专题01 丰富的图形世界（期中知识清单）（必备知识+6题型清单+2易错清单）七年级数学上学期新教材北师大版

专题01 丰富的图形世界 【清单01】 常见几何体的分类 几何体类别 具体类型 核心特征 柱体 棱柱 ①两底面是相同的多边形；②侧面是平行四边形；③侧棱长都相等 圆柱 以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转而形成 锥体 棱锥 ①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形 圆锥 以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转而形成 球体 球 半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体 【清单02】 棱柱与棱锥的顶点、棱、面数量关系 n棱柱：有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱 n棱锥：有（n+1）个面，（n+1）个顶点，2n条棱 【清单03】 点、线、面、体的关系 几何图形的基本组成：点、线、面、体 动态转化关系：点动成线，线动成面，面动成体 【清单04】 从不同方向看几何体 从正面看的图形、从左面看的图形、从上面看的图形 绘制原则：长对正，宽相等，高平齐 【清单05】 正方体的展开图 展开图类型（共11种）： 类型简称 数量 核心特点 1-4-1型 6种 中间四连方，两侧各一个 1-3-2型 3种 中间三连方，两侧各一、二个 2-2-2型 1种 中间二连方，两侧各两个 3-3型 1种 上下共两排，每排共三个 【清单06】 常见几何体的展开图 几何体类别 展开图组成 柱体 圆柱：1个长方形+2个圆；n棱柱：2个n边形+n个长方形 锥体 圆锥：1个扇形+1个圆；n棱锥：1个n边形+n个三角形 【清单07】 几何体的截面 （1）正方体的截面：三角形：锐角三角形、等边三角形、等腰三角形 四边形：正方形、平行四边形、矩形、菱形、梯形 多边形：五边形、六边形（正方体截面最多是六边形） （2）常见几何体的截面： 棱柱：截面可以是三角形、多边形，多边形的边数最多与棱柱的棱数相关 旋转体（圆柱、圆锥）：与曲面相截，既可以得到曲线，也可以得到直线 【题型一】立体图形的特征及分类 例1．观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【答案】(1)圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； (2)；． 【详解】（1）解：按序号写出各自几何体的名称：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； （2）解：在以上几何体中，是柱体的有；含曲面的有， 故答案为：；． 变式1-1．下列几何体中，面的个数最少的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、三棱柱有5个面； B、四棱柱有6个面； C、圆锥有2个面； D、圆柱有3个面； 综上，面的个数最少的是圆锥． 故选：C． 变式1-2．若一个棱柱有条棱，则它的底面一定是（  ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形 【答案】C 【详解】解：棱柱有条棱，又，因此底面是八边形， 故选：C． 变式1-3．如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长． (1)这个五棱柱有多少个侧面？侧面形状分别是什么？ (2)这个五棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)5，长方形； (2)． 【详解】（1）解：这个五棱柱有5个侧面，5个侧面形状都是长方形． （2）． 故这个五棱柱的所有侧面的面积之和是． 【题型二】从不同方向看立体图 例2．从前面、上面、左面看到的形状都是三个正方形的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：A、前面、上面、左面看到的形状分别是，，，故该选项符合题意； B、前面、上面、左面看到的形状分别是，，，故该选项不符合题意； C、前面、上面、左面看到的形状分别是，，，故该选项不符合题意； D、前面、上面、左面看到的形状分别是，，，故该选项不符合题意； 故选：A 变式2-1．下图是由一个长方体截去了一部分得到的几何体，则从上面看该几何体得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看，是一行三个相邻的长方形． 故选：C． 变式2-2．用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，这个几何体为： 故选C． 变式2-3．如图所示是一个三棱柱从不同方向看到的图形，其从上面看到的图形为三边相等的三角形，则其侧面积为 ． 【答案】 【详解】解：由图可知该三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧面都是长为，宽为的长方形，所以该三棱柱的侧面积为； 故答案为． 【题型三】组合立方体的个数问题 例3．一些完全相同的小立方块搭成一个几何体，这个几何体从正面和从上面看所得的形状图均如图所示，小立方体的排列方式可能有 种． 【答案】57 【详解】解：根据这个几何体从正面和从上面看所得的形状图可知： 最左边这一个正方形位置处，只有一个； 中间2个位置处，后面有2层，前面有1层；后面有1层，前面有2层；后面有2层，前面有2层，因此中间一列共3种情况； 右边三个位置处：①有1个位置处有3层，另外两个位置处都是1层，根据不同的排列顺序，有3种情况； ②有1个位置处有3层，另外两个位置处都是2层，根据不同的排列顺序，有3种情况； ③有1个位置处有3层，一个位置处有1层，一个位置处有2层，根据不同的排列顺序有6种情况； ④有2个位置处有3层，另外两个位置处有2层，根据不同的排列顺序有3种情况； ⑤有2个位置处有3层，1个位置处有1层，根据不同的排列顺序有3种情况； ⑥3个位置处都有3层，只有1种情况； 因此右边一列的情况数有（种）； 所以小立方体的排列方式可能情况数有：（种）． 故答案为：57． 变式3-1．珍珍观察一个用小正方体搭成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，这个几何体至少需要 个小正方体． 【答案】7 【详解】解：观察一个用小正方体搭成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示， 则几何体底层有5个小正方体，结合从前面和左面看到的形状，可知几何体有2层，上层至少有2个小正方体， 这个几何体至少需要7个小正方体． 故答案为：7． 变式3-2．如图①所示，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)一共有 个小正方体； (2)在图②中画出这个几何体从正面、左面与上面看到的形状图，并求这个几何体的表面积； (3)如果现在还有一些棱长都为的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体． 【答案】(1)10 (2)图见详解， (3)5 【详解】（1）解：由图①可知一共有10个小正方体； 故答案为10； （2）解：所作图形如下： ∴这个几何体的表面积； （3）解：如图：在从上面看到的形状图上摆放相应数量的小正方体，使其从上面看到的形状图和从左面看到的形状图都不变， 所以最多可以添加2+1+2=5个． 故答案为：5． 变式3-3．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体从上面看和从前面看得到的平面图形． (1)请画出一种从左面看这个几何体得到的平面图形； (2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请写出n的所有可能值．（不必说理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：从左面看有以下5种情况，画出一种即可． （2）解：∵从上面看到的平面图形有5个正方形， ∴最底层有5个正方体， 由从正面看到的平面图形可得，第2层最少有2个正方体，最多有4个正方体； 第3层最少有1个正方体，最多有2个正方体；； ∴该组合几何体最少有个正方体，最多有个正方体， ∴． 【题型四】判断正方体的展开图 例4．下面的平面图中，（    ）能折成正方体． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据一线不过四，可知D选项的平面图能折成正方体． 故选：D． 变式4-1．如图，个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则拼接方法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】解：如图所示： 故小丽总共能有种拼接方法； 故选：． 变式4-2．如图，图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一个位置，则所组成的图形不能围成正方体的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】解：将图1的正方形放在图2中的③的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故选：C． 变式4-3．在如图的7个正方形中减去一个正方形，使剩下的正方形折叠后成为一个正方体，应减去的正方形的标记为（    ） A．“弘”或“扬”或“精” B．“扬”或“精”或“二” C．“弘”或“精”或“神” D．“弘”或“建”或“神” 【答案】A 【详解】解：题干中的图经过剪去某字后可将图变成正方体展开图的“1-4-1”型或“2-3-1”型，“1-4-1”型应剪去标记为“弘”或“扬的小正方形，“2-3-1”型应剪去标记为“精”的小正方形． 故选：A． 【题型五】正方体的相对面问题 例5．如图是一个正方体的平面展开图，与“低”相对的面是 ． 【答案】保 【详解】解：在该正方体的展开图中，与“低”相对的面是“保”． 故答案为：“保”． 变式5-1．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为： 故选：D． 变式5-2．如图形状的方格式纸片是一个正方体的表面展开图，此表面展开图所折成的正方体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据展开图可以得出正方体有两底面是两阴影小正方体相连接组成的图案， 符合要求的只有A，D， 但是对角线相连部分，不可能与正方形再次相连，则D错误． 故选：A． 变式5-3．如图，是同一个正方体（每个面上标有数字）的两种表面展开图，根据图1，在图2中填出另外3个面上的数． 【答案】见解析 【详解】解：由图1得， 1与4相对，2与6相对，3与5相对， 如图所示： 【题型六】几何体的截面问题 例6．在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形． 故选：A． 变式6-1．如图所示，用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：平面平行于圆柱底面截圆柱可以得到一个圆，而倾斜截得到椭圆或者长方形， ∴A、C、D选项不符合题意； 故选：B 变式6-2．下列几何体的截面分别是什么形状？ 【答案】长方形，三角形，圆，五边形，长方形 【详解】解：由图可知： 各个几何体的截面的形状分别为长方形，三角形，圆，五边形，长方形． 变式6-3．如图，图①至图③都是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① ___________ ___________ ___________ 图② ___________ ___________ ___________ 图③ ___________ ___________ ___________ (2)猜想f，v，e之间的数量关系． (3)根据（2）中的猜想，若一个多面体的顶点数为2024，棱数为4043，试求出它的面数． 【答案】(1)7，9，14，6，8，12，7，10，15 (2) (3)2021 【详解】（1）解：根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 （2）由（1）得：f，v，e之间的数量关系是； （3）把代入， ， ． 【题型一】混淆点与棱、面的从属关系 例1．一个直棱柱有10个顶点，则这个棱柱的侧面个数为（   ） A．5个 B．7个 C．9个 D．10个 【答案】A 【详解】解：若一个直棱柱有10个顶点，那么这个棱柱为五棱柱， 五棱柱的侧面个数为5个， 故选：A． 变式1-1．一个棱柱有8个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是 ． 【答案】12 【详解】解：∵棱柱有8个顶点， ∴这个棱柱是四棱柱， ∵四棱柱有4条侧棱，且每条侧棱都相等， 又∵这个四棱柱所有侧棱长的和为， ∴每条侧棱长为：． 故答案为：12． 变式1-2．一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有 面，它是 棱柱． 【答案】 10/十 八/8 【详解】解：该棱柱共有24条棱，根据棱柱的性质，底面多边形的边数为， ∴它是八棱柱，有面， 故答案为：10，八． 变式1-3．一个正n棱柱，它有5个面，该棱柱是 棱柱，它有 条棱、 个顶点． 【答案】 三 9 6 【详解】解：∵正n棱柱，它有5个面， ∴侧面有（个） ∴这是一个三棱柱， ∴该棱柱有9条棱，6个顶点． 故答案为：三，9，6． 【题型二】根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数易忽略隐藏立方体 例1．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体从正面看和从左面看的形状图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】先根据正面看和从左面看的图确定几何体的层数与列数、行数，再分析每层小正方体最多数量，最后求和．本题主要考查由形状图确定几何体中小正方体个数，熟练掌握根据正面看和从左面看分析几何体的层数、行列数，进而确定每层最多小正方体数量是解题的关键． 【详解】解：由从正面看和从左面看的图可知，该几何体有2层、2列、2行． 底层：要使小正方体个数最多，每行每列都有小正方体，即底层最多有 个小正方体； 上层：从正面看和从左面看，上层最多有1个小正方体（在从正面看的左上角位置）． 则小正方体最多有 个． 故选：B ． 变式1-1．在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从侧面方向看如图（1），从前面方向看如图（2），要摆出这样的图形至多要( )正方体木块，至少要( )块正方体木块． 【答案】 20 6 【详解】解：按如图摆放，至多要20块（左图，摆放方式唯一），至少需要6块（右图，摆放方式不唯一）． ， 故答案为：20，6． 变式1-2．由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示．若最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则 ． 【答案】 【详解】解：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数为，从主视图可以看出每一层小正方体的层数为层和中间一层为个到个，最上面为个到个， ∴堆成这个几何体最少需要：（个）小正方体， 最多需要：（个）小正方体， 即，，所以． 故答案为：． 变式1-3．如图，分别画出从正面、左面和上面观察几何体看到的形状图．若每个小正方体的棱长为，求出该几何体的表面积和体积． 【答案】见详解，表面积为，体积为， 【详解】解：如图所示： ∵每个小正方体的棱长为， ∴， 即该几何体的体积为， 观察这个几何体，得出 即该几何体的表面积为 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 丰富的图形世界 【清单01】 常见几何体的分类 几何体类别 具体类型 核心特征 柱体 棱柱 ①两底面是相同的________；②侧面是________；③侧棱长都相等 圆柱 以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转而形成 锥体 棱锥 ①底面是________；②侧面是有一个公共顶点的________ 圆锥 以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转而形成 球体 球 半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体 【清单02】 棱柱与棱锥的顶点、棱、面数量关系 n棱柱：有（________）个面，________个顶点，________条棱 n棱锥：有（________）个面，（________）个顶点，________条棱 【清单03】 点、线、面、体的关系 几何图形的基本组成：________、________、________、________ 动态转化关系：点动成________，线动成________，面动成________ 【清单04】 从不同方向看几何体 从________看的图形、从左面看的图形、从________看的图形 绘制原则：长对正，宽相等，高平齐 【清单05】 正方体的展开图 展开图类型（共11种）： 类型简称 数量 核心特点 1-4-1型 6种 中间________连方，两侧各________个 1-3-2型 3种 中间________连方，两侧各一、二个 2-2-2型 1种 中间二连方，两侧各________个 3-3型 1种 上下共两排，每排共三个 【清单06】 常见几何体的展开图 几何体类别 展开图组成 柱体 圆柱：1个________+2个圆；n棱柱：2个n边形+________个长方形 锥体 圆锥：1个________+1个圆；n棱锥：1个n边形+________个三角形 【清单07】 几何体的截面 （1）正方体的截面：三角形：锐角三角形、等边三角形、等腰三角形 四边形：正方形、平行四边形、矩形、菱形、梯形 多边形：五边形、六边形（正方体截面最多是________边形） （2）常见几何体的截面： 棱柱：截面可以是三角形、多边形，多边形的边数最多与棱柱的________相关 旋转体（圆柱、圆锥）：与曲面相截，既可以得到________，也可以得到直线 【题型一】立体图形的特征及分类 例1．观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 变式1-1．下列几何体中，面的个数最少的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．若一个棱柱有条棱，则它的底面一定是（  ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形 变式1-3．如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长． (1)这个五棱柱有多少个侧面？侧面形状分别是什么？ (2)这个五棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【题型二】从不同方向看立体图 例2．从前面、上面、左面看到的形状都是三个正方形的图形是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．下图是由一个长方体截去了一部分得到的几何体，则从上面看该几何体得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．如图所示是一个三棱柱从不同方向看到的图形，其从上面看到的图形为三边相等的三角形，则其侧面积为 ． 【题型三】组合立方体的个数问题 例3．一些完全相同的小立方块搭成一个几何体，这个几何体从正面和从上面看所得的形状图均如图所示，小立方体的排列方式可能有 种． 变式3-1．珍珍观察一个用小正方体搭成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，这个几何体至少需要 个小正方体． 变式3-2．如图①所示，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)一共有 个小正方体； (2)在图②中画出这个几何体从正面、左面与上面看到的形状图，并求这个几何体的表面积； (3)如果现在还有一些棱长都为的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体． 变式3-3．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体从上面看和从前面看得到的平面图形． (1)请画出一种从左面看这个几何体得到的平面图形； (2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请写出n的所有可能值．（不必说理由） 【题型四】判断正方体的展开图 例4．下面的平面图中，（    ）能折成正方体． A． B． C． D． 变式4-1．如图，个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则拼接方法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 变式4-2．如图，图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一个位置，则所组成的图形不能围成正方体的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 变式4-3．在如图的7个正方形中减去一个正方形，使剩下的正方形折叠后成为一个正方体，应减去的正方形的标记为（    ） A．“弘”或“扬”或“精” B．“扬”或“精”或“二” C．“弘”或“精”或“神” D．“弘”或“建”或“神” 【题型五】正方体的相对面问题 例5．如图是一个正方体的平面展开图，与“低”相对的面是 ． 变式5-1．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．如图形状的方格式纸片是一个正方体的表面展开图，此表面展开图所折成的正方体是（   ） A． B． C． D． 变式5-3．如图，是同一个正方体（每个面上标有数字）的两种表面展开图，根据图1，在图2中填出另外3个面上的数． 【题型六】几何体的截面问题 例6．在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．如图所示，用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能是（　　） A． B． C． D． 变式6-2．下列几何体的截面分别是什么形状？ 变式6-3．如图，图①至图③都是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① ___________ ___________ ___________ 图② ___________ ___________ ___________ 图③ ___________ ___________ ___________ (2)猜想f，v，e之间的数量关系． (3)根据（2）中的猜想，若一个多面体的顶点数为2024，棱数为4043，试求出它的面数． 【题型一】混淆点与棱、面的从属关系 例1．一个直棱柱有10个顶点，则这个棱柱的侧面个数为（   ） A．5个 B．7个 C．9个 D．10个 变式1-1．一个棱柱有8个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是 ． 变式1-2．一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有 面，它是 棱柱． 变式1-3．一个正n棱柱，它有5个面，该棱柱是 棱柱，它有 条棱、 个顶点． 【题型二】根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数易忽略隐藏立方体 例1．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体从正面看和从左面看的形状图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 变式1-1．在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从侧面方向看如图（1），从前面方向看如图（2），要摆出这样的图形至多要( )正方体木块，至少要( )块正方体木块． 变式1-2．由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示．若最多需要个小正方体，最少需要个小正方体，则 ． 变式1-3．如图，分别画出从正面、左面和上面观察几何体看到的形状图．若每个小正方体的棱长为，求出该几何体的表面积和体积． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $