：，故， 则，设函数的导函数为， 若为上的凹函数，则为上的增函数，即对任意恒成立， 故恒成立， 即对任意恒成立. 令，则， 令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， ∴ ，即，故D正确. 【点睛】方法归纳：求解抽象函数解析式常用赋值法，处理新定义问题需准确转化定义为已有知识，恒成立问题优先分离参数转化为函数最值问题求解. 易错归纳：判断凹函数时需注意是一阶导数单调递增，即二阶导数非负，避免混淆导数阶数出错；求解函数最值时需准确判断单调性，不要弄错极值点的函数值符号. 12．对于定义域的函数，定义函数方程为“柯西方程”，其通解为．下列说法中正确的有（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．定义域为的函数满足，且，若正数满足，则 【答案】ACD 【分析】利用所给通解计算可得A；代入计算可得B；令，可得，即可设，从而计算可得C；借助换元法，设、，可得，则可设，结合计算可得，则只需证明，由为正数，可得，则，再通过运算及相应变形，可得只需证明，借助基本不等式计算即可得D. 【详解】对A：由题意可设，则， 故，故A正确； 对B：若，则，， 由不恒成立，故B错误； 对C：令且，由， 则， 故可设，则， 故，故C正确； 对D：令，则， 即有， 令，则， 故可设，则， 由，则，故， 则，则，则， 由为正数，则，则， 则 ， 要证，只需证， 即， 即只需证，由， 当且仅当时，等号成立，故， 故可得，故D正确. 13．对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．直线是曲线的切线 【答案】ACD 【分析】通过对已知等式进行赋值，求出与的表达式，根据表达式逐一分析选项. 【详解】令，则有， 所以，故A正确； 因为， 所以对任意均成立， 当取任意值，取定值时，为常数， 当取任意值，取定值时，为常数， 所以与等于同一个常数， 设， 令，则， 解得，故B错误； 由，得， 所以在上单调递增，故C正确； 因为，所以， 令，得， 又，所以直线是曲线在处的切线，故D正确. 14．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 【答案】ABC 【分析】根据给定的函数等式可得，再结合求出函数解析式，然后利用二次函数性质逐项判断得解. 【详解】由，得，令函数， 则，为常函数，令，则，， 因此，的值域为是偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，ABC正确，D错误. 故选：ABC 15．已知是定义在上的函数，且满足，．则（   ） A． B．为奇函数 C． D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】通过对已知函数关系式进行赋值，求出函数的表达式，再逐一分析选项． 【详解】令，代入中， 可得，即． 令，代入中， 可得：，即， 因为，所以，所以选项A正确； 令，代入中， 可得：， 则， 则 ， 即， 令，其定义域为． ， 所以不是奇函数，选项B错误； ，，所以，选项C正确； 令，其定义域为． ，所以是偶函数，选项D正确． 故选：ACD． 16．已知函数是定义在上的可导函数，，且，则（    ） A．曲线关于点中心对称 B．在R上单调递增 C． D．函数的所有零点之和为 【答案】ACD 【分析】对所给条件进行变形，构造函数赋值可得A，举反例可排除B，根据函数特点求出具体解析式来求解C、D即可. 【详解】由题意， 设，则，， A选项，令，可得，， 令，则，即为奇函数，关于原点对称， 图像可由图像向左平移1个单位得到，所以图像关于中心对称，故A正确； B选项，，，，， 则，故B错误； C选项，对于，两边同时对求导，得， 由知为常函数，则为一次函数，由，可得， 则，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则，即，故C正确； D选项，， 即， 解得或， 所以所有零点之和为，故D正确； 故选：ACD. 17．已知是定义域为的偶函数，当时，.若对，，则（   ） A．与有相同的零点 B．的图象有无数条对称轴 C．当时， D．与的图象仅有一个交点 【答案】AC 【分析】由等式化简整理，根据正弦与正切函数性质，可得A的正误，由题意易得B的正误，由题意，根据递推迭代，可得C的正误，由零点存在性定理，举反例，可得D的正误. 【详解】由，， 则，，与的零点均为，，故A正确； 的图象仅有一条对称轴，所以B错误； 当时，，所以时，. 对，总有成立，所以时，有， 所以，. 同理，当时，，. 当时，，，所以C正确； 显然原点为一个交点. 当时，设， 则，， 所以，当时有零点. 则与的图象在上也有一个交点，D错误. 故选：AC. 18．函数满足：，则（   ） A． B． C．图象不关于对称 D．的解析式可以是 【答案】AD 【分析】取特殊值判断A，取特殊函数判断BC，根据所给条件验证即可判断D. 【详解】令，可得，解得，故A正确； 取，则满足：，此时，故B错误； 由B，当时，函数图象关于对称，故C错误； 若时，， ，且 所以满足，故D正确. 故选：AD 19．已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A,先令 ，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A,令 ，得，解得， 令，得， 即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去; 所以， 即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 即，解得，故B错误； 对于C，令， 得 所以，故C正确； 对于D，令， 得， 解得， 令，则， 所以，解得， ，解得； 令， 得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 20．函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（     ） A． B． C． D．对于任意，点到直线与的距离之积为 【答案】BCD 【分析】通过赋值法求出、，推导与的奇偶性及核心恒等式；利用递推关系分析的指数型性质验证B选项；通过函数方程展开推导三倍角形式验证C选项；利用点到直线距离公式结合核心恒等式验证D选项. 【详解】令，代入，得. 令，代入，得，即. 由，得. 结合得，又，得，故A错误. 令，代入， 得，即. 令，代入， 得，由、， 得，结合，得，即为奇函数. 因此，即. 由与，得， 解得. ， 因此 ，，故B正确. ， 代入 ，得，故C正确. 点到直线的距离为， 到直线的距离为， 距离之积为：，故D正确. 21．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 三、填空题 22．定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 【答案】 【分析】通过给抽象函数进行赋值，由所给性质进行推导计算计算． 【详解】先求，因为，，由，所以， 且．又． 设，则，所以． 因为，，，所以，． 又，且， 由对称性得，设， 则，所以，又，即． 所以，，． 因此． 23．已知函数的定义域为，且，，．写出满足条件的一个函数解析式_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】取，函数的定义域为， ，， 因为，所以，满足题意. 24．函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可. 【详解】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 25．已知函数满足：，对任意非零实数，都有成立，且，则_____. 【答案】 【分析】根据主条件，利用赋值法求解. 【详解】令，得， 由，得， 于是， ， ， 故答案为： 26．设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 【答案】 【分析】先用特殊值可求出，，可求出，可得到为偶函数，同理可得到，假定存在某个，使得，不妨令，则，当时，左边，而右边，矛盾，再根据偶函数定义可证明当，则代入也矛盾，当时，则，同样可知矛盾，同理可知当也是矛盾的，综上可得. 【详解】令，则可得，， 又， 令，则，且， 于是为偶函数，同理， 注意到， 假设存在某个，使得，不妨令， 则，当时，左边，而右边，矛盾. 因为为偶函数，故当时同样矛盾， 当时，则，，同理可证， 再根据偶函数可证当也是矛盾的， 综上，对一切实数，有， 当时，有可得，又因， 故对一切实数都有 故答案为： 四、解答题 27．是定义在上的连续可导函数，是的导函数，，且，有． (1)求与； (2)求的解析式； (3)关于的方程有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令，结合题设可得答案；对原函数方程两边关于求导，结合可得答案； （2）由（1）解析可得答案； （3）令，通过研究单调性结合设，可得，则需要证明的不等式等价于，最后由，的单调性可完成证明. 【详解】（1）令，则； 对方程两边关于求导（将x视作常数）, 可得，令，可得， 因，则，从而； （2）由（1），，则（为常数）. 又，可得，则； （3）设，则，结合，，. 从而在上单调递减，在上单调递增，又，， 有两个不等实根，则. 设，则.要证：，即证，因，则， 结合在上单调递减，要证，即证， 又，要证，即证：. 令，， 则（时取等号）， 即在上单调递增，从而时，即，从而命题得证. 28．设函数定义域为，对一切，均满足：，且（实数、为非0常数）. (1)求的值； (2)求证：为周期函数，并求出其一个周期； (3)求函数解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析，为其一个周期 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可得； （2）令代入计算可得，再变形计算即可得其周期； （3）令，可得，结合（2）中所得，可得，即可得函数解析式. 【详解】（1）令，则， 故； （2）令，则， 则，即， 则，故， 则，故为周期函数，且为其一个周期； （3）令，，则， 由（2）知，故， 则， 即，即， 令，，则， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $