1.2.1 有理数的概念（小升初暑期预习知识清单）2026-2027学年人教版七年级数学上册

小升初暑期预习知识清单 《 有理数的概念 》 教材版本: 人教版（2024）七年级数学上册 核心内容: 有理数的定义、整数与分数、有理数分类、有限小数与无限循环小数 预计学习时间: 50分钟 与小学知识的联系: 小学已学过自然数、小数、分数 本章预习导航 核心内容概述 ● 整数的概念：正整数、0、负整数 ● 分数的概念：正分数、负分数 ● 有理数的定义：整数和分数统称为有理数 ● 有理数的两种分类：按定义分类、按符号分类 ● 有限小数和无限循环小数都是有理数 ● 有理数与无理数的关系 与小学知识的联系 小学阶段，同学们已经学习过自然数（包括0）、小数、分数的初步概念。进入初中后，我们把这些数统一扩展为"有理数"这一更一般的概念，并引入了负数，使数系从"非负数"扩展为"有理数"，这是一个质的飞跃。小学中的"自然数"在初中扩展为"非负整数"，正整数和0合称为非负整数；而小学中的"小数和分数"，在初中通过引入负号，扩展为"负分数"和"负小数"。有理数的分类思想也将为同学们后续学习实数、二次根式等打好基础。本章是1.2节的起点，是后续学习数轴、相反数、绝对值的前提。 预习建议 先通读教材，理解有理数的整体框架（定义、分类、表示） 重点理解两种分类方法（按定义分、按符号分），弄清0的归属 通过具体例子理解"无限不循环小数不是有理数"这一关键点 通过练习巩固判断和分类能力 建议家长陪孩子一起列举生活中的有理数（如温度、海拔、坐标等），加深理解。 学习方法提示 本章是1.2节的基础节，概念性强、需要记忆的内容多，建议同学们采用"分类整理 + 反复练习"的两步学习法：第一步，对有理数进行两种分类（按定义和按符号），用表格整理清楚，特别是0的归属问题；0是有理数，但0既不是正数也不是负数。第二步，通过大量练习巩固判断能力，要做到看到一个数立即能判断它是否为有理数。本章的关键词是"分类"。有理数的两种分类方式从不同角度对有理数进行了划分，同学们要把这两种分类熟记于心，并能灵活运用。另外，要注意区分有限小数（如0.5）和无限循环小数（如0.333...）的区别——它们都是有理数；而无限不循环小数（如π、√2）不是有理数。理解这一点对于后续学习"实数"非常重要。 第一节 1.2.1 有理数的概念 >> 预习目标 ✔ 理解整数的概念，能识别正整数、0、负整数 ✔ 理解分数的概念，能识别正分数、负分数 ✔ 掌握有理数的定义，能判断一个数是否为有理数 ✔ 能按"定义"和"符号"两种方法对有理数进行分类 ✔ 理解有理数包括哪些类型的数（有限小数、无限循环小数等） ✔ 知道有理数与无理数的根本区别 知识清单 [K1] 知识点1：整数的概念 1. 整数的定义 像-3，-2，-1，0，1，2，3……这样不分母的数叫作整数。整数的个数是无限的。 2. 整数的分类 按"正负"分类： ● 正整数：1、2、3、4、…（大于0的整数） ● 零：0（唯一的非正非负的整数） ● 负整数：-1、-2、-3、…（小于0的整数） ⚠ 特别提醒 ⚠ 整数不仅包括正整数，还包括0和负整数。小学学的"自然数"（含0）只占整数的一部分。 ⚠ 整数的"分母是1"——任意整数都可以写成"整数/1"的形式，符合"分母为整数的分数"形式。 [K2] 知识点2：分数的概念 1. 分数的定义 像1/2，-3/4，5/6……这样分母为整数，分子为整数的数叫作分数。 2. 有限小数和无限循环小数 分数的形式不一定是"分子/分母"的形式。 有限小数（如0.5、3.14）和无限循环小数（如0.333…、1.2727…）都可以化成分数，它们都是分数。 例如：0.5 = 1/2，0.333… = 1/3。 3. 分数的分类 按"正负"分类： ● 正分数：1/2、3.14、9/10、…（大于0的分数） ● 负分数：-1/2、-3/4、-0.5、…（小于0的分数） ⚠ 特别提醒 ⚠ 有限小数和无限循环小数都是有理数，但无限不循环小数（如π）不是有理数。 ⚠ 分数要化简成最简分数，例如-2/4要写成-1/2。 [K3] 知识点3：有理数的定义 1. 定义 整数和分数统称为有理数。换句话说，所有整数和分数都是有理数。 2. 有理数的范围 有理数包括： ● 整数（正整数、0、负整数） ● 分数（正分数、负分数，即有限小数和无限循环小数） 3. 有理数与无理数的关系 本章研究的都是有理数。 无限不循环小数（如π、√2）不是有理数。 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此是有理数。 ⚠ 特别提醒 ⚠ 有理数=整数+分数，所有能写成分数形式的数都是有理数。 ⚠ 判断一个数是否为有理数，关键是看它能否化成分数。 ⚠ 0是有理数，但0既不是正数也不是负数（属于正负数分界）。 [K4] 知识点4：有理数的分类 1. 按定义分类 这是最常用的分类方式： 有理数 = 整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数）。 2. 按符号分类 按正、零、负三类划分： 有理数 = 正有理数 + 0 + 负有理数。 即：正数（>0）、零（=0）、负数（<0）。 注意：0既不是正数也不是负数，但它属于有理数。这也是有理数按符号分类的关键点——0单独为一类，它既不是正有理数也不是负有理数，但依然是有理数。正有理数包含所有正整数和正分数，负有理数包含所有负整数和负分数。 ⚠ 特别提醒 ⚠ 两种分类方式是从不同角度对有理数进行划分，是兼容的，不是对立的。 ⚠ 0比较特殊：是有理数，是整数，但既不是正数也不是负数。 ⚠ "自然数"在小学指0、1、2、3、…；在初中指非负整数。 易错点剖析 易错点1：把无限不循环小数误认为有理数 错例：认为π是有理数，因为它是一个小数。 正确：π是无限不循环小数，不是有理数。有理数是整数和分数，分数要能化成分数。 错因：没有理解有理数的本质——有理数是可以化成分数的数，而π不能化成分数。 规避方法：判断一个数是否为有理数，关键是看它能否化成分数。无限不循环小数不能化成分数，所以不是有理数。 易错点2：把小数单独列为一类，不放在分数里 错例：认为有理数分为：整数、小数、分数三类。 正确：有理数只分为整数和分数两类。有限小数和无限循环小数都属于分数（因为可以化成分数）。 错因：把"小数"当成与"分数"并列的概念。 规避方法：记住"小数不是独立类别，是分数的一种特殊形式"。 易错点3：把0排除在有理数之外 错例：认为0不是有理数，因为0既不是正数也不是负数。 正确：0是整数，是有理数。"既不是正数也不是负数"不影响0作为整数的身份。 错因：把"正负数"与"有理数"混为一谈。 规避方法：0既是整数也是有理数，只是它"不属于正数和负数"而已。 易错点4：误把负小数当成"符号+小数"两部分理解 错例：认为-0.5表示"减去0.5"，是有理数运算。 正确：-0.5是一个整体，是一个负小数（负分数），表示比0小5/10的数，单独作为一个数。 错因：混淆了"负号的数"和"减法运算"。 规避方法：-0.5是一个负数，含义是"小0.5"；而"5-0.5"是减法运算，二者完全不同。 易错点5：混淆带分数表示 错例：认为"3 1/2"是有理数，且是负分数。 正确："3 1/2"是一个正数，表示"三又二分之一"，是正分数（也是正有理数）。 错因：把带分数符号化的判断搞混，导致分类错误。 规避方法：判断一个分数的正负，需要看它本身的符号，而不是看分子。 典型例题 【例题1】（基础题 ★☆☆）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3.14，π，0，-1/2，7.8%，√4，0.333…，-8，10.1010010001…（无规律） 【分析】判断标准：能化成分数的有理数；不能化成分数的是无理数。整数、有限小数、无限循环小数都是有理数；无限不循环小数是无理数。 【解】 有理数：-3.14（有限小数），0（整数），-1/2（分数），7.8%（有限小数=78/1000）， √4=2（整数），0.333…（无限循环小数=1/3），-8（整数） 无理数：π（无限不循环小数），10.1010010001…（无限不循环小数） 【答案】有理数：-3.14、0、-1/2、7.8%、√4、0.333…、-8；无理数：π、10.1010010001…。 【例题2】（基础题 ★☆☆）把下列各数填入相应的集合内： 3，-2，0，-1/2，5/3，4.5，-8，10，-0.7 正整数集合：{______} 负整数集合：{______} 正分数集合：{______} 负分数集合：{______} 【分析】按"定义"分类：整数=正整数+0+负整数；分数=正分数+负分数。 【解】 正整数集合：{3, 10} 负整数集合：{-2, -8} 正分数集合：{5/3, 4.5} 负分数集合：{-1/2, -0.7} 【答案】 正整数：3、10；负整数：-2、-8；正分数：5/3、4.5；负分数：-1/2、-0.7；0既不是正数也不是负数。 【例题3】（中档题 ★★☆）把下列各数按"正有理数""0""负有理数"分类。 +5，-2.5，0，-1/4，3/7，8，-3.14 【分析】按"符号"分类：正数（>0）、0、负数（<0）。 【解】 正有理数：+5（正整数），3/7（正分数），8（正整数） 0：0 负有理数：-2.5（负分数），-1/4（负分数），-3.14（负分数） 【答案】正有理数：+5、3/7、8；0：0；负有理数：-2.5、-1/4、-3.14。 【例题4】（易错题 ★★☆）判断：所有的有限小数都是有理数，所有的无限小数都不是有理数。 【分析】有限小数可以化成分数，所以是有理数；但无限小数要再分：无限循环小数可以化成分数（有理数），无限不循环小数不能化成分数（无理数）。 【解】 原命题前半部分正确，后半部分错误。 正确分类：有限小数和无限循环小数都是有理数；只有无限不循环小数才是无理数。 【答案】错。有限小数都是有理数；但无限小数中，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数。 随堂小测 1. 下列各数中，是有理数的是（　） A. π B. √3 C. -3.14 D. 0.1010010001...(无规律) 2. 下列各数中，是负分数的是（　） A. -1/2 B. -3 C. 5.7 D. +7 3. 有理数包括（　） A. 整数和小数 B. 整数和分数 C. 正数和负数 D. 自然数和分数 4. 有限小数和无限循环小数______（填"都是"或"都不是"）有理数。 5. 把-2/4化简成最简分数是______，它属于______（填"正分数"或"负分数"）。 随堂小测参考答案 1. C（-3.14是有限小数，可化成分数-314/100，是有理数；A、B、D均是无理数） 2. A（-1/2是负分数；B是负整数；C是正分数；D是正整数） 3. B（有理数=整数+分数；C错在0不是正数也不是负数；A错在小数属于分数） 4. 都是（两者都能化成分数，都是有理数） 5. -1/2；负分数（化简后分子分母互质，符号由分子决定） 本章思维导图 以下思维导图以"有理数的概念"为中心，分为四大分支：整数、分数、有理数定义、有理数分类。其中"整数"和"分数"是定义的基础，"有理数定义"是核心结论，"分类"是从不同角度对有理数进行划分。同学们可以对照此图梳理本章知识体系，做到"一目了然"。 中心：有理数的概念 |-- 一、整数的概念 | |-- 1. 定义：不分母的数 | |-- 2. 包括：正整数、0、负整数 | |-- 3. 个数：无限 |-- 二、分数的概念 | |-- 1. 定义：分子为整数、分母为整数的数 | |-- 2. 有限小数、无限循环小数都可以化成分数 | |-- 3. 包括：正分数、负分数 |-- 三、有理数的定义 | |-- 1. 整数+分数=有理数 | |-- 2. 0是有理数，但既不是正数也不是负数 | |-- 3. 无限不循环小数不是有理数 |-- 四、有理数的分类 | |-- 1. 按定义：整数（含正、0、负）+ 分数（含正、负） | |-- 2. 按符号：正有理数、0、负有理数 | |-- 3. 两种分类方式兼容 核心概念速查卡 核心概念 内容 整数 不分母的数，包括正整数、0、负整数。 分数 分母为整数、分子为整数的数。有限小数和无限循环小数都属于分数。 有理数定义 整数和分数统称为有理数。 有理数范围 正整数、0、负整数、正分数、负分数；有限小数、无限循环小数。 无理数 无限不循环小数，如π、√2等。 0的特殊性 是有理数，是整数；但既不是正数也不是负数。 速记口诀：有理数=整数+分数，整数显式分数隐；整数含0记心间，小数分数是一家；判断有理看分数，循环不循判分明！ 本章易错点汇总 易错点 错误形式 正确理解与规避方法 把无限不循环小数误认为有理数 ✗ 认为π是有理数 ✓ π是无限不循环小数，不是有理数。判断标准是能否化成分数。 把小数单独列为一类 ✗ 认为有理数分为整数、小数、分数三类 ✓ 有理数只分为整数和分数两类；小数属于分数。 把0排除在有理数之外 ✗ 认为0不是有理数 ✓ 0是整数，是有理数，只是不属于正数或负数。 误把负小数当成运算式 ✗ 认为-0.5是"减去0.5" ✓ -0.5是一个整体数，表示"比0小0.5"。 本章分层自测卷 A层（基础巩固，5题）★★ 1. 下列各数中，是整数的是（　） A. -1/2 B. 0 C. 0.5 D. π 2. 下列各数中，是负分数的是（　） A. -3 B. -3/4 C. 7/9 D. 0 3. 下列各数中，是有理数的是（　） A. π B. √3 C. -3/5 D. 0.1234567891011…（无规律） 4. 有限小数和______小数都是有理数；只有______小数才不是有理数。 5. 0属于______（填"正数"、"负数"或"既不是正数也不是负数"），但0是有理数。 B层（能力提升，3题）★★★ 6. 下列各数中，有理数的个数是（　） A. -3/4、0、5、1/2、π B. -3/4、0、5、1/2、-0.3 C. -3/4、π、5、1/2、0.101001…(无规律) D. -3/4、0、5、1/2、√4 7. 把5/4、-3/-7、-5/8、-3.14、0、-1/9填入"正整数""负整数""正分数""负分数"集合。 8. 化简下列各数，并把化简后的数按"正有理数""0""负有理数"分类： -5/10，-3/-4，0，-7/4，4/-9，8/3。 C层（拓展挑战，2题）★★★★ 9. 一个数的绝对值是5，写作______；它的相反数是______，写成两个数是______或______。 又一个数的相反数是-7，写作______；它的绝对值是______。 10. 小明说"我做了一个调查：所有的小数都是有理数，所有的分数都不是有理数"。 小明的话对吗？为什么？请举例说明。 参考答案与解析 A层答案与解析 ● 1. B：0是整数；-1/2是分数；0.5是分数；π是无理数。 ● 2. B：-3/4是负分数；-3是负整数；7/9是正分数；0既不是正数也不是负数。 ● 3. C：-3/5是分数，是有理数；π、√3、0.1234567891011…（无规律）都是无理数。 ● 4. 循环；不循环：有限小数和无限循环小数都能化成分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数。 ● 5. 既不是正数也不是负数：0是特殊的数，不是正数也不是负数；但0是有理数，是整数。 B层答案与解析 ● 6. BDA中π是无理数；C中π和0.101001...（无规律）都不是有理数；D中√4=2是整数；B中所有数都是有理数。 ● 7. 解：正整数：5/4（不是整数，5/4是分数，需先化简判断）；所有原数中无正整数（5/4=1.25是分数；1/2是分数；7/4=1.75；8/3≈2.67）。 负整数：-3/-7化简 = 3/7（正分数），所以原数中无负整数。 正分数：5/4、-3/-7（化简为3/7）； 负分数：-5/8（化简）、-3.14、-1/9； 0单独列出。 ● 8. 解：先化简：-5/10=-1/2；-3/-4=3/4；-7/4保持；4/-9=-4/9；8/3保持。 分类： 正有理数：3/4（=0.75）、8/3（≈2.67）； 0：0； 负有理数：-1/2（=-0.5）、-7/4（=-1.75）、-4/9（≈-0.44）。 C层答案与解析 ● 9. 解： 一个数的绝对值是5，即|a|=5，所以a=5或a=-5； 它的相反数是-5（绝对值为5的数的相反数统一为-5）； 写成两个数是5或-5； 另一个数的相反数是-7，即b=-7； 它的绝对值是|-7|=7。 ● 10. 解： 小明的话不完全正确。 第一句话"所有的小数都是有理数"是错误的。有限小数都是有理数，但无限不循环小数不是有理数（如π）。 第二句话"所有的分数都不是有理数"也是错误的。分数本身就是有理数的一部分，"分数不是有理数"在逻辑上自相矛盾。 正确说法应是：所有整数和分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数，无限不循环小数不是有理数。 本章是1.2有理数部分的基础节，也是后续学习数轴、相反数、绝对值和有理数大小比较的前提。同学们在本章应该掌握：判断一个数是否为有理数；对有理数进行两种方式的分类；理解0的特殊性；区分有限小数与无限循环小数、无限循环小数与无限不循环小数。建议同学们复习时，对照本章思维导图梳理知识体系，并完成分层自测卷相应层次题目，巩固所学。本章涉及的判断和分类思想将贯穿整个初中数学学习，希望同学们能认真掌握每个概念和分类方法。 学科网（北京）股份有限公司 $