3.1 函数的概念及其表示（十二大重点题型）同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以数学眼光构建函数概念理解，通过三级分层设计实现从基础到综合的知识巩固，适配新授课"概念-技能-应用"教学路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|函数关系判断、定义域求解|含选择、填空基础题型，如判断函数图象与对应关系，强化抽象能力| |技能应用|值域求解、解析式求法|涵盖换元法、待定系数法等技能题型，如分式函数值域、一次函数解析式，发展运算能力| |综合拓展|分段函数参数问题、实际应用|结合"龟兔赛跑"等情境题及参数讨论题，培养模型意识与逻辑推理|

专题3.1 函数的概念及其表示 目录●重难点题型分布 重难点题型1 判断是否为函数关系 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    3．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选题）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选题）下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 5．（25-26高一上·山东枣庄·期中）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 求具体函数的定义域 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 5．（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 6．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）函数的定义域为___________． 7．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 8．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 重难点题型3 求抽象函数的定义域 1．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 6．（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 重难点题型4 判断两个函数是否相等 1．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·广西河池·期中）（多选题）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）（多选题）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）（多选题）下列各组函数中，表示同一函数的有（   ） A．与 B． 与 C． 与 D． 与 7．（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）（多选题）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 函数的实际应用 1．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽·期中）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   3．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   4．（多选题）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    6．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图正确的是______（填序号）． 重难点题型6 求常见函数（一次、二次与反比例）的值域 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）函数，的值域（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 6．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为___________； 重难点题型7 求复杂函数（根式型与分式型）的值域 1．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．求下列函数的值域： (1) (2) (3) 重难点题型8 求函数的解析式-换元法 1．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，则______． 6．（25-26高一上·天津西青·阶段检测）函数，则__________. 重难点题型9 求函数的解析式-待定系数法 1．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 2．设函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（设函数为一次函数，且，则（    ） A．3或1 B．1 C．1或 D．或1 4．已知为一次函数，且则的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 5．设是二次函数，且，则_____. 6．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则______. 重难点题型10 求函数的解析式-方程组法 1．（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 2．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．若对于任意非零实数都有，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 4．（23-24高三上·湖北·阶段检测）已知函数满足，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 6．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 重难点题型11 求分段函数的定义域或函数值 1．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高一上·安徽·阶段检测）设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 5．设函数，若，则______． 重难点题型12 根据分段函数的值域（最值）求参数 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 3．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数 ．若，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 6．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 函数的概念及其表示 目录●重难点题型分布 重难点题型1 判断是否为函数关系 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断、映射的判断 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 2．下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应，逐个判断即可. 【详解】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图象都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选题）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选题）下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、函数关系的判断、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的定义和同一函数的定义逐一分析可得到正确答案。 【详解】对于选项A，因为函数的定义域是，函数的定义域是，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项A错误; 对于选项B，因为函数,所以,则,故选项B正确; 对于选项C，根据函数的定义，对于定义域内的一个值，有且只有一个值与之对应，此时函数图象与直线最多有一个交点，因此若在定义域内，则有唯一的值与之对应，此时函数图象与直线有唯一交点；若不在定义域内，则没有交点，因此函数的图象与直线最多有一个交点，故选项C正确; 对于选项D，因为任意，所以，满足，且每个对应唯一的，符合函数的定义，因此可以构成关于的函数，故选项D正确; 故选:BCD 5．（25-26高一上·山东枣庄·期中）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象， 对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念， 故选：ABD. 重难点题型2 求具体函数的定义域 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【详解】由题意可得，解得. 2．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、交集的概念及运算、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据函数的定义域和值域分别求出集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】集合是函数的定义域，要求根号内的被开方数非负： ，即. 集合是函数的值域，对任意实数有， 因此： ，即. . 3．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可. 【详解】由，解得或， 故的定义域是. 故选：B 4．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【详解】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 5．（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 6．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）函数的定义域为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解后取交集得到定义域. 【详解】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. 7．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【难度】0.8 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 8．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 重难点题型3 求抽象函数的定义域 1．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 2．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 3．（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】应用抽象函数定义域性质求解. 【详解】由，得， 又，可得，所以函数的定义域为． 故选：C. 5．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【难度】0.66 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 6．（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 重难点题型4 判断两个函数是否相等 1．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.81 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 2．（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 3．（24-25高一上·广西河池·期中）（多选题）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.86 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 5．（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）（多选题）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】对AB化简解析式，再结合其定义域即可判断，对CD，求出函数定义域即可判断. 【详解】对于A，函数，其定义域为， 函数的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，则它们为同一个函数，故选项A正确； 对于B，和的定义域都是，，则其对应关系也相同，是同一个函数，故选项B正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误； 对于D，对函数，有，解得， 则函数的定义域为， 对函数，有，解得或， 则其定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误， 故选：AB. 6．（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）（多选题）下列各组函数中，表示同一函数的有（   ） A．与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的三要素逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且，函数的定义域为， 定义域相同且对应关系一致，所以是同一函数，故B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且， 函数与函数的定义域且对应关系一致，所以是同一函数，故D正确. 故选：BD. 7．（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）（多选题）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数相等的定义一一判断即可. 【详解】函数的定义域为， 函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 函数的定义域为，且， 两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B正确； 函数的定义域为，且， 两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故C正确； 函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故D错误. 故选：BC. 重难点题型5 函数的实际应用 1．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题作函数图象 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 2．（23-24高二上·安徽·期中）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据实际问题作函数图象 【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案. 【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件， 故选：C. 3．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题作函数图象 【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项. 【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 故选：D. 4．（多选题）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、根据实际问题作函数图象 【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢，反之变化的快，再由图象越平缓就变化越慢，图象陡就变化快来判断. 【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确； 对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确； 对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确； 对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确. 故选：BCD. 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【难度】0.88 【知识点】根据实际问题作函数图象、图象法表示函数 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 6．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图正确的是______（填序号）． 【答案】③ 【难度】0.94 【知识点】函数图像的识别、根据实际问题作函数图象 【分析】根据，知道图像的第一段应为正比例函数模型，到达目的地后游玩了一段时间即第二段应为常值函数，原路返回匀速行驶了即第三段应为一次函数模型且呈下降趋势，再折回匀速前进，即第四段又为上升趋势. 【详解】注意理解两坐标轴，的含义，这里是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知③符合． 【点睛】本题考查函数图像的识别，根据实际问题中距离与时间的关系选出合适的函数图像，属于基础题. 重难点题型6 求常见函数（一次、二次与反比例）的值域 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 2．已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据定义域，代入解析式，求出值域. 【详解】当时，，当时，， 故值域为. 故选：A 3．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据定义域即可直接求得值域进行判断. 【详解】由已知值域为，故A错误 因为定义域为， 值域为，故B正确. ，，，所以，故C错误. ，，所以，故D错误. 故选：B 4．（24-25高一上·北京·期中）函数，的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据二次函数的性质即可得解. 【详解】解：， 则， 所以函数的值域为. 故选：D. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 6．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为___________； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据题意结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 重难点题型7 求复杂函数（根式型与分式型）的值域 1．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 3．（25-26高三上·河南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，则，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，故， 所以， 因为二次函数在上为增函数，故当时，. 因此函数的值域为. 故选：A. 4．已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】将函数变形为，利用对勾函数的单调性求得的值域，结合不等式的性质即可求解. 【详解】，定义域为，且， 取，则化简得 令，， 利用对勾函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；，即，时， 又，所以，时，函数的值域为 故选：C 5．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 6．求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 重难点题型8 求函数的解析式-换元法 1．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据给定条件，用换元法求出函数解析式即可. 【详解】令，则，因此，， 所以. 故选：B 2．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】用换元法求函数解析式即可 【详解】令，则， 所以，. 所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据换元法，求函数解析式即可. 【详解】令，则，且，代入原式得， 所以函数解析式为． 故选：C. 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法，得，从而求出答案． 【详解】令，得， 且由题意知，则 故， ∴． 故答案为： 6．（25-26高一上·天津西青·阶段检测）函数，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法令求解即可. 【详解】令 ，则 ，所以 ，所以. 故答案为： 重难点题型9 求函数的解析式-待定系数法 1．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数值、已知函数类型求解析式 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 2．设函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】很据题意可得： ，所以由待定系数法，即可求出的解析式. 【详解】由题意可知， 所以 ，解得：，， 所以. 故选：D 【点睛】本题考查用待定系数法求函数的解析式，考查理解辨析能力，属于基础题. 3．（设函数为一次函数，且，则（    ） A．3或1 B．1 C．1或 D．或1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、已知函数类型求解析式 【解析】利用待定系数法设一次函数，代入等式求解，求出函数解析式. 【详解】设一次函数， 则， ， ， 解得或， 或， 或. 故选：B. 【点睛】此题考查利用待定系数法求函数解析式，涉及多项式相等对应项系数相等建立方程组，准确计算即可求解. 4．已知为一次函数，且则的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设，代入得到或，计算得到答案. 【详解】设 则 或 综上： 故答案选B 【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用. 5．设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的解析式、已知函数类型求解析式 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 6．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 重难点题型10 求函数的解析式-方程组法 1．（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法计算函数解析式再求值即可. 【详解】由，可知，联立解得， 所以，则. 故选：D 2．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求解出的解析式. 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 3．若对于任意非零实数都有，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】根据解方程组法求出的解析式，即可代入具体值得出答案. 【详解】对于任意实数都有， 用代替式中可得， 联立两式可得 则 故选：D. 4．（23-24高三上·湖北·阶段检测）已知函数满足，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】由题意在中分别令、即可得到关于的方程组，解方程组即可. 【详解】因为函数满足， 所以在中分别令、， 可得， 解不等式组得. 故选：A. 5．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 6．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 重难点题型11 求分段函数的定义域或函数值 1．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 2．（23-24高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽·阶段检测）设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据题意，，可得，进而求解，判断选项. 【详解】根据题意，, 由，得，则， 从而，解得. 故选:B． 4．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值、分段函数的性质及应用 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 5．设函数，若，则______． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得. 【详解】函数，易知， 若， 当时，即，可得， 解得，不满足，舍去； 当，即时，可得， 解得，满足题意． 故答案为：1． 重难点题型12 根据分段函数的值域（最值）求参数 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 3．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围. 【详解】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 4．已知函数 ．若，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、解不含参数的一元二次不等式、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 所以，当时，， 令时，或；令时，；令时，或， 所以，作出函数的图像如图， 当时，实数的取值范围是. 故选：D 5．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值、分段函数的值域或最值 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 6．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据函数的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减， 所以，此时单调递增， 则，整理得， 解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $