2.2有理数的乘法与除法暑假预习练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数乘除运算，通过基础巩固、情境应用、跨学科拓展三层设计，构建从概念理解到创新应用的知识路径，培养运算能力与数学应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|乘除法则、符号判断、简单运算|如单选题2（直接乘法计算）、填空题14（分配律定义），夯实概念理解| |应用层|混合运算、实际问题、运算律应用|如单选题1（限速情境计算）、解答题18（简便运算），提升运算技能与应用能力| |拓展层|进制转换、数学建模、跨学科探究|如单选题3（七进制）、解答题23（加密算法），发展抽象思维与创新意识|

2.2有理数的乘法与除法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某人在一路口等待绿灯时看到车内导航显示如图信息：此路段限速，他等待的红绿灯显示红灯倒计时12秒，前方的红绿灯显示绿灯倒计时52秒，若他想通过下个红绿灯时无需停车等待且不超速，则行驶速度可能是（   ） A．11 B．12 C． D．14 2．计算的结果为（    ）． A．3 B． C． D． 3．我们常用的十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天 4．下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 6．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 7．如果3个数相乘的结果为负数，那么这3个数中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．2个或3个 D．1个或3个 8．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出两根手指，右手大挴指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．7 B．25 C．21 D．29 9．下列各算式的积等于的是（   ） A． B． C． D． 10．计算的结果是（    ） A．﹣2 B．2 C． D．﹣18 11．若6□（﹣3）＝﹣2，则□表示的运算符号是（    ） A．＋ B．﹣ C．× D．÷ 12．4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 二、填空题 13．计算：______． 14．乘法对加法的分配律：____． 15．计算的结果为_____． 16．计算： (1)________． (2)________． (3)________． 17．若某人工作3天可以得到1290元，按照这样的工资水平，他工作一个月（按22天计算）可以获得______元报酬． 三、解答题 18．用简便方法计算： （1）- 99× 9 （2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 19．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 20．（1）画出数轴并表示下列有理数：﹣2，﹣2.5，0，，﹣，3，并用“＜”号连接起来． （2）已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|． 21．【教材呈现】华师版七年级上册数学教材38页的一道题目： 求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离： （1）；（2）4.75与2.25；（3）与；（4）与． 你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ 【归纳概括】 (1)用文字语言叙述你的发现； (2)的几何意义是数轴上表示数x与数_____的两点之间的距离； 【解决问题】 (3)请你画出数轴探究：当表示数x的点在整条数轴上移动时，直接写出能使成立的x的值； 【拓展延伸】 (4)如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，且点B到原点的距离为28，设点A，B，C所对应数a，b，c的和是p，求p的值． 22．小花猫从某点O出发在一直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数，跑动的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，，． (1)问：小花猫最后在出发点的哪一边？离开出发点O相距多少米？ (2)在跑动过程中，如果每跑过10米奖励一条小鱼，则小花猫一共得到多少条小鱼？ 23．阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 ；；； 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则 例：当明文为，取时，加密解密过程如下： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被除的余数为，请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥为，设计匹配的私钥． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）． 《2.2有理数的乘法与除法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B D D D D B C 题号 11 12 答案 D D 1．C 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用．先求得通过路口的最少速度，再转换限速，比较即可求解． 【详解】解：时间有秒， 最少速度为， 限速， ∴行驶速度可能是， 故选：C． 2．A 【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键． 3．B 【分析】根据题意和图形，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由图可知： =1×343+4×49+3×7+5 =343+196+21+5 =565（天）， 即孩子自出生后的天数是565， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 4．B 【分析】本题考查了多重符合化简，绝对值，有理数的加减乘除乘方运算．先计算各式，然后再进行比较即可解答． 【详解】解：A选项：，， ∴与不相等， 故A选项不符合题意； B选项：，， ∴与相等， 故B选项符合题意； C选项：∵， ∴与不相等， 故C选项不符合题意； D选项：∵，， ∴与不相等， 故D选项不符合题意． 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数与零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则∶①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断． 【详解】解：A、，故积为负，不符合题意； B、，故积为负，不符合题意； C、，积为0，不符合题意； D、，故积为正，符合题意； 故选∶D． 6．D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 先确定符号，除以一个数就等于乘以一个数的倒数，再从左向右依次进行运算. 【详解】解：原式 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握多个有理数的乘法运算中符号变化规律是解题的关键． 如果3个数相乘的结果为负数，那么这3个数可以是2个正数1个负数或3个负数，据此即可得出答案． 【详解】解：如果3个数相乘的结果为负数，那么这3个数可以是2个正数1个负数或3个负数， ∴这3个数中负数有1个或3个． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意，列出算式，进行计算即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：当其左手伸出两根手指，右手大挴指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是； 故选D． 9．B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 利用有理数的乘法法则计算各小题，根据计算结果得结论． 【详解】A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意; 故选：B. 10．C 【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求解． 【详解】= 故选C． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 11．D 【分析】根据运算的结果和“□”表示运算符号，用有理数的乘除法运算法则互逆性质作答． 【详解】解：∵（-2）×（-3）=6， ∴6÷（-3）=-2， ∴6□（﹣3）＝﹣2，，知“□”应表示除法运算，得“□”表示的运算符号是“÷” ． 故选：D． 【点睛】此题考查有理数的除法运算，有理数的乘法，正确领会有理数运算法则是关键． 12．D 【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ∵4个有理数相乘，积的符号是负号， ∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个， ∴正数有3个或1个， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数乘法中负数的个数决定积的符号是解题的关键． 13． 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 14．一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 【解析】略 15． 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的减法乘法和除法运算法则进行计算．解题的关键是掌握有理数的减法乘法和除法运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 16． 9 【分析】本题考查了有理数的除法运算，按照有理数除法运算法则依次计算即可. （1）先确定符号，再化为分数，最后把除法转化为乘法计算即可； （2）先确定符号，再把除法转化为乘法计算即可； （3）先确定符号，再化为假分数，最后把除法转化为乘法计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 17．9460 【分析】解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．照这样计算，说明平均每天工作得到的报酬是相同的，先用算出平均每天工作得到的报酬，再算出他工作22天可以得到报酬． 【详解】解：元， 故答案为：9460 18．（1）；（2）0 【分析】（1）根据进行求解即可； （2）利用乘法的结合律求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的运算律，熟知有理数乘法运算律是解题的关键． 19．(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（1）数轴上表示见解析，；（2）c﹣b 【分析】（1）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； （2）根据数轴得出b＜a＜0＜c，再去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2）从数轴可知：b＜a＜0＜c， 所以|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a| ＝c﹣（﹣a）+（﹣b）+（﹣a） ＝c+a﹣b﹣a ＝c﹣b． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，借助数轴比较有理数的大小，根据数轴上的点表示的数确定数的符号，化简绝对值式子；理解数轴的意义及掌握绝对值的含义是本题的关键． 21．(1)数轴上两点之间的距离等于这两个数差的绝对值 (2)-2 (3)图见解析，x的值是-3或4 (4)或83 【分析】（1）用文字语言叙述即可； （2）根据数轴上两点之间的距离的定义即可求解； （3）利用分类讨论的方法可以求得x的值； （4）由点B到原点的距离为28，求得b，再由两点距离求得a、c，进而根据有理数加法法则计算p． 【详解】（1）解：请将你的发现用文字语言叙述如下： 数轴上两点之间的距离等于这两个数差的绝对值； （2） 的含义是数轴上表示数x与-2的两点之间的距离． 故答案为：-2； （3）如下图， 当时，； 当时， ， 令，解得； 当时，， 令，解得． 综上所述，使成立的x的值是-3或4； （4）∵点B到原点的距离为28， ∴或28， ∵数轴上从左到右有点A，B，C，其中，， ∴，， ∴， 当时，； 当时，． 综上所述，或83． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． 22．(1)小花猫最后在出发点的右边，离开出发点O相距10米 (2)小花猫一共得到条小鱼 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算， （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小花猫最后离原点的位置； （2）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小花猫爬行的总路程，即可求出小花猫共得小鱼数量． 【详解】（1）解： 答：小花猫最后在出发点的右边，离开出发点O相距10米 （2）解：(米) (条) 答：小花猫一共得到条小鱼． 23．（1）见解析（2）见解析（3）（4），（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的乘法运算，理解题意，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． （1）根据，再计算即可得出结论； （2）计算，根据被1000除的余数为可得出结论； （3）根据，对于匹配的钥匙，则有，再根据当，时可得出的值； （4）根据，对于匹配的钥匙，则有，再由可得出匹配的钥匙（答案不唯一）． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∵能被1000整除， ∴被1000除的余数为， 即被1000除的余数为． （3）， 对于匹配的钥匙，则有， 当公钥为69，则匹配的私钥； 为两位整数， 当时，； （4）∵， ∴对于匹配的钥匙，则有， ∵， ∴匹配的钥匙． 故答案为：，（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $