辽宁朝阳市北票市高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高中数学期末试卷通过真实情境与分层问题设计，考查运算能力、数据意识及创新应用，体现数学思维与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3题/30分|函数建模、立体几何证明、统计分析|结合科技热点设计综合性问题，考查推理能力与模型意识|

高二下学期期末考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知，则（ ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 5．已知等差数列，若，则（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．下列命题正确的是（ ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，，则的最小值为9 D．若，，则的最大值为18 10．已知函数，则（ ） A．函数的最小值为 B．函数图象的一个对称中心为 C．函数在上单调递减 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11．已知双曲线：的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（ ） A． B．双曲线的离心率为 C．与双曲线有两个交点 D．的内心在轴上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则__________． 13．若正三棱锥的高为3，，二面角为，则__________． 14．已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则__________． 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）设函数， （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值点． 16．（本题满分15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17．（本题满分15分）已知，是抛物线：上的两点． （1）求抛物线的方程； （2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 18．（本题满分17分）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱上，且． （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 19．（本题满分17分）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $高二下学期期末考试 数学试卷答案 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.B2.B3.A4.D5.C6.A7.C8.A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.AC 10.ABC 11.BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2V5 8. 14.2 四、解答题。本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(1)由f(0)=0,切点(0,0)f'=(4x2+2x-6)e 由·f(O)=-6得切线方程为：y=-6x(6x+y=0) (2)由山)可知f680.即4X42x60时，Xe(-0,多U1,+∞片 f004x42x60,火∈(-21. :f(在-60，多和1，+∞]上单调递增；在-多，1止单调递减 四的极大值点为x=-多 极小值点为X=1. 16.【详解】(1)由正弦定理得√5 sin BcosA=sin AsinB, 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， 故√5cos4=sinA,即tanA=√5， 因为4e(Q,所以4-骨 (2)a=2W7.b+c=10,A= 3 由余弦定理得cosA-6+c2-d_b+c八-2bc-a1 2bc 2bc 故102-2c-28-,解得c=24, 2bc 2 故SABc= c4分215-65 2 2 17. 【详解】(1)：A(6,m+2),B(24,m+8)是抛物线C:y=2px(p>1)上的两点， (+2=12p,.则m+8=4,整理得m=16,解得m=4, 则 (m+8)}'=48p(m+2) 3分 当m=4时，12p=(m+2=4,解得p=<l,不合题意：4分 当m=4时，12p=(m+2}2=36,解得p=3>1. 5分 故抛物线C方程为y2=6x。 6分 (2)由(1)知C的焦点为 故直线1的方程为y= 7分 y2=6x 得-2+6+9k=0,必有A>0, 9分 设P(,),(,乃)，则x+52= pg*p 水+6+3=6+ ’1分 6 k2 P四+术=6++26+26，当且仅当是-，即=6时，等号成立，4分 所以PQ+k2的最小值为6+26 15分 18 (1)在正四棱锥S-ABCD中，连接AC∩BD=O,连接SO,则点O是正方形ABCD的中心， SO⊥平面ABCD, …1分 而ACc平面ABCD,则SO⊥AC,又AC⊥BD, SO,BDc平面SBD,BDOSO=O, 于是AC⊥平面SBD, ……4分 而SDC平面SBD,所以AC⊥SD…5分 (2)连接OP,由(1)知，AC⊥平面SBD,而OP,ODc平面SBD,则OP⊥AC,OD⊥AC, 于是∠POD是二面角P-AC-D的平面角， …7分 令正方形ABCD边长为2，则BD=SD=SB=V2AB=2N2,有∠ODP=60°， 又0D=5,PD=SD=2 4 2 0P=00+P0-20Pmcs0=-2-59号0m4Pm2-00. 因此∠OPD=90°，∠P0D=30°，所以二面角P-AC-D的大小为30°.…10分 19【详解】（山函数田的定义减为Q+） 当a=方时.商数()--子 -2x-lnx 所r22 2x 令代)<0，解得0<<2，所以画数(0的减区间是0,2). 令了)》0，解得x>2,所以函数四的塔区间是2+四) (2)函数f()-r-(a+2)x+2anra∈R)的定义域为0，)， 又f)=x-a+2)+2a--a+2k+2a_k-ax-2 ①当a≤0时，对任意的x>0,x-a>0, 当0<r<2,f)k0,当>2，f)>0, 此时面数（⊙在02）上单调造减，在亿)上单调道增。 @当0<a<2时，由()0可得a<x<2,由6)>0可得0<x<a或>2 此时函数(9在a,2)上单调道藏，在0a和2+切）上单调递增， ®当a=2时，f(≥0恒成立，此时函数在0，+w)上单调递增： @当>2球h0南2a,自>0 可得0<x<2或r>a, 此时两数f(在a)上单调递减，在02》a,m)上单调递馆： 综上所达，当0≤0时，函数四的单调递减区间为 ,2) 单调递增区间为 2,+0) 当0<a<2时，函数0的单调递减区间为 ,2) 单调递增区间为 0,a)人(2，+o) 当a=2时， f( 0,+0) 的单调递增区间为 无单调递减区间； 当>2时，两数的单调莲减区间为 ,a) 单调递增区间为 0,2八(a,+o） o)4()-f)2=2alnx-a+2, 因为函数 ()有两个零点5，五，不纺设5>与>0， 2alnx =(a+2)x 则2alnx2=(a+2)x2, 2a(Inx-Inx2)=(a+2)(x-x2) 所以2a(nx+lnx2)=(a+2)(x+x2), Inr +hn In(p 整理可得lnx-lnx,-x2,即 X1-x2X2, 要证x>e,即证 ln(x)=+n点>2 x-x2 X2 即26)2位- X2x+x2 1+1 X2 t=>1nr>2-u>) 令x2,即证t+1 ewr-片哥0 令p)=r-2亚-) 所以函数p0)在L+四)上为增两数，则p>p0=0:即u-200,即 t+1 l>24-) 1+1，故原不等式得证.