辽宁辽阳市2025-2026学年高二下学期7月期末学情评估数学试题

辽阳市2025—2026（下）高二学情评估试题 数学 考试时间：120分钟　满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．命题“”的否定是（ ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（ ） A．35 B．45 C．55 D．60 4．下列选项中是“为单调递增函数”的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 5．设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 8．已知，，若在上恒成立，则实数的最大值（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的有（ ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 11．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A．的图象关于对称 B． C． D．是奇函数 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12．已知幂函数在上单调递减，则实数______． 13．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 14．已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 已知数列前项和满足，且． （1）求； （2）求数列的前项和以及数列的通项公式． 16．（15分） 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在定义域内单调递增且对任意正数，都有，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知函数在处取极小值2． （1）求的值； （2）求曲线过点的切线方程； （3）若函数，在上有三个零点，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数．数列满足， 数列满足， （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前项和． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明不等式：． 学科网（北京）股份有限公司 $辽阳市2026-2026（下）高二学情评估试题答案 一、单选 1.B 2.CA={xl-3≤x≤3}，B={xlx≤-1或x≥2}， A∩B={xl-3≤x≤-1或2≤x≤3} 3.BS3,S6-S3,Sg-S6成等差数列，又S3=5,S6=20,所以2(S6-S3)=S3+S9-S6 所以S9=45 4cf)=x一号，因为f0)为单调递增函数，所以f四之0，得x之1 5.B0<0.43<0.40=1即0<a<1,b=30.4>30=1,c=log0.43<log041=0, 所以c<a<b a+2>0 a>0 6.Aa=0时成立，a≠0时 122 4a1 得0<a≤日：所以0≤a≤君 2(a+2)+a≥-8a 7C因为=+3，所以，侣是以1为首项，3为公差的等差数列. 所以=3n-2a,=高aa=本（品） 所以(-计并+品)北-）>品 解得k>17.5.因为k∈N*,所以k的最小值是18. 8.Be2x-(a-2)x≥ln(ax)在(0，+oo)上恒成立，即e2x+lne2x≥ax+ln(ax), 令r)=x+mx,F(e2≥F(a),又因为F()单调递增，所以e2r≥ax,即a≤ 令h()=三，h()在(0，)上单调递减，（传，+∞）上单调递增，h()最小值为h()=2e, 即a≤2e. 二、多选 9.ABC3og925=3og35=5.A正确；log34·log433=3.B正确；e3+m3=e3.em3=3e3.C 正确；(1g2)2+lg2·lg5+1g5=lg2(1g2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1.D错误 10.ABDa2+b2≥2ab,6≥2ab-ab,∴.ab≤6.A正确；12=(a+b)2-3ab,ab≤ a+2,÷(a+b-3ab≥(a+b)2_3a+-+,(a+b)2≤48，a+b≤4W3B正确： 4 a2+=a2+4+品-4，令t=a2+4t≥，即t+?4在[4+m)止单调递增，所 以最小值为C错误：需=Va十4+品t=Va十4则t之2，t+在 [2,+∞)单调递增，所以最小值为3.D正确. 第1页共5页 11.ABDf(x+2)为奇函数得f(x)关于点(2,0)对称.A正确：f(x+3)为偶函数得f(x)关于 x=3对称，所以周期T=4,f(2026)=f(2)=0.B正确；对任意的x,x3∈(2,3)，￥≠x2, 都有f)-f,)<0,则f)在(2,3》上单调递减，f3.5)=f2.5)>f(2V2).C错误： X-X2 f(-x)=-f(x+4)=-f(x),f(x)为奇函数.D正确. 三、填空 12.1n2-7m+7=1得n=1或n=6,又因为f(x)在(0，+o)上单调递减，所以n=1. 13-≤m≤3c+0(+月=5+乡+≥5+2=9 y x 当且仅当xy专时皮立 2 要徙原武恒成立只s代+月。之2m2-3n 9≥2m2-3m解得-2≤m≤3 3 14.(-o,④因为数列{a}为递增数列， 所以a1=n+1+n>a,=n+会vn∈N恒成立， 化简整理得，1<2n(n+1)对n∈N*恒成立， 由二次函数性质知当n=1时，2n(n+1)有最小值4， 所以1<4，故实数1的取值范围是(-∞，4) 四、解答 15.(1)由a+1=Sn+1-Sn' 1分 代入可得：2Sn+1=3Sm+Sn+1-Sn,即S+1=2Sn 2分 所以{Sn}是以S1=a1=1为首项，2为公比的等比数列， 4分 所以Sn=2n-1: 5分 (2)因为S。=2m-1,所以Tn=S1+S2+…+Sn=1-29=2m-1 1-2 7分 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2, 9分 经检验，当n=1时a=1不符合上式 11分 因此，数列{a}的通项公式为an= (1,n=1 12n-2,n≥2 13分 16（1)由题可知，函数f)的定义域为0，+)，且f)=+2x=2, 1分 当a≥0时，f'(x)>0在(0，+o)上恒成立，所以f(x)在(0，+oo)单调递增： 3分 第2页共5页 当a<0时，令f)=0,解得x=√（负值舍掉），则当x∈(0，)时，f"6)<0,fy 单调递减：当xe(,+o)时，f)>0,f单调递增。 6分 综上，当a≥0时，fx)在(0，+∞)单调递增；当a<0时，f(x)在(0， 上单调递减，在 [厂十四)单调遥指， 7分 (2)因为函数f(x)在定义域内单调递增，所以a≥0，不妨设x1≥x2,则f(x1)≥f(x2), 那么不等式f(x1)-fx21≥3引x1-x2等价于f(x1)-fx2)≥3x1-3x2,即等价于 f(x1)-3x1≥f(x2)-3x2, 设g(x)=f(x)-3x=anx+x2-3x,则g(x)在(0，+o)上单调递增， 9分 即g'0)=+2x-3=22+≥0在(0，+四)上恒成立， 11分 即2x2-3x+a≥0在(0，+o)上恒成立， 则当x=时，a-8≥0，a≥故a的取值范围为[3，+o) 15分 17.(1)f'(x)=3x2-4ax+a2 1分 ÷得8解得8=我4 3分 经检验，当气60-3，时不符题意，合去，当6二2时f()在x=1处取极小值2 ∴.a+b=3 5分 (2)设切点为Q(x0,yo),y0=x03-2x2+x+2 f'(x)=3x2-4x+1,f'(x0)=3x2-4x0+1 7分 y-(xo3-2xo2+x+2)=(3xo2-4x0+1)(x-x)代入点P(0,2) .解得xo=1或者x00 8分 .切线斜率为O,切线方程为y=2或者斜线斜率为1切线方程为y=x+2 9分 .综上所求切线方程为y=x+2或者y=2 10分 (3),函数g(x)=f(x)-2c,在[0,2]上有三个零点 ∴.方程f(x)=2c在[0,2]上有三个不等的实根 ∴，函数y=fx)与y=2c图象在[0,2]上有三个不同的交点 11分 :由(1)知y=f)在x=1处取极小值2，在x=号处取得极大值号 12分 又.f(0)=2,f(2)=4 14分 2<2<9,解得1<c< 27 15分 18.(1)解：f1-x)+f(x)=e1-x-e*+1+e*-e1-x+1=2 2分 f()+f(元)=2 4分 第3页共5页 +*+ 2 =n0)+2)+编》 2=2(3m-1) 6分 an dn=3n1 7分 bn+1=2bm+1 bm+1+1=2(bn+1) ∴bn+1是以b1+1=2为首项，2为公比的等比数列 9分 bn+1=2·2n-1=2n .bn 2n -1 11分 （2)+1=21+1=(3n-1)·2” 1 12分 an 3n-1 Tm=2·21+5,22+8·23+…+(3n-)·2-1+(3n-1)·2m 2Tn=2·22+5·23+…+(3n-4·2m+(3n-1)2n+1 13分 -Tn=4+3·(22+…+2)-(3n-1)·2+1 =4+3.41-20 1-2 -(3n-1)）·2+1 =(4-3m)·2n+1-8 16分 Tm=(3n-4·2n+1+8 17分 19.(1)当λ=0时，fx)=xnx,则f'(x)=nx+1, 1分 当xe[,e时，f(w)≥0，fw)在，e上单调递增， 2分 所以fx)mm=f(日)=-是，fx)max=f(e)=e 3分 (2)由题可得f'(x)=1+lnx-,令f'(x)=0,解得x=e-1, 4分 则当x∈(0，e-时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减， 当x∈(e-1,+o)时，f'x)>0,函数f(x)单调递增， 所以fx)的最小值为f(e-)=(1-1)e-1-1(e-1-1)=-e-1, 7分 若f(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)的最小值)-e-1≥0恒成立， 设h()=1-e-1,则h'()=1-e-1,令h'()=0,解得=1， 第4页共5页 则当1∈(-∞，1)时，h'()>0,函数h()单调递增， ∈(1，+∞)时，h'()<0,函数()单调递减， 故h(⑦)=1-e-1≤h(1)=0,当且仅当1=1时等号成立， 10分 又1-e-1≥0，所以1=1. 11分 (1)由(2)可知，当1=1时，f(x)≥0在(0，+∞)上恒成立， 即xnx≥x-1在(0，+∞)上恒成立，当且仅当x=1时等号成立， 即nx≥，即lnx≥1-是 13分 令x=史因为共+1，所以血中>1-产= 14分 所以hn子+n+h+…+n史>+甘++…+ 即nx××…x==n0m+1)>+++…+本成立， 即nm+1)>2”1成立 17分 第5页共5页