2.2 有理数的乘法与除法（小升初暑期预习知识清单）2026-2027学年人教版七年级数学上册

第二章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法 小升初暑期预习知识清单 ────────────────────────────────── 教 材 版 本：人教版（2024）七年级数学上册 适 用 对 象：小升初学生（暑期预习） 核 心 内 容：有理数的乘法法则、除法法则、倒数 预 习 时 长：约90分钟 ✦ 自主学习 · 循序渐进 ✦ 第二章 有理数的运算 本章预习导航 同学们，通过前面2.1节的学习，我们已经掌握了有理数的加法和减法——知道了"同号相加一边倒，异号相加大欺小"，也学会了"减去一个数等于加上它的相反数"。现在，我们将进入更加精彩的内容——有理数的乘法与除法！ 乘法和除法是比加减法更高级的运算。在小学，我们只会做正数和0的乘除法，进入初中后，乘除法的对象扩展到了负数。这不仅要求我们掌握新的符号规则——"同号得正，异号得负"，还需要理解倒数的概念，学会将除法转化为乘法。 本节"2.2 有理数的乘法与除法"分为两个小节：2.2.1 有理数的乘法，2.2.2 有理数的除法。这两节内容紧密联系——乘法是基础，除法可以转化为乘法（乘以倒数）。掌握了乘法法则，除法的学习就会轻松很多。 🔗 与小学知识的联系 小学阶段，我们已经背熟了乘法口诀表，熟练掌握了正数乘除法、小数乘除法、分数乘除法。进入初中后，乘除法的核心变化在于——要处理"负数"！小学的乘法可以理解为"正数×正数"或"正数×0"，现在要扩展到"负数×正数""负数×负数""负数×0"等情况。 小学我们还学过倒数的概念（如 2/3 的倒数是 3/2），初中倒数的定义保持不变，但扩充到了负数——例如 -2 的倒数是 -1/2。另外，小学的"除以一个数等于乘以它的倒数"这条法则在初中仍然成立，只是除数可以是负数了。 📋 本节内容概览 2.2.1 有理数的乘法：乘法法则（同号得正、异号得负）、多个有理数相乘（奇负偶正）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）。 2.2.2 有理数的除法：倒数定义、除法法则（除以一个数等于乘以它的倒数）、除法法则的简化形式（同号得正、异号得负）。 2.2.1 有理数的乘法 🎯 预习目标 ✔ 理解有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ✔ 掌握任何数与0相乘都得0。 ✔ 会确定多个有理数相乘的积的符号（奇负偶正法则）。 ✔ 理解乘法运算律在有理数范围内仍然成立，能灵活运用使计算简便。 ──────────────────────────────────────────────────────────── 📌 知识清单 📌 知识点1：有理数的乘法法则 【法则】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 这个法则是有理数乘法的核心，它告诉我们两个关键步骤：第一步确定符号（看是同号还是异号），第二步计算绝对值相乘（其实就是小学学过的乘法）。 生活情境类比：想象"速度×时间=路程"，如果规定向东为正、向西为负——向东走3米/秒，走4秒，位置变化是 (+3)×(+4)=+12（向东12米）；向西走3米/秒（即速度-3米/秒），走4秒，位置变化是 (-3)×(+4)=-12（向西12米）；向西走3米/秒，倒着走4秒（即时间-4秒），位置变化是 (-3)×(-4)=+12（向东12米）。 符号情况 法则 示例 正数 × 正数（同号） 得正（+），绝对值相乘 (+3)×(+4)=+12 负数 × 负数（同号） 得正（+），绝对值相乘 (-3)×(-4)=+12 正数 × 负数（异号） 得负（-），绝对值相乘 (+3)×(-4)=-12 负数 × 正数（异号） 得负（-），绝对值相乘 (-3)×(+4)=-12 任何数与0 都得0 (-5)×0=0，0×(+3)=0 📌 知识点2：多个有理数相乘的符号法则 【法则】几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： ① 当负因数有奇数个时，积为负； ② 当负因数有偶数个时，积为正。 【补充】几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 这个法则简称为"奇负偶正"法则。例如：(-2)×3×(-4)×(-5)，有3个负数（奇数个），所以结果为负，绝对值 2×3×4×5=120，结果为-120。 再如：(-2)×(-3)×(-4)×(-5)，有4个负数（偶数个），所以结果为正，绝对值为 2×3×4×5=120，结果为+120。 📌 知识点3：有理数的乘法运算律 在有理数范围内，乘法运算律仍然成立： 【交换律】ab = ba，即两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 【结合律】(ab)c = a(bc)，即三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。 【分配律】a(b+c) = ab + ac，即一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再相加。 利用运算律可以使计算更简便。例如：(-25)×17×4 = (-25)×4×17（交换律）= (-100)×17 = -1700。再如：(-5/6)×(12-18) = (-5/6)×(-6)=5，也可以用分配律展开 = (-5/6)×12+(-5/6)×(-18) = -10+15=5。 ⚠ 特别提醒 ⚠ "同号得正，异号得负"是乘法的专属法则 加法的符号法则不同（同号取相同符号、异号取绝对值大的符号），不要混淆。 ⚠ 任何数与0相乘都得0，千万不要忽略 如 (-5)×0=0，0×(-3)=0。如果计算多个数相乘时有一个因数为0，整个积为0。 ⚠ 多个数相乘时，先定符号再算绝对值 先数负因数的个数（奇负偶正），确定符号后再计算绝对值的乘积。 ⚠ 利用运算律可以简化计算 特别要注意分配律 a(b+c)=ab+ac 的灵活运用，以及"提取公因数"的逆向运用。 易错点1：将加法的符号法则与乘法的混淆 ❌ 错例：计算 (-3)×(+5)，误写成 (-3)×(+5)=+2（受加法思维影响，以为异号要"大减小"）。 错因分析：把乘法的符号法则与加法的符号法则混淆了。加法是"同号相加符号不变、异号相加取绝对值大的符号"，乘法是"同号得正、异号得负"。两者完全不同。 ✅ 正确做法：(-3)×(+5) = -15。异号相乘得负，绝对值 3×5=15。 记住乘法口诀："同号为正，异号为负，绝对值相乘"——与加法的"取相同符号""取绝对值大的符号"完全不同。 易错点2：多个数相乘时符号判断错误 ❌ 错例：计算 (-2)×(-3)×(-4)×(-5)，误以为 4 个负数相乘得负。 错因分析：学生凭感觉认为"负数多就为负"，但没准确数负因数的个数。实际上，4是偶数，所以结果应为正。 ✅ 正确做法：数负因数个数——(-2)、(-3)、(-4)、(-5)共4个负数，4是偶数，积为正。绝对值 2×3×4×5=120，所以结果为+120。 规遍方法：先数负号的个数（奇负偶正），再算绝对值的乘积。建议在题目上方标注"(-)²个=2个=偶数→正"。 ✏️ 典型例题 【例题1】（基础题）难度★☆☆ 计算下列各题： （1）(-6)×(-7)　　　（2）(+5)×(-9)　　　（3）(-8)×0 （4）(-2)×(-3)×(-5)　（5）(-2)×(-3)×(-5)×(-1) 【分析】先判断符号（同号得正、异号得负），再把绝对值相乘。多个数相乘时先数负因数个数。 【解】 （1）(-6)×(-7)： 同号（两个负数）→ 得正。 绝对值相乘：6×7=42。 所以 (-6)×(-7)=+42。 （旁批：同号相乘得正） （2）(+5)×(-9)： 异号（一正一负）→ 得负。 绝对值相乘：5×9=45。 所以 (+5)×(-9)=-45。 （旁批：异号相乘得负） （3）(-8)×0： 任何数与0相乘都得0。 所以 (-8)×0=0。 （旁批：任何数乘0都得0） （4）(-2)×(-3)×(-5)： 数负因数个数：(-2)(-3)(-5)共3个（奇数）→ 得负。 绝对值相乘：2×3×5=30。 所以 (-2)×(-3)×(-5)=-30。 （旁批：3个负数=奇数个→负） （5）(-2)×(-3)×(-5)×(-1)： 数负因数个数：共4个（偶数）→ 得正。 绝对值相乘：2×3×5×1=30。 所以 (-2)×(-3)×(-5)×(-1)=+30。 （旁批：4个负数=偶数个→正） 【答案】（1）+42；（2）-45；（3）0；（4）-30；（5）+30。 【例题2】（中档题）难度★★☆ 用简便方法计算： （1）(-25)×37×(-4)　　　　　（2）(-5/6)×(12-18) 【分析】第（1）题利用交换律和结合律，把(-25)和(-4)先乘，可以得到100。第（2）题可以先算括号内的减法，再乘法；也可以利用分配律展开计算。 【解】 （1）(-25)×37×(-4) = (-25)×(-4)×37　　← 交换律：交换37和(-4)的位置 = [(-25)×(-4)]×37　← 结合律：先把(-25)和(-4)相乘 = 100×37　　　　　← (-25)×(-4)=100（同号得正，25×4=100） = 3700 （2）方法一：(-5/6)×(12-18) = (-5/6)×(-6)　　← 先算括号内：12-18=-6 = 5　　　　　　← 同号得正，5/6×6=5 方法二（分配律）：(-5/6)×(12-18) = (-5/6)×12 + (-5/6)×(-18)　← 分配律展开 = (-10) + 15　　　　　　← (-5/6)×12=-10，(-5/6)×(-18)=15 = 5 【答案】（1）3700；（2）5。 2.2.2 有理数的除法 🎯 预习目标 ✔ 理解倒数的定义，能求出一个有理数的倒数（0除外）。 ✔ 掌握有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 ✔ 会运用除法法则的简化形式：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 ✔ 知道0除以任何一个不等于0的数都得0，0不能作除数。 ──────────────────────────────────────────────────────────── 📌 知识清单 📌 知识点1：倒数 【定义】乘积是1的两个数互为倒数。 例如：3 × 1/3 = 1，所以 3 和 1/3 互为倒数；(-2) × (-1/2) = 1，所以 -2 和 -1/2 互为倒数。 重要结论：①正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；②0没有倒数（因为0乘以任何数都得0，不可能得1）；③整数a的倒数是1/a；④分数a/b的倒数是b/a（a、b≠0）。 📌 知识点2：有理数的除法法则（法则一） 【法则】除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 a ÷ b = a × 1/b　（b ≠ 0） 这个法则告诉我们：除法可以转化为乘法。这是有理数除法的核心思想。 例如：(-6) ÷ (-3) = (-6) × (-1/3) = +2；(-12) ÷ (+4) = (-12) × (+1/4) = -3。 📌 知识点3：有理数的除法法则（法则二——简化形式） 【法则】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 【补充】0除以任何一个不等于0的数，都得0。 这个法则与乘法的符号规则一致——"同号得正、异号得负"。由此可以看出，乘法和除法的符号规则是统一的。 例如：(-12) ÷ (-4) = +3（同号得正，12÷4=3）；(-12) ÷ (+4) = -3（异号得负，12÷4=3）；0 ÷ (-5) = 0。 符号情况 法则 示例 同号相除 得正（+），绝对值相除 (-12)÷(-4)=+3；(+12)÷(+4)=+3 异号相除 得负（-），绝对值相除 (-12)÷(+4)=-3；(+12)÷(-4)=-3 0除以非0数 都得0 0÷(-5)=0；0÷(+3)=0 0不能作除数 除数不能为0 任何数÷0无意义 📌 知识点4：乘除混合运算 对于含有乘除的混合运算，可以先把除法转化为乘法（乘以倒数），再按照乘法法则进行计算。这样就不需要反复切换符号规则了。 例如：(-6) ÷ (-3) × 2 = (-6) × (-1/3) × 2 = (6/3) × 2 = 2 × 2 = 4。 💡 解题技巧：遇到乘除混合运算时，先把所有除法变成乘法（把除数变为它的倒数），然后再一起确定符号、计算绝对值。这样可以减少出错。 ⚠ 特别提醒 ⚠ 0没有倒数，0不能作除数 这是最重要的一条！在除法中，如果除数为0，算式无意义。任何时候遇到除以0都要特别警惕。 ⚠ 求负数的倒数时，负号不能丢掉 -3的倒数是-1/3，而不是1/3。负数的倒数仍然是负数。 ⚠ 除法转化为乘法时，被除数不变，除数取倒数 "被除数不变，除号变乘号，除数变倒数"——三步要记牢。 ⚠ 分数可以看作两个数相除 如 -2/3 可以看作 (-2)÷3，也可以看作 2÷(-3)，结果都是 -2/3。 易错点3：误认为0有倒数或0可以作除数 ❌ 错例：认为0的倒数是0，或计算 5÷0=0。 错因分析：0×0=0≠1，所以0没有倒数。任何数除以0都无意义，因为找不到一个数乘以0等于被除数（除非被除数也是0，但0÷0的结果不唯一）。 ✅ 正确做法：0没有倒数，0不能作除数。计算中如果遇到 ÷0，立刻判断该算式无意义。 规避方法：牢记"0没有倒数""0不能作除数"这两个基本事实。同时记住"0除以任何一个非0数都得0"（被除数是0）。 易错点4：求带分数的倒数时出错 ❌ 错例：求 -1 1/2 的倒数，误以为倒数是 -1 2/3 或 -2 1/2。 错因分析：直接把带分数的整数部分和分数部分分别求倒数了，或者忘了带分数要先化为假分数。 ✅ 正确做法：先将带分数化为假分数：-1 1/2 = -3/2，再求倒数：-3/2 的倒数是 -2/3。 规避方法：求倒数时，先把带分数化成假分数，再交换分子分母的位置，同时保留原来的符号。 【例题3】（基础题）难度★☆☆ 计算下列各题： （1）(-18)÷(-6)　　　（2）(+24)÷(-8)　　　（3）0÷(-5) 【分析】直接用除法法则二：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 【解】 （1）(-18)÷(-6)： 同号相除 → 得正。 绝对值相除：18÷6=3。 所以 (-18)÷(-6)=+3。 （旁批：同号得正） （2）(+24)÷(-8)： 异号相除 → 得负。 绝对值相除：24÷8=3。 所以 (+24)÷(-8)=-3。 （旁批：异号得负） （3）0÷(-5)： 0除以任何非0数都得0。 所以 0÷(-5)=0。 （旁批：0÷非0数=0） 【答案】（1）+3；（2）-3；（3）0。 【例题4】（中档题）难度★★☆ 计算：(-15)÷(-3)×(-2)÷(-1/2)×0 【分析】多个乘除混合运算，可以先把除法转化为乘法，然后一起确定符号。但注意这里有一个因数为0——任何数乘以0都得0，所以可以直接得到结果0。 【解】 (-15)÷(-3)×(-2)÷(-1/2)×0 因为最后一个因数是0， 任何数乘以0都得0， 所以整个算式的结果为0。 （旁批：多个数相乘除时，只要有一个因数为0，结果就是0，不需要逐一计算） 【答案】0。 📝 随堂小测（共5题，覆盖乘法和除法） 1. 计算 (-6)×(+9) 的结果是（　） A. -54　　B. -3　　C. 54　　D. 3 2. 计算 (-20)÷(-5) 的结果是（　） A. -4　　B. 4　　C. -100　　D. 100 3. 计算 (-2)×(-3)×(-1) = ______。 4. -3/4 的倒数是______。 5. 下列各式中，正确的是（　） A. (-5)÷0=0　　B. 0÷(-5)=0　　C. (-5)×0=-5　　D. 0的倒数是0 第二章 有理数的运算 📊 本章思维导图 （以下为第二章"有理数的运算"思维导图文字描述） 第二章 有理数的运算 ├── 2.1 有理数的加法与减法 │ ├── 2.1.1 有理数的加法 │ └── 2.1.2 有理数的减法 ├── ★ 2.2 有理数的乘法与除法 ← 本节内容 │ ├── 2.2.1 有理数的乘法 │ │ ├── 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘 │ │ ├── 任何数与0相乘都得0 │ │ ├── 多个数相乘：奇负偶正 │ │ └── 运算律：交换、结合、分配 │ └── 2.2.2 有理数的除法 │ ├── 倒数：乘积为1的两个数 │ ├── 法则一：除以一个数等于乘这个数的倒数 │ ├── 法则二：同号得正，异号得负，绝对值相除 │ └── 0除以非0数得0，0不能作除数 └── 2.3 有理数的乘方 第二章 有理数的运算 🔑 本章核心公式/概念速查卡 以下为2.2节的核心公式速查，建议裁剪下来贴在书桌旁随时查看。 运算类型 法则 示例 乘法（同号） 同号得正，绝对值相乘 (-3)×(-4)=+12 乘法（异号） 异号得负，绝对值相乘 (-3)×(+4)=-12 乘法（含0） 任何数×0=0 (-3)×0=0 多个数相乘 奇负偶正，绝对值相乘 (-1)×(-2)×(-3)=-6 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 -2/3的倒数是-3/2 除法（法则一） a÷b=a×1/b（b≠0） (-6)÷(-3)=(-6)×(-1/3)=2 除法（法则二） 同号得正，异号得负，绝对值相除 (-12)÷(+4)=-3 💡 记忆口诀： "乘法除法是一家，同号为正异号差（负）； 除以一个非零数，乘它倒数就拿下； 零乘任何都得零，零除不行要记清。——有理数乘除不用怕！" 第二章 有理数的运算 ⚠ 本章易错点汇总（2.2节重点） 以下是2.2节中最容易出错的易错点汇总： 易错点 典型错误 正确理解 应对策略 加减乘除符号混淆 (-3)+(+5)=2（加法） 但(-3)×(+5)=-15（乘法） 加法和乘法的符号法则不同 区分"加法看符号类型" 和"乘法看同异号" 奇负偶正数错 四个负数相乘得负 4是偶数→得正 数清楚负号个数再做判断 0的倒数/除法 认为0÷5=0✓， 但5÷0=0✗ 0不能作除数 0只能作被除数不能作除数 带分数求倒数 -1 1/2的倒数是-1 2/3 先化假分数再求倒数 带分数→假分数→交换分子分母 第二章 有理数的运算 📝 本章分层自测卷（2.2节） （共10题，A层基础巩固5题 + B层能力提升3题 + C层拓展挑战2题） 总分：100分（每题10分） A层·基础巩固（第1-5题） 1.（10分）计算 (-7)×(+8) 的结果是（　） A. -56　　B. 56　　C. -1　　D. 1 2.（10分）计算 (-36)÷(-9) 的结果是______。 3.（10分）下列各式中，计算正确的是（　） A. (-2)×(-3)=-6　　B. (-2)×(+3)=6　　C. (-8)÷(+2)=4　　D. (-8)÷(-2)=4 4.（10分）-2/5 的倒数是______。 5.（10分）计算 (-1)×(-2)×(-3)×0 = ______。 B层·能力提升（第6-8题） 6.（10分）计算 (-2/3)×(-9/4)×(-1/2)，结果用分数表示。 7.（10分）计算 (-12)÷(-3/4) 的结果是______。 8.（10分）若 a、b 互为相反数且都不为0，c、d 互为倒数，求 (a+b)×(-2) - cd 的值。 C层·拓展挑战（第9-10题） 9.（10分）已知 |x| = 6，|y| = 2，且 xy < 0，求 x÷y 的值。 10.（10分）从 -3，-2，-1，0，1，2，3 中任选两个不同的数，分别作为被除数和除数，使得商为正数。这样的有序数对（被除数，除数）有多少个？ （旁批：第10题注意"有序数对"意味着 (a,b) 和 (b,a) 是不同的，且除数不能为0。同正6对，同负6对，共12对。） 第二章 有理数的运算 📝 参考答案与解析 随堂小测参考答案 1. 【答案】A 异号相乘得负，6×9=54，结果为-54。 2. 【答案】B 同号相除得正，20÷5=4，结果为+4。 3. 【答案】-6 3个负数相乘得负，2×3×1=6，结果为-6。 4. 【答案】-4/3 -3/4 × (-4/3) = 1，所以-3/4的倒数是-4/3。 5. 【答案】B A：0不能作除数；B正确；C：(-5)×0=0；D：0没有倒数。 分层自测卷参考答案 A层·基础巩固 1. 【答案】A 异号相乘得负，56，结果为-56。 2. 【答案】+4（或4） 同号相除得正，36÷9=4。 3. 【答案】D A应为6，B应为-6，C应为-4，D正确。 4. 【答案】-5/2 -2/5 × (-5/2)=1。 5. 【答案】0 含0的乘法结果必为0。 B层·能力提升 6. 【答案】-3/4 3个负数→负。2/3×9/4×1/2=18/24=3/4，结果为-3/4。 7. 【答案】+16 (-12)÷(-3/4)=(-12)×(-4/3)=48/3=16。 8. 【答案】-1 a+b=0，cd=1，0×(-2)-1=-1。 C层·拓展挑战 9. 【答案】-3 xy<0→x,y异号。x/y恒为-3。 10. 【答案】12个 同正：P(3,2)=6对（1,2)(1,3)(2,1)(2,3)(3,1)(3,2)；同负：P(3,2)=6对（(-1,-2)...）；总计12对。 学科网（北京）股份有限公司 $