辽宁朝阳市部分重点高中联考2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

《2025-2026学年度下学期期末高二数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B C A D C C AD BCD BCD 12． 13．①② 14． 15．（13分） （1）因为运用分层抽样的方法， 所以女生样本数据个数为； 3分 （2）学生每周平均体育运动时间不超过4个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率； 6分 （3）由（1）可知男生人数为人， 7分 由（2）可知该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率， 所以有人， 8分 因此学生每周平均体育运动时间不超过4个小时的人数为， 9分 因此列联表如下： 男生 女生 合计 每周平均体育运动时间不超过4个小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4个小时 165 60 225 合计 210 90 300 10分 因为， 12分 所以有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” 13分 16．（15分） （1）函数的定义域为，， 1分 ①若，则，在上单调递增； 2分 ②若，则由得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 4分 ③若，则由得， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 7分 （2）①若，则，所以，符合题意； 8分 ②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为， 从而当且仅当，即时，； 11分 ③若，则由（1）得，当时，取得最小值， 最小值为， 从而当且仅当，即时，； 14分 综上，a的取值范围为 15分 17．（15分） （1）证明：， 而因为，，所以 3分 （2）因为，， 所以，， ， 5分 所以 ， 则， 故， 8分 ， 10分 所以相关程度很强 11分 （3）因为， 所以 13分 因为， ， 所以 15分 18．（17分） （1）由题意得． 当时， 1分 当时， 3分 当时，满足． 故对任意的， 4分 （2）由（1）得， 5分 则， ， 两式相减得 7分 ， 9分 所以 10分 （3）因为， 12分 所以， 13分 当时， ． 15分 因为，所以 16分 故对任意的， 17分 19．（17分） （1）证明：由，得：， 由题意可得，所以，． 1分 此时，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数在处取得极大值． 2分 设切点为，则切线方程为， 即， 即为， 将点的坐标代入方程可得， 即，所以，即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条． 所以切线方程为 5分 （2）解：因为切线方程为， 把点的坐标代入切线方程可得， 因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根． 6分 设， ，令，可得和． 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 7分 所以，函数在处取得极大值，且， 函数在处取得极小值，且 ， 因为方程有三个根，则，解得， 9分 因为，， 10分 由零点存在定理可知，函数有三个零点， 综上所述， 11分 （3）证明：假设，则，则， 因为，所以． 12分 由（2）可得，两式相减可得． 因为，故． 14分 把代入上式可得，， 15分 法1：所以，，所以． 又由，这与矛盾． 16分 所以假设不成立，即证得． 17分 法2：由，得，代入得， 所以，又因为，所以，与矛盾． 16分 所以假设不成立，即证得． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线与曲线相切，则a的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 4．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异； 第4步，计算．计算得到； 第5步，判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（ ） A．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C．有的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D．学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 5．已知函数，且，则（ ） A． B． C． D．10 6．记数列前n项和为，且数列满足，，则（ ） A．504 B． C．588 D． 7．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限M约为，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点．每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限N为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A．10 B．34 C． D． 8．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．不等式的解集是 B．，都有 C．是R上的递减函数 D．的值域为 10．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A．函数有8个零点 B．对于实数，不等式恒成立 C．关于的方程有个不同的解 D．当时，若关于x的方程恰有7个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 11．已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．的前n项和 D．的前n项和 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12．若函数（且）的值域是，则实数a的取值范围是________． 13．下列命题中正确的命题有_________．（填序号） ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②当相关性系数时，两个变量正相关； ③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 14．已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若，，，则a，b，c的大小关系是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）． （1）应收集多少位女生样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率． （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请制作每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求a的取值范围． 17．对于变量x和变量y，设获得的成对数据为，，…，，其中，．在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 表1： x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 对表1中数据作变换，得到了如下表2： 表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 v -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 设样本相关系数为r，当时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强． 参考公式：；，． 参考数据：，，，，，，，，． （1）证明： （2）分别求表1中的两个变量x，y的样本相关系数r，并推断相关程度； （3）设y关于x的经验回归方程为，反之，x关于y的经验回归方程为． 由实验数据，利用参考数据求经验回归方程和（计算结果精确到0.01）； 18．已知数列的前n项和为，且边长为n的正方形的面积为． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）若数列的前n项和为，证明：． 19．设函数在处取得极值． （1）设点，求证：过点A的切线有且只有一条，并求出该切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求a的取值范围； （3）设曲线在点、处的切线都过点， 证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $可▣ 2025-2026学年度下学期期末高二数学试题答 题卡 学校： 姓名： 班级： 考场座位号： 贴码区 贴二维码/条形码，勿贴出框外！ 单选题 1[A][B][C][D] 6A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 多选题 9[AJ[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 填空题 12 13 请勿在此区域作答 第1页（共6页） ■ 解答题 15（13分) 频率 组距 0.150 0.125 0.100 0075 0.025 0 24681012时间h 第2页（共6页） 16(15分) 1 1 第3页（共6页） 0 17（15分) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 40 47 56 61 66 72 74 78 83 序号 1 2 3 5 6 7 8 10 E -4 -3 -2 -1 0 4 30 -23 -14 9 4 2 4 8 13 16 37 150 92 42 18 0 4 6 39 64 429 1 I I i 第4页（共6页） I ■ 18(17分) 第5页（共6页） 19(17分) I 第6页（共6页） 0Sheet1 题型 题号 分值 知识内容 能力层级 难度 单项选择题 1 5 集合的运算与应用 了解/理解 易 单项选择题 2 5 绝对值、一元二次不等式求解，充分必要条件逻辑判断 了解/理解 易 单项选择题 3 5 导数的定义与几何意义 了解/理解 易 单项选择题 4 5 独立性检验基本思想 了解/理解 易 单项选择题 5 5 函数的概念与基本性质 理解/掌握 易/中 单项选择题 6 5 递推数列、周期数列求和运算 理解/掌握 易/中 单项选择题 7 5 指数对数运算、对数换底公式 理解/掌握 易/中 单项选择题 8 5 导数与不等式恒成立、同构函数求参数最值 掌握/应用 中/难 多项选择题 9 6 指数函数性质：函数奇偶性、单调性、值域 掌握 中 多项选择题 10 6 分段奇函数、函数周期性、函数零点、复合方程根的分布 掌握/应用 中 多项选择题 11 6 递推数列取倒数构造等差、数列单调性、数列求和 掌握/应用 中/难 填空题 12 5 分段函数值域、对数函数图像性质 掌握 中 填空题 13 5 一元线性回归基本概念、相关系数统计含义 掌握/应用 中 填空题 14 5 函数对称性、导数运算、对数指数大小比较 掌握/应用 中/难 解答题 15 13 分层抽样、频率分布直方图、独立性检验应用 应用/综合 中 解答题 16 15 导数研究函数单调性、恒成立求参数 应用/综合 中 解答题 17 15 相关系数与线性回归方程求解、变量线性相关性判断 应用/综合 中 解答题 18 17 数列通项、等差等比求和、裂项相消放缩证明 应用/综合 难 解答题 19 17 导数定义与几何意义、曲线切线条数与参数范围证明 探究/创新 难 $